Método de Montecarlo

Método de Montecarlo

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O método de Montecarlo^[1] é um método não determinístico ou estatístico numérico usado para aproximar expressões matemáticas complexas e caras de avaliar com exactidão. O método chamou-se assim em referência ao Casino de Montecarlo (Principado de Mônaco) por ser “a capital do jogo de casualidade”, ao ser a ruleta um gerador simples de números aleatórios. O nome e o desenvolvimento sistémico dos métodos de Montecarlo datam aproximadamente de 1944 e melhoraram-se enormemente com o desenvolvimento do computador.

O uso dos métodos de Montecarlo como ferramenta de investigação, prove do trabalho realizado no desenvolvimento da bomba atómica durante a segunda guerra mundial no Laboratório Nacional dos Álamos em EE.UU. Este trabalho implicava a simulação de problemas probabilísticos de hidrodinâmica concernientes à difusão de neutrones no material de fisión. Esta difusion possui um comportamento eminentemente aleatório. Na actualidade é parte fundamental dos algorítmos de traçado de raios para a geração de imagens sintéticas.

Na primeira etapa destas investigações, John von Neumann e Stanislaw Ulam refinaram esta ruleta russa e os métodos "de divisão" de tarefas. No entanto, o desenvolvimento sistémico destas ideias teve que esperar ao trabalho de Harris e Herman Kahn em 1948 . Aproximadamente no mesmo ano, Enrico Fermi, Metropolis e Ulam obtiveram estimadores para os valores característicos da equação de Schrödinger para a captura de neutrones a nível nuclear usando este método.

O método de Montecarlo proporciona soluções aproximadas a uma grande variedade de problemas matemáticos possibilitando a realização de experimentos com muestreos de números pseudoaleatorios em um computador. O método é aplicável a qualquer tipo de problema, já seja estocástico ou determinista. A diferença dos métodos numéricos que se baseiam em avaliações em N pontos em um espaço M-dimensional para produzir uma solução aproximada, o método de Montecarlo tem um erro absoluto da estimativa que decrece como em virtude do teorema do limite central.

Conteúdo 1 Origens do método 2 Exemplo 3 Veja-se também 4 Referências 5 Enlaces externos

Origens do método

A invenção do método de Montecarlo atribui-se a Stanislaw Ulam e a John von Neumann. Ulam tem explicado como se lhe ocorreu a ideia enquanto jogava um solitário durante uma doença em 1946. Advertiu que resulta bem mais simples ter uma ideia do resultado geral do solitário fazendo provas múltiplos com as cartas e contando as proporções dos resultados que computar todas as possibilidades de combinação formalmente. Ocorreu-se-lhe que esta mesma observação devia aplicar a seu trabalho dos Álamos sobre difusão de neutrones, para a qual resulta praticamente impossível solucionar as equações íntegro-diferenciais que governam a dispersión, a absorción e a fisión. “A ideia consistia em provar com experimentos mentais as milhares de possibilidades, e na cada etapa, determinar por acaso, por um número aleatório distribuído segundo as probabilidades, que sucederia e totalizar todas as possibilidades e ter uma ideia da conduta do processo físico”.

Podiam utilizar-se máquinas de computação, que começavam a estar disponíveis, para efectuar as provas numéricas e efectivamente substituir o aparelho experimental do físico. Durante uma das visitas de von Neumann aos Álamos em 1946, Ulam mencionou-lhe o método. Após verdadeiro escepticismo inicial, von Neumann entusiasmou-se com a ideia e cedo começou a desenvolver suas possibilidades em um procedimento sistémico. Ulam expressou que Montecarlo “começou a ter forma concreta e começou a se desenvolver com todas suas falhas de teoria rudimentaria após que lho propus a Johnny”.

A princípios de 1947 Von Neumann enviou uma carta a Richtmyer aos Álamos na que expôs de modo influente talvez o primeiro relatório por escrito do método de Montecarlo. Sua carta foi encuadernada junto com a resposta de Richtmyer como um relatório dos Álamos e distribuída entre os membros do laboratório. Von Neumann sugeria aplicar o método para rastrear a geração isótropa de neutrones desde uma composição variável de material activo ao longo da rádio de uma esfera. Sustentava que o problema era adequado para o ENIAC e estimava que levaria 5 horas calcular a acção de 100 neutrones através de um curso de 100 colisões a cada um.

Ulam estava particularmente interessado no método Montecarlo para avaliar integrales múltiplos. Uma das primeiras aplicações deste método a um problema determinista foi levada a cabo em 1948 por Enrico Fermi, Ulam e von Neumann quando consideraram os valores singulares da equação de Schrödinger.

Exemplo

Se desejamos reproduzir, mediante números aleatórios, a atirada sucessiva de uma moeda, devemos previamente atribuir-lhe um intervalo de números aleatórios a CARA e outro a CRUZ, de maneira de poder interpretar o resultado da simulação. Tais intervalos atribuem-se em função das probabilidades de ocorrência da cada cara da moeda. Temos assim:

CARA Probabilidade: 0,50 Números aleatórios: 0,000 ao 0,499

CRUZ Probabilidade: 0,50 Números aleatórios: 0,500 ao 0,999

Depois, ao gerar um número aleatório a partir da função RAN da calculadora, por exemplo, obtemos o resultado simulado. Assim, se obtemos o número aleatório 0,385, observamos que está incluído no intervalo atribuído a CARA.

Em outras aplicações, associam-se intervalos de números aleatórios segundo as probabilidades de ocorrência dos eventos a simular.

Veja-se também

• Portal:Matemática. Conteúdo relacionado com Matemática.
• Corrente de Márkov
• Integração de Montecarlo
• Método quasi-Montecarlo
• Casualidade
• Algorítmo das Vegas
• Gerador de números aleatórios
• Estocástico

Referências

Enlaces externos

• Economia Excel Aplicações do método de Monte Carlo com Excel.

• Simular Software gratuito de Simulação de Monte Carlo com Excel.
• MCML* Aplicação do método MC em um médio não homogéneo