Matrizes de Pauli

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As matrizes de Pauli, devem seu nome a Wolfgang Ernst Pauli, são matrizes usadas em física cuántica no contexto do momento angular intrínseco ou espín. Matematicamente, as matrizes de Pauli constituem uma base vectorial do álgebra de Envolva do grupo especial unitário SEU(2), actuando sobre a representação de dimensão 2.

Forma das matrizes

Cumprem as regras de conmutación do álgebra de Envolva $\mathfrak{su}(2)$ :

$\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\ \epsilon_{ijk}\ \sigma_k$

Onde:

$\epsilon_{ijk}\;$ é o Símbolo de Levi-Civita (pseudotensor totalmente antisimétrico).

Também satisfazem a seguinte regra de anticonmutación

$\left \{\sigma_i,\sigma_j \right \}=\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}I\$

Outras propriedades importantes são:

$\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

$\operatorname{det} (\sigma_i) = -1$

$\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0$

Caso de espín 1/2

As matrizes de Pauli são três, ao igual que a dimensão do álgebra do Envolva do grupo SEU(2). Em sua representação linear mais comum têm a seguinte forma:

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Caso de espín 1

Por abuso de linguagem costuma-se chamar matrizes de Pauli a outras representações lineares diferentes às usadas no caso de espín 1/2 anterior. Por exemplo para representar o espín de uma partícula com valor 1, usa-se a representação linear mediante matrizes de 3x3 seguinte:

$J_x = \frac\hbar\sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix} \qquad J_y = \frac\hbar\sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&-i&0\\ i&0&-i\\ 0&i&0 \end{pmatrix} \qquad J_z = \hbar \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}$

Caso de espín 3/2

Analogamente ao caso anterior para espín 3/2 é comum usar a seguinte representação:

$J_x = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 0&\sqrt{3}&0&0\\ \sqrt{3}&0&2&0\\ 0&2&0&\sqrt{3}\\ 0&0&\sqrt{3}&0 \end{pmatrix} \qquad J_y = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 0&-i\sqrt{3}&0&0\\ i\sqrt{3}&0&-2i&0\\ 0&2i&0&-i\sqrt{3}\\ 0&0&i\sqrt{3}&0 \end{pmatrix} \qquad J_z = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 3&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$

Aplicações

As matrizes de Pauli têm grande utilidade em mecânica cuántica. A aplicação mais conhecida é a representação do operador de espín para uma partícula de espín 1/2, como um elétron, um neutrón ou um protón. Assim o observable que serve para medir ao espín, ou momento angular intrínseco, de um elétron, na direcção i, vem dado pelo operador autoadjunto:

$\hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i$

Na representação convencional, os autoestados de espín correspondem aos vetores:

$\left \{| \uparrow \rangle = (1,0); | \downarrow \rangle = (0,1) \right\}$

Veja-se também

Notas

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/t/Encydia-Wikilingue%7EArt%C3%ADculos_solicitados_2358.html"

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Categorias: Física matemática | Mecânica cuántica | Grupos de Envolva | Simetría rotacional

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