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Mecânica hamiltoniana

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A mecânica hamiltoniana foi formulada em 1833 por William R. Hamilton. Como a mecânica lagrangiana, é uma reformulación da mecânica clássica. A mecânica hamiltoniana pode ser formulada por si mesma, usando os espaços simplécticos, sem referir a qualquer conceitos anteriores de força ou da mecânica lagrangiana. Veja a secção em sua formulación matemática para isto. Para a primeira parte deste artigo, mostraremos como surge historicamente do estudo da mecânica lagrangiana.

Conteúdo

Mecânica hamiltoniana básica

Relação entre mecânica hamiltoniana e mecânica lagrangiana

Em mecânica lagrangiana, as equações do movimento são um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, dependentes das coordenadas generalizadas \mathbf{q} = (q_1,\dots,q_N) e das velocidades generalizadas \dot\mathbf{q} = (\dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N).

As equações do movimento em mecânica lagrangiana conhecem-se como equações de Euler-Lagrange e se constroem a partir de uma função L, telefonema lagrangiano e tanto faz à energia cinética menos a energia potencial. Quando se usam coordenadas cartesianas em sistemas de referência inerciales as equações de Euler-Lagrange se reduzem à segunda lei de Newton. Ainda que sua forma em um sistema de referência geral com coordenadas generalizadas (q_1,...,q_N; \dot{q}_1,..., \dot{q}_N) é:

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(q_i(t), \dot{q}_i(t), t)}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L(q_i(t), \dot{q}_i(t), t)}{\partial q_i} = 0

A mecânica hamiltoniana, é um enfoque basicamente equivalente ao anterior, onde as equações do movimento vêm dadas por uns sistemas de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, que se escrevem em função de uma função H chamado hamiltoniano (que em certos casos pode se interpretar como a energia total do sistema, isto é, a soma de energia cinética e energia potencial). Esta redução da ordem do sistema consegue-se substituyendo variáveis das velocidades generalizadas por umas variáveis abstratas de momentum (também conhecidas como momentos conjugados). Assim pela cada velocidade generalizada, há um momento conjugado correspondente, definido como:

p_i = {\partial L \over \partial \dot{q}_i}

Se o potencial associado ao Lagrangiano não depende explicitamente da velocidade, o momento conjugado corresponde ao momento usual, utilizado em mecânica Newtoniana. Investindo este sistema de equações obtêm-se as velocidades generalizadas em termos dos momentos generalizados, passo necessário para obter o Hamiltoniano usando transformadas de Legendre. Em coordenadas polares, o momento generalizado que corresponde à velocidade angular é o momento angular físico. Para uma eleição arbitrária de coordenadas generalizadas, pode não ser possível obter uma interpretação intuitiva dos momentos conjugados. O hamiltoniano é a transformação de Legendre do lagrangiano:

(1) H \left(q,p,t\right) = \sum_i \dot{q_i} p_i - L(q_j,\dot{q_j},t)

As velocidades generalizadas são tomadas como funções dos momentos generalizados. Se as equações da transformação que definem as coordenadas generalizadas são independentes de t , pode ser demonstrado que H tanto faz à energia total E = T + V.

Equações canónicas de Hamilton

Calculando o diferencial exterior da cada um dos membros da equação (1) que define H, se tem a igualdade de formas pfaffianas:

\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt \right]\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q_i} dp_i + p_i d\dot{q_i} - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q_i}}\right) d\dot{q_i} - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \right]. \end{matrix}


Substituyendo a definição anterior dos momentos conjugados nesta equação, utilizando a equação de Lagrange e emparejando coeficientes, obtemos as equações do movimento da mecânica hamiltoniana, conhecido como as equações canónicas de Hamilton:

(2) {\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p_j}, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q_j}, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}.

Vantagens da mecânica hamiltoniana

As equações de Hamilton são equações de primeira ordem, e por tanto mais fáceis de resolver que as equações de Lagrange, que são de segunda ordem. O mais caro de trabalhar com o enfoque hamiltoniano é procurar os momentos conjugados das coordenadas generalizadas, e reexpresar as velocidades em termos destes momentos conjugados para construir o hamiltoniano.

Ainda que em ocasiões, pode ter pouca poupança de trabalho em solucionar um problema com o enfoque hamiltoniano com respeito ao enfoque lagrangiano já que, em última instância, produzir-se-á a mesma solução que a mecânica lagrangiana e as leis de Newton do movimento. No entanto existem vantagens adicionais:

\bar{\mathbf{q}} = f(\mathbf{q},t)

Deixa invariantes as equações de Euler-Lagrange, em mudança em mecânica hamiltoniana existe transformações do tipo:

\bar{\mathbf{q}} = f(\mathbf{p},\mathbf{q},t) \qquad \bar{\mathbf{p}} = f(\mathbf{p},\mathbf{q},t)

Isto é importante já que em muitos problemas mecânicos as mudanças de coordenadas se usam para deixar as equações do movimento em uma forma algébrica mais singela de integrar.

Colchete de Poisson

Artigo principal: Colchete de Poisson

O colchete de Poisson, em coordenadas canónicas, está definido como:

(4) [F,G]=\sum_i\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}

Pode ver-se que formalmente o colchete de Poisson é uma aplicação do espaço de funções definidas sobre o espaço fásico:

[,]: \mathcal{F}(\Gamma)\times\mathcal{F}(\Gamma) \to \mathcal{F}(\Gamma)


Esta aplicação tem as seguintes propriedades:

  1. [X,X] = 0\;
  2. [X,Y] = -[Y,X]\; (propriedade de antisimetía)
  3. [X,C] = 0 \quad \mbox{con} \quad C = \mbox{cte.} \;
  4. [\alpha X+\beta Y,Z] = \alpha [X,Z]+ \beta[Y,Z] \; (bilinealidad)
  5. [[X,Y],Z] + [[Z,X],Y] + [[Y,Z],X] = 0 \; (identidade de Jacobi)
  6. dX/dt = [X,H]\;

para qualquer X,Y,Z \in \mathcal{F} e para qualquer \alpha, \beta \in \mathbb{R}.

Transformações canónicas

Artigo principal: transformação canónica

Uma transformação canónica é uma mudança de coordenadas (p,q) \to (P,Q)\; no espaço fásico, tal que nas novas coordenadas as equações de Hamilton para a evolução temporária seguem conservando a forma canónica. A possibilidade de realizar transformações canónicas são uma das grandes vantagens da mecânica hamiltoniana à hora de integrar as equações de movimento. O uso das transformações canónicas também é importante no enfoque da mecânica clássicas baseado na equação de Hamilton-Jacobi.[1]

Teorema de Liouville

Artigo principal: Teorema de Liouville (mecânica hamiltoniana)

Consideremos uma região do espaço fásico que evolui com o tempo ao deslocar sobre sua trajectória a cada um de seus pontos se transforma ao cabo do tempo em uma região de forma diferente localizada, ademais, em outra parte do espaço fásico. O teorema de Liouville demonstra que apesar da translação e a mudança de forma o "volume" total de dita região permanecerá invariante. Ademais devido à continuidade da evolução temporária se a região é conexa inicialmente seguirá sendo conexa o tempo todo.

A invariancia do volume pode provar-se de maneira relativamente singela usando que a própria evolução temporária pode se ver como uma transformação canónica, e dado que estas preservam o volume se segue o teorema de Liouville para a evolução temporária.[2]

Mecânica hamiltoniana avançada

A mecânica hamiltoniana admite uma formulación muito elegante na linguagem da geometria diferencial. Nesta formulación abstrata constrói-se uma variedade simpléctica (\mathcal{M}, \omega) que de facto é o espaço fásico dotado de uma estrutura topológica conveniente. O objecto \omega\; é uma 2-forma fechada e não degenerada que permitirá definir o colchete de Poisson do sistema (e também o álgebra de Poisson do sistema). Esta 2-forma permite construir ademais uma biyección entre o espaço vectorial tangente e o espaço cotangente de 1-formas da variedade simpléctica:

\begin{matrix} T\mathcal{M} & \to & T^*\mathcal{M} \\ \mathbf{v} & \to & i_\mathbf{v}\omega=\omega(\mathbf{v},\cdot) \end{matrix}

Um sistema hamiltoniano vem descrito por uma tripleta (\mathcal{M}, \omega, \hat{H}) onde \hat{H} é uma função diferenciable, telefonema hamiltoniano, definida sobre \mathcal{M}, as equações de Hamilton se representam simplesmente como:

(5) i_\mathbf{v}\omega = \mathrm{d}\hat{H}

Onde \mathrm{d}\; é a derivada exterior. Para ver a relação entre esta última equação e as equações canónicas de Hamilton (2) podemos considerar uma carta local \phi:\mathcal{M} \to \mathbb{R}^{2n} que defina um conjunto de coordenadas canonicamente conjugadas tal como estabelece o Teorema de Darboux, podemos escrever nessas coordenadas:

\mathbf{v}|_\phi = \begin{bmatrix} \dot{p}_1\\ \dots\\ \dot{p}_N\\ \dot{q}_1\\ \dots\\ \dot{q}_N\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{\hat{H}}|_\phi^T = \begin{bmatrix} \frac{\part H}{\part p_1}\\ \dots\\ \frac{\part H}{\part p_N}\\ \frac{\part H}{\part q_1}\\ \dots\\ \frac{\part H}{\part q_N}\\ \end{bmatrix} \qquad \omega|_\phi = \begin{bmatrix} 0 & \dots & 0 & -1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots\\ 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & -1 \\ 1 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots\\ 0 & \dots & 1 & 0 & \dots & 0 \\ \end{bmatrix}

E por tanto:

i_\mathbf{v}\omega|_phi = \mathrm{d}\hat{H}|_\phi \Rightarrow \begin{bmatrix} \dot{p}_1\\ \dots\\ \dot{p}_N\\ \dot{q}_1\\ \dots\\ \dot{q}_N\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \dots & 0 & -1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots\\ 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & -1 \\ 1 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots\\ 0 & \dots & 1 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\part H}{\part q_1}\\ \dots\\ \frac{\part H}{\part q_N}\\ \frac{\part H}{\part p_1}\\ \dots\\ \frac{\part H}{\part p_N} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} \dot{p}_i = -\cfrac{\part H}{\part q_i}\\ \dot{q}_i = +\cfrac{\part H}{\part p_i} \end{cases}

Fluxo hamiltoniano

A função diferenciable \hat{H} através da equação (5) um campo vectorial contínuo sobre toda a variedade simpléctica. As curvas integrales deste campo vectorial são as trajectórias das partículas ao longo do espaço fásico. Essas curvas definem uma foliación unidimensional ou fluxo hamiltoniano sobre a variedade. De facto para a cada intervalo de tempo s pode-se definir uma aplicação:

U_s(p(t),q(t)) = (p(t+s),q(t+s))\;

Aliás a anterior aplicação é uma transformação canónica ou simplectomorfismo. O conjunto \{U_s:\mathcal{M}\to\mathcal{M}| s\in\mathbb{R}\} de todas as aplicações anteriores constitui um grupo uniparamétrico de simplectomorfismos. Se consideramos qualquer magnitude física definida como uma função diferenciable sobre a variedade simpléctica, sua variação ao longo de uma trajectória, vem dada pela seguinte derivada temporária:

\frac{d}{dt} f=\{f,\hat{H}\} = -(i_{\tilde{\omega}(\mathrm{d}H)}\omega)(\mathrm{d}f)

Tal como se demonstra mais adiante. De facto em mecânica estatística usam-se distribuições de probabilidade sobre o espaço fásico. Fixada uma distribuição ρ esta em general "evoluirá" com o tempo segundo a lei:

(6) \frac{d\rho}{dt} = - \{\rho , \hat{H}\}.

Esta última expressão chama-se equação de Liouville, em particular uma distrubición tal que o colchete de Poisson com o hamiltoniano se anule se chama distribuição estacionária.

A cada função diferenciable G, sobre a variedade simpléctica gera uma família uniparamétrica de simplectomorfismos e se {G, H}=0, então G conserva-se e os simplectomorfismos são transformações de simetría.

Álgebra de Poisson

Artigo principal: Álgebra de Poisson

A sua vez o colchete de Poisson expressa-se de modo muito simples em termos da função inversa de denotada i_{(\cdot)}\omega mendiante \tilde{\omega}:

[F,G] = (i_{\tilde{\omega}(\mathrm{d}F)}\omega)(\mathrm{d}G)\;

Há outra generalização que podemos fazer. Em vez simplesmente de olhar o álgebra de funções diferenciables sobre uma variedade simpléctica, a mecânica hamiltoniana pode-se formular como um álgebra de Poisson real unital comutativa geral.

Nesta formulación alternativa um estado é uma funcional linear contínua no álgebra de Poisson \mathcal{A}, equipada de alguma estrucutra topológica conveniente. As álgebras de Poisson são importantes no estudo de grupos cuánticos[3] usados na teoria cuántica de campos conforme, alguns modelos de cuantización de espaço-tempo, etc.

Referências

  1. ↑ Landau & Lifshitz, p. 178
  2. ↑ Landau & Lifshitz, p. 176
  3. ↑ introduction to Quantum groups (inglês)
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