Limite clássico

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O limite clássico é a habilidade de uma teoria física para aproximar ao comportamento predito pela mecânica clássica quando o valor de verdadeiro parámetro especial destas teorias se aproxima um "valor clássico". O limite clássico é usado nas teorias físicas que predizem um comportamento não-clássico. Os casos mais usuais de limite clássico são:

O limite clássico da mecânica cuántica, onde o parámetro especial é a constante de Planck e seu valor clássico é 0: $\hbar \to 0$ .
O limite clássico da teoria da relatividad especial ou geral, onde o parámetro especial é a velocidade da luz e seu valor clássico é infinito: $c \to \infty$ .

Conteúdo

1 Limite clássico da mecânica cuántica
2 Limite clássico da mecânica relativista
- 2.1 Limite clássico da relatividad especial
- 2.2 Limite clássico da relatividad geral

Limite clássico da mecânica cuántica

Para conciliar as predições da mecânica cuántica a nível microscópico com as predições da mecânica clássica a nível macroscópico, Niels Bohr introduziu o princípio de correspondência dentro da teoria cuántica. Dito princípio postula alguns dos argumentos de continuidade devem ser aplicados ao limite clássico dos sistemas cuánticos à medida que os valores da constante de Planck se aproximam a zero.

Na mecânica cuántica, devido ao princípio de incerteza de Heisenberg, um elétron não pode estar nunca em repouso; tem sempre que ter uma energia cinética diferente de zero, um resultado que não se encontra na mecânica clássica. Por exemplo, se consideramos algo relativamente maior que um elétron, tal como uma pelota de futebol, o princípio de incerteza prediz que não pode ter uma energia cinética igual a zero, mas a incerteza na energia cinética é tão pequena, que a pelota de futebol pode parecer que estivesse em repouso, e por esta razão parece obedecer à mecânica clássica. Em general, se grandes energias e grandes objectos (em comparação com o tamanho e os níveis de energia de um elétron) são considerados na mecânica cuántica, os resultados parecerão obedecer à mecânica clássica.

De acordo com o princípio de correspondência de Bohr, todas as equações da mecânica cuántica não-relativista devem coincidir com os resultados da mecânica clássica quando neles se pratica adequadamente o limite clássico. Assim por exemplo o limite clássico da equação de Schrödinger para a função de onda dada por:

$\psi(x,t) = e^{iS(x,t)/\hbar}$

Resulta idêntica à equação de Hamilton-Jacobi da mecânica clássica. Um cálculo directo leva de facto a que a equação de Schrödinger com a substituição anterior se pode escrever como:

$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2 \right] + V(x) = \frac{i\hbar}{2m} \Delta S$

Interpretando a fase da onda $S(x,t)/\hbar$ como a magnitude de acção dividida da constante de Planck, e fazendo tender esta a zero se chega ao limite clássico. Pode ver-se alternativamente que à medida que a massa do objecto é mais e maior se recupera igualmente o limite clássico. O qual explica porqué os corpos macroscópicos se comportam "classicamente" ainda quando a constante de Planck não seja exactamente zero.

Limite clássico da mecânica relativista

Se na especial, se consideramos que o espaço é plano e as velocidades são pequenas (em comparação com a velocidade da luz), encontramos que os objectos novamente parecem obedecer à mecânica clássica. A teoria geral da relatividad requer além do anterior que o espaço seja quase plano. Dita condição requer, além de que a pequeñez de velocidades, que os campos gravitatorios das massas sejam pequenos, condição que se cumpre aceptablemente sempre que as distâncias entre as partículas estejam sejam pequenas em relação a sua massa:

(1) $\frac{GM}{dc^2} << 1$ ,

Onde:

$M\,$ , é a massa total que cria o campo gravitatorio.

$d\,$ , é a distância entre o ponto considerado e o centro de massas que cria o campo gravitatorio.

$c, G\,$ , são a velocidade da luz e a cosntante da gravitación.

Limite clássico da relatividad especial

A maioria de equações da teoria da relatividad especial convergen à expressão clássica sem mais que fazer formalmente tender o parámetro que dá a velocidade da luz a infinito. Em algumas outras expressões requer-se restar primeiro uma constante aditiva que não se reflete nas equações clássicas:

Energia cinética

(2) $E_c = \lim_{c \to \infty} \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2= \lim_{c \to \infty} mc^2\left [\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)+ \frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+\ldots \right] = \frac{1}{2}mv^2$ ,

Momento linear

(3) $\mathbf{p} = \lim_{c \to \infty} \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \lim_{c \to \infty} m\mathbf{v}\left [1+\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right) \ldots \right] = m\mathbf{v}$ ,

Lagrangiano de uma partícula livre (com constante aditiva).

(4) $L +mc^2 = \lim_{c \to \infty} -mc^2{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} +mc^2= \lim_{c \to \infty} +mc^2-mc^2\left [1-\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right) -\frac{1}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2 \ldots \right] = \frac{1}{2}mv^2$

equação de Hamilton-Jacobi, intoduciendo nesta equação $S = S' -mc^2t\;$

(5) $\begin{matrix} \left(\frac{\part S}{\part x}\right)^2 + \left(\frac{\part S}{\part y}\right)^2 + \left(\frac{\part S}{\part z}\right)^2 - \frac{1}{c^2}\left(\frac{\part S}{\part t}\right)^2 = -m_0^2c^2 \mapsto \\ \mapsto \frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{\part S'}{\part x}\right)^2 + \left(\frac{\part S'}{\part y}\right)^2 + \left(\frac{\part S'}{\part z}\right)^2 \right] - \frac{1}{2mc^2}\left(\frac{\part S'}{\part t}\right)^2 + \frac{\part S'}{\part t} = 0 \end{matrix}$