Mecânica de fluídos

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A mecânica de fluídos é o ramo da mecânica de meios contínuos (que a sua vez é um ramo da física) que estuda o movimento dos fluídos (gases e líquidos) bem como as forças que os provocam. A característica fundamental que define aos fluídos é sua incapacidade para resistir esforços cortantes (o que provoca que careçam de forma definida). Também estuda as interacções entre o fluído e o contorno que o limita. A hipótese fundamental na que se baseia toda a mecânica de fluídos é a hipótese do médio contínuo.

Hipóteses básicas

Como em todos os ramos da ciência, na mecânica de fluídos se parte de hipótese em função das quais se desenvolvem todos os conceitos. Em particular, na mecânica de fluídos assume-se que os fluídos verificam as seguintes leis:

conservação da massa e da quantidade de movimento.
primeira e segunda lei da termodinámica.

Mas provavelmente a hipótese mais importante da mecânica de fluídos é a hipótese do médio contínuo.

Hipótese do médio contínuo

A hipótese do médio contínuo é a hipótese fundamental da mecânica de fluídos e em general de toda a mecânica de meios contínuos. Nesta hipótese considera-se que o fluído é contínuo ao longo do espaço que ocupa, ignorando por tanto sua estrutura molecular e as descontinuidades associadas a esta. Com esta hipótese pode-se considerar que as propriedades do fluído (densidade, temperatura, etc.) são funções contínuas.

A forma de determinar a validade desta hipótese consiste em comparar o caminho livre médio das moléculas com a longitude característica do sistema físico. Ao cociente entre estas longitudes denomina-se-lhe número de Knudsen. Quando este número adimensional é muito menor à unidade, o material em questão pode se considerar um fluído (médio contínuo). No caso contrário os efeitos devidos à natureza molecular da matéria não podem ser desprezados e deve se utilizar a mecânica estatística para predizer o comportamento da matéria. Exemplos de situações onde a hipótese do médio contínuo não é válida podem encontrar no estudo dos plasmas.

Conceito de partícula fluída

Este conceito esta muito unido ao do médio contínuo e é sumamente importante na mecânica de fluídos. Chama-se partícula fluída à massa elementar de fluído que em um instante determinado se encontra em um ponto do espaço. Dita massa elementar tem de ser o suficientemente grande como para conter um grande número de moléculas, e o suficientemente pequena como para poder considerar que em seu interior não há variações das propriedades macroscópicas do fluído, de maneira que na cada partícula fluída possamos atribuir um valor a estas propriedades. É importante ter em conta que a partícula fluída se move com a velocidade macroscópica do fluído, de maneira que está sempre formada pelas mesmas moléculas. Por conseguinte um determinado ponto do espaço em diferentes instantes de tempo estará ocupado por diferentes partículas fluídas.

Descrições lagrangiana e euleriana do movimento de um fluído

À hora de descrever o movimento de um fluído existem dois pontos de vista. Uma primeira forma de fazê-lo é seguir à cada partícula fluída em seu movimento, de maneira que procuraremos umas funções que nos dêem a posição, bem como as propriedades da partícula fluída na cada instante. Esta é a descrição Lagrangiana. Uma segunda forma é atribuir à cada ponto do espaço e na cada instante um valor para as propriedades ou magnitudes fluídas sem importar a partícula fluída que em dito instante ocupa esse ponto. Esta é a descrição Euleriana, que não está unida às partículas fluídas senão aos pontos do espaço ocupados pelo fluído. Nesta descrição o valor de uma propriedade em um ponto e em um instante determinado é o da partícula fluída que ocupa dito ponto nesse instante.

A descrição euleriana é a usada comummente, já que na maioria de casos e aplicações é mais útil. Usaremos dita descrição para a obtenção das equações gerais da mecânica de fluídos.

Equações gerais da mecânica de fluídos

Artigo principal: Equações de Navier-Stokes

As equações que regem toda a mecânica de fluídos se obtêm pela aplicação dos princípios de conservação da mecânica e a termodinámica a um volume fluído. Para generalizá-las usaremos o teorema do transporte de Reynolds e o teorema da divergência (ou teorema de Gauss) para obter as equações em uma forma mais útil para a formulación euleriana.

As três equações fundamentais são: a equação de continuidade, a equação da quantidade de movimento, e a equação da conservação da energia. Estas equações podem dar-se em sua formulación integral ou em sua forma diferencial, dependendo do problema. A este conjunto de equações dadas em sua forma diferencial também se lhe denomina equações de Navier-Stokes.

Não existe uma solução geral a dito conjunto de equações devido a sua complexidade, pelo que para a cada problema concreto da mecânica de fluídos se estudam estas equações procurando simplificações que facilitem a resolução do problema. Em alguns casos não é possível obter uma solução analítica, pelo que temos de recorrer a soluções numéricas geradas por computador. A este ramo da mecânica de fluídos denomina-lha mecânica de fluídos computacional.

As equações são as seguintes:

Equação de continuidade:

-Forma integral: $\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} \rho\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega$

-Forma diferencial: $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0$

Equação de quantidade de movimento:

-Forma integral: $\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho\mathbf{v} \; d\Omega +\int_{\partial\Omega} \rho\mathbf{v}\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega= \int_{\partial\Omega} \tau\mathbf{\cdot n} d\partial\Omega+ \int_{\Omega} \rho\mathbf{f} d\Omega$

-Forma diferencial: $\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \mathbf{v} \right) + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = \rho \mathbf{f}+\nabla \cdot \tau.$

Equação da energia

-Forma integral: $\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho\left (e+\frac {1}{2}v^2\right)\; d\Omega+\int_{\partial\Omega} \rho\left (e+\frac {1}{2}v^2\right)\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega=\int_{\partial\Omega} \mathbf{n}\cdot\tau\cdot\mathbf{v} \; d\partial\Omega+\int_{\Omega} \rho\mathbf{f\cdot v} \;d\Omega-\int_{\partial\Omega} \mathbf {q \cdot n} \; d\partial\Omega$

-Forma diferencial: $\rho\frac {D}{Dt}\left(e+\frac {1}{2}v^2 \right )=-\nabla\cdot\left(p\mathbf{v}\right)+\nabla\cdot\left(\tau'\cdot\mathbf{v}\right)+ \rho\mathbf{f\cdot v}+\nabla\cdot\left(k\nabla T\right)$