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Leis de Newton

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La primera y segunda ley de Newton, en latín, en la edición original de su obra Principia Mathematica.

As Leis de Newton, também conhecidas como Leis do movimento de Newton,[1] são três princípios a partir dos quais se explicam a maior parte dos problemas propostos pela dinâmica, em particular aqueles relativos ao movimento dos corpos. Revolucionaram os conceitos básicos da física e o movimento dos corpos no universo, enquanto

constituem os alicerces não só da dinâmica clássica senão também da física clássica em general. Ainda que incluem certas definições e em verdadeiro sentido podem ver-se como axiomas, Newton afirmou que estavam baseadas em observações e experimentos cuantitativos; certamente não podem se derivar a partir de outras relações mais básicas. A demonstração de sua validade radica em suas predições... A validade dessas predições foi verificada em todos e a cada um dos casos durante mais de dois séculos.[2]

Em concreto, a relevância destas leis radica em dois aspectos:

Assim, as Leis de Newton permitem explicar tanto o movimento dos astros, como os movimentos dos proyectiles artificiais criados pelo ser humano, bem como toda a mecânica de funcionamento das máquinas.

Seu formulación matemática foi publicada por Isaac Newton em 1687 em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.[3]

Não obstante, a dinâmica de Newton, também telefonema dinâmico clássica, só se cumpre nos sistemas de referência inerciales; isto é, só é aplicável a corpos cuja velocidade dista consideravelmente da velocidade da luz (que não se acerquem aos 300,000 km/s); a razão estriba em que quanto mais perto esteja um corpo de atingir essa velocidade (o que ocorreria nos sistemas de referência não-inerciales), mais possibilidades há de que incidam sobre o mesmo uma série de fenómenos denominados efeitos relativistas ou forças ficticias, que acrescentam termos suplementares capazes de explicar o movimento de um sistema fechado de partículas clássicas que interactúan entre si. O estudo destes efeitos (aumento da massa e contracção da longitude, fundamentalmente) corresponde à teoria da relatividad especial, enunciada por Albert Einstein em 1905.

Conteúdo

Fundamentos teóricos das leis

Arquivo:LeyesNewton.jpg
Leis representadas no salto de uma rana.

A base teórica que permitiu a Newton estabelecer suas leis está também precisada em suas Philosophiae naturalis principia mathematica.

O primeiro conceito que maneja é o de massa, que identifica com "quantidade de matéria"; a importância desta precisão está em que lhe permite prescindir de toda a qualidade que não seja física-matemática à hora de tratar a dinâmica dos corpos. Com tudo, utiliza a ideia de éter para poder mecanizar todo aquilo não reducible a seu conceito de massa.

Newton assume a seguir que a quantidade de movimento é o resultado do produto da massa pela velocidade, e define dois tipos de forças: a vis insita, que é proporcional à massa e que reflete a inércia da matéria, e a vis impressa (momento de força), que é a acção que muda o estado de um corpo, seja qual seja esse estado; a vis impressa, além de produzir-se por choque ou pressão, pode dever-se à vis centripeta (força centrípeta), uma força que leva ao corpo para algum ponto determinado. A diferença das outras causas, que são acções de contacto, a vis centripeta é uma acção a distância. Nesta distingue Newton três tipos de quantidades de força: uma absoluta, outra aceleradora e, finalmente, a motora, que é a que intervém na lei fundamental do movimento.

Em terceiro lugar, precisa a importância de distinguir entre o absoluto e relativo sempre que fale-se de tempo, espaço, lugar ou movimento.

Neste sentido, Newton, que entende o movimento como uma translação de um corpo de um lugar a outro, para chegar ao movimento absoluto e verdadeiro de um corpo

compõe o movimento (relativo) desse corpo no lugar (relativo) em que lho considera, com o movimento (relativo) do lugar mesmo em outro lugar no que esteja situado, e assim sucessivamente, passo a passo, até chegar a um lugar imóvel, isto é, ao sistema de referências dos movimentos absolutos.[4]

De acordo com isto, Newton estabelece que os movimentos aparentes são as diferenças dos movimentos verdadeiros e que as forças são causas e efeitos destes. Consequentemente, a força em Newton tem um carácter absoluto, não relativo.

As leis

Primeira lei de Newton ou Lei da inércia

A primeira lei do movimento rebate a ideia aristotélica de que um corpo só pode se manter em movimento se se lhe aplica uma força. Newton expõe que

Todo o corpo persevera em seu estado de repouso ou movimento uniforme e rectilíneo a não ser que seja obrigado a mudar seu estado por forças impressas sobre ele.[5]

Esta lei postula, por tanto, que um corpo não pode mudar por si só seu estado inicial, já seja em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme, a não ser que se aplique uma força ou uma série de forças cujo resultante não seja nulo sobre ele. Newton toma em conta, assim, o que os corpos em movimento estão submetidos constantemente a forças de roce ou atrito, que os freia de forma progressiva, algo inovador respecto de concepções anteriores que entendiam que o movimento ou a detenção de um corpo se devia exclusivamente a se se exercia sobre eles uma força, mas nunca entendendo como esta ao atrito.

Em consequência, um corpo com movimento rectilíneo uniforme implica que não existe nenhuma força externa neta ou, dito de outra forma, um objecto em movimento não se detém de forma natural se não se aplica uma força sobre ele. No caso dos corpos em repouso, entende-se que sua velocidade é zero, pelo que se esta muda é porque sobre esse corpo se exerceu uma força neta.

Segunda lei de Newton ou Lei de força

A segunda lei do movimento de Newton diz que

a mudança de movimento é proporcional à força motriz impressa e ocorre segundo a linha recta ao longo da qual aquela força se plota.[6]

Esta lei explica que ocorre se sobre um corpo em movimento (cuja massa não tem por que ser constante) actua uma força neta: a força modificará o estado de movimento, mudando a velocidade em módulo ou direcção. Em concreto, as mudanças experimentadas na quantidade de movimento de um corpo são proporcionais à força motriz e desenvolvem-se na direcção desta; isto é, as forças são causas que produzem acelerações nos corpos. Consequentemente, há relação entre a causa e o efeito, isto é, a força e a aceleração estão relacionadas. Dito sinteticamente, a força define-se simplesmente em função do momento em que se aplica a um objecto, com o que duas forças serão iguais se causam a mesma taxa de mudança no momento do objecto.

Em termos matemáticos esta lei expressa-se mediante a relação:

\vec {F}_{\text{net}} = {\mathrm{d}\vec{p} \over \mathrm{d}t}

Onde \vec{p} é a quantidade de movimento e \vec{F} a força total. Baixo a hipótese de constancia da massa e pequenas velocidades, pode reescribirse mais singelamente como:

\vec{F} = m\vec{a}

que é a equação fundamental da dinâmica, onde a constante de proporcionalidade diferente para a cada corpo é sua massa de inércia, pois as forças exercidas sobre um corpo servem para vencer sua inércia, com o que massa e inércia se identificam. É por esta razão pela que a massa se define como uma medida da inércia do corpo.

Por tanto, se a força resultante que actua sobre uma partícula não é zero, esta partícula terá uma aceleração proporcional à magnitude da resultante e em direcção desta. A expressão anterior assim estabelecida é válida tanto para a mecânica clássica como para a mecânica relativista, apesar de que a definição por enquanto linear é diferente nas duas teorias: enquanto a dinâmica clássica afirma que a massa de um corpo é sempre a mesma, com independência da velocidade com a que se move, a mecânica relativista estabelece que a massa de um corpo aumenta ao crescer a velocidade com a que se move dito corpo.

Da equação fundamental deriva-se também a definição da unidade de força ou newton (N). Se a massa e a aceleração valem 1, a força também valerá 1; assim, pois, o newton é a força que aplicada a uma massa de um kilogramo lhe produz uma aceleração de 1 m/s². Entende-se que a aceleração e a força têm de ter a mesma direcção e sentido.

A importância dessa equação estriba sobretudo em que resolve o problema da dinâmica de determinar a classe de força que se precisa para produzir os diferentes tipos de movimento: rectilíneo uniforme (m.r.ou), circular uniforme (m.c.ou) e uniformemente acelerado (m.r.ou.a).

Se sobre o corpo actuam muitas forças, teria que determinar primeiro o vetor soma de todas essas forças. Por último, se tratasse-se de um objecto que caísse para a terra com uma resistência do ar igual a zero, a força seria seu peso, que provocaria uma aceleração descendente igual à da gravidade.

Terceira Lei de Newton ou Lei de acção e reacção

Com toda a acção ocorre sempre uma reacção igual e contrária: ou seja, as acções mútuas de dois corpos sempre são iguais e dirigidas em direcções opostas.[6]

A terceira lei é completamente original de Newton (pois as duas primeiras já tinham sido propostas de outras maneiras por Galileo, Hooke e Huygens) e faz das leis da mecânica um conjunto lógico e completo.[7] Expõe que pela cada força que actua sobre um corpo, este realiza uma força de igual intensidade e direcção, mas de sentido contrário sobre o corpo que a produziu. Dito de outra forma, as forças, situadas sobre a mesma recta, sempre se apresentam em pares de igual magnitude e opostas em direcção.

Este princípio presupone que a interacção entre duas partículas se propaga instantaneamente no espaço (o qual requereria velocidade infinita), e em sua formulación original não é válido para forças electromagnéticas já que estas não se propagam pelo espaço de modo instantâneo senão que o fazem a velocidade finita "c".

É importante observar que este princípio de acção e reacção relaciona duas forças que não estão aplicadas ao mesmo corpo, produzindo neles acelerações diferentes, segundo sejam suas massas. Pelo demais, a cada uma dessas forças obedece por separado à segunda lei.

Junto com as anteriores, permite enunciar os princípios de conservação do momento linear e do momento angular.


Generalizações

Após que Newton formulasse as famosas três leis, numerosos físicos e matemáticos fizeram contribuições para lhes dar uma forma mais geral ou a mais fácil aplicação a sistemas não inerciales ou a sistemas com ligaduras. Uma destas primeiras generalizações foi o princípio de d'Alembert de 1743 que era uma forma válida para quando existissem ligaduras que permitia resolver as equações sem necessidade de calcular explicitamente o valor das reacções associadas a ditas ligaduras.

Pela mesma época, Lagrange encontrou uma forma das equações de movimento válida para qualquer sistema de referência inercial ou não-inercial sem necessidade de introduzir forças ficticias. Já que é um facto conhecido que as Leis de Newton, tal como foram escritas, só são válidas aos sistemas de referência inerciales, ou mais precisamente, para as aplicar a sistemas não-inerciales, requerem a introdução das chamadas forças ficticias, que se comportam como forças mas não estão provocadas directamente por nenhuma partícula material ou agente concreto, senão que são um efeito aparente do sistema de referência não inercial.

Mais tarde a introdução da teoria da relatividad obrigou a modificar a forma da segunda lei de Newton (ver (2c)), e a mecânica cuántica deixou claro que as leis de Newton ou a relatividad geral só são aproximações ao comportamento dinâmico em escalas macroscópicas. Também se têm conjeturado algumas modificações macroscópicas e não-relativistas, baseadas em outros supostos como a dinâmica MOND.

Generalizações relativistas

As leis de Newton constituem três princípios aproximadamente válidos para velocidades pequenas. A forma em que Newton as formulou não era a mais general possível. Aliás a segunda e terceira leis em sua forma original não são válidas em mecânica relativista no entanto formulados de forma ligeiramente diferente a segunda lei é válida, e a terceira lei admite uma formulación menos restrictiva que é válida em mecânica relativista.

\begin{cases} \vec{p}=m\vec{v} & (\mbox{1a}) \\ \vec{p}=\cfrac{m \vec{v}}{ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} & (\mbox{1b}) \end{cases}

onde m é a massa invariante da partícula e \vec{v} a velocidade desta medida desde um verdadeiro sistema inercial. Esta segunda formulación de facto inclui implicitamente definição (1) segundo a qual o momento linear é o produto da massa pela velocidade. Como esse suposto implícito não se cumpre no marco da teoria da relatividad de Einstein (onde a definição é (2)), a expressão da força em termos da aceleração na teoria da relatividad toma uma forma diferente. Por exemplo, para o movimento rectilíneo de uma partícula em um sistema inercial tem-se que a expressão equivalente a (2a) é:

(2b) \vec{F} = m \vec{a} \left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{3}{2}}

Se a velocidade e a força não são paralelas, a expressão seria a seguinte:

(2c) \vec{F} = \frac{m\vec{a}}{(1-\frac{v^2}{c^2})^{\frac{1}{2}}} + \frac{m(\vec{v}\cdot\vec{a})\vec{v}}{c^2(1-\frac{v^2}{c^2})^{\frac{3}{2}}}
\mathbf{F}_{12}= q_2 \mathbf{v}_2\times \mathbf{B}_1 = \frac{\mu q_2q_1}{4\pi}\ \frac{\mathbf{v}_2\times (\mathbf{v}_1\times\mathbf{\hat{u}}_{12})}{d^2}

onde d a distância entre as duas partículas e \mathbf{\hat{u}}_{12} é o vetor director unitário que vai da partícula 1 à 2. Analogamente, a força da partícula 2 sobre a partícula 1 é:

\mathbf{F}_{21}= q_1 \mathbf{v}_1\times \mathbf{B}_2 = \frac{\mu q_2q_1}{4\pi}\ \frac{\mathbf{v}_1\times (\mathbf{v}_2\times(-\mathbf{\hat{u}}_{12}) )}{d^2}

Empregando a identidade vectorial \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}, pode ver-se que a primeira força está no plano formado por e \mathbf{\hat{u}}_{12} \mathbf{v}_1 que a segunda força está no plano formado por e \mathbf{\hat{u}}_{12} \mathbf{v}_2. Por tanto, estas forças não sempre resultam estar sobre a mesma linha, ainda que são de igual magnitude.

Lei de acção e reacção débil

Como se explicou na secção anterior certos sistemas magnéticos não cumprem o enunciado forte desta lei (também não o fazem as forças eléctricas exercidas entre um ónus pontual e um dipolo). No entanto se relaxam-se algo as condições os anteriores sistemas sim cumpririam com outra formulación mais débil ou relaxada da lei de acção e reacção. Em concreto os sistemas descritos que não cumprem a lei em sua forma forte, se cumprem a lei de acção e reacção em sua forma débil:

A acção e a reacção devem ser da mesma magnitude e sentido oposto (ainda que não necessariamente devem se encontrar sobre a mesma linha)

Todas as forças da mecânica clássica e o electromagnetismo não relativista cumprem com a formulación débil, se ademais as forças estão sobre a mesma linha então também cumprem com a formulación forte da terceira lei de Newton.

Teorema de Ehrenfest

O Teorema de Ehrenfest permite generalizar as leis de Newton ao marco da mecânica cuántica. Conquanto em dita teoria não é lícito falar de forças ou de trajectória, se pode falar de magnitudes como momento linear e potencial de maneira similar a como se faz em mecânica newtoniana.

Em concreto a versão cuántica da segunda Lei de Newton afirma que a derivada temporária do valor esperado do momento de uma partícula em um campo iguala ao valor esperado da "força" ou valor esperado do gradiente do potencial:

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3 - \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3
= 0 - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3 - 0 = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,

Onde:

V(x,t)\, é o potencial do que derivar as "forças".
\Phi, \Phi^*\,, são as funções de onda da partícula e sua complexa conjugada.
\nabla\, denota o operador nabla.

Referência

Notas

  1. ↑ Cf. Clifford A. Pickover, De Arquímedes a Hawking..., págs. 132-170.
  2. ↑ Dudley Williams e John Spangler, Physiscs for Science and Engineering, ápud Clifford A. Pickover, De Arquímedes a Hawking..., pág. 133.
  3. ↑ Existe, ademais, uma versão prévia em um fragmento manuscrito de 1684 que leva como título De motu corporum in mediis regulariter cedentibus. Por outro lado, nesse mesmo texto fica claro que, originalmente, Newton tinha proposto cinco leis, das quais a quarta era o princípio de relatividad de Galileo.
  4. ↑ R. Dugas e P. Costabel, "A escola inglesa desde Descartes até Newton", em Newton. Vida, pensamento e obra, págs. 116-131 (119).
  5. ↑ Isaac Newton, extractos de Princípios matemáticos da filosofia natural, tradução de Eloy Rada García, na ombros de gigantes. As grandes obras da física e a Astronomia, Crítica, Barcelona, 2003; apud. Newton. Vida, pensamento e obra, pág. 199.
  6. ↑ a b Isaac Newton, extractos de Princípios matemáticos da filosofia natural, cit., pág. 199.
  7. ↑ Cf. Clifford A. Pickover, De Arquímides a Hawking, pág. 137.

Bibliografía

Bibliografía

Veja-se também

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