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Limite de uma sucessão

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a_{n} = \begin{cases} 16 & \mbox{si } n = 0 \\ \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{si } n > 0 \end{cases}

O limite de uma sucessão é um dos conceitos mais antigos da análise matemática. O mesmo dá uma definição rigorosa à ideia de uma sucessão que se vai aproximando para um ponto chamado limite. Se uma sucessão tem limite, diz-se que é uma sucessão convergente, e que a sucessão converge ou tende ao limite. Em caso contrário, a sucessão é divergente.

A definição significa que eventualmente todos os elementos da sucessão se aproximam tanto como queiramos ao valor limite. A condição que impõe que os elementos se encontrem arbitrariamente próximos aos elementos subsiguientes não implica, em general, que a sucessão tenha um limite (Se veja sucessão de Cauchy).

Que se entende por próximo dá lugar a diferentes definições de limite dependendo do conjunto onde se definiu a sucessão.

Conteúdo

Limite de uma sucessão de números reais

Definição formal

Uma sucessão \{\,x_n \} tal que \, n\geq 1 tem limite \,l, quando \,n tende a , \inftyse pára todo o valor \,\varepsilon por pequeno que seja, há um valor \,n_0 a partir do qual se \,n>n_0 temos que a distância de \,l \,x_n a é menor que \,\varepsilon, isto é:

\forall \varepsilon > 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)<\varepsilon.

Anotação

\lim_{n\to\infty} x_n=l

ou bem

x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l

Exemplos

Propriedades

Limite em um espaço métrico

Para uma sucessão de pontos \{x_n|n\in \mathbb{N}\}\; em um espaço métrico \,M com função de distância d\,

(como por exemplo, uma sucessão de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.):
Se L \in M\; diz-se que \,L é o limite da sucessão e se escreve
L = \lim_{n \to \infty} x_n \Longleftrightarrow \forall \epsilon>0\;, \exist N \in \mathbb{N}: n>N \rightarrow d(x_n,L)<\epsilon.\;
i.e.:se e só se pára todo (hodap) número real \epsilon>0\;, existe um número natural \,N tal que para a cada n>N\,, se satisfaz que d(x_n,L)<\epsilon.\;

Limite em um espaço topológico

Uma generalização desta relação, para uma sucessão de pontos \{x_n|n\in \mathbb{N}\}\; em um espaço topológico T:

Se L\in T\; diz-se que L é um limite desta sucessão e se escreve
L = \lim_{n \to \infty} x_n
se e só se pára todo o meio S de L existe um número natural N tal que x_n\in S\; para tudo n>N.\;

De forma intuitiva, supondo que tem-se uma sucessão de pontos (por exemplo um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objecto matemático (por exemplo os números reais ou um espaço vectorial) que admite o conceito de meio (no sentido de "todos os pontos dentro de uma verdadeira distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da sucessão se pára todo o meio que se defina, todos os pontos da sucessão (com a possível excepção de um número finito de pontos) estão próximos a L . Isto pode ser interpretado como se tivesse um conjunto de esferas de tamanhos decrecientes até zero, todas centradas em L , e para qualquer destas esferas, só existisse um número finito de números fora dela.

É possível também que uma sucessão em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma sucessão convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo a recta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).

Enlaces externos

Modelo:ORDENAR:Limite de uma sucesion

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