Mecânica newtoniana

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A primeira e segunda lei de Newton, em latín , na edição original de sua obra Principia Mathematica.

A mecânica newtoniana ou mecânica vectorial é uma formulación específica da mecânica clássica que estuda o movimento de partículas e sólidos em um espaço euclídeo tridimensional. Ainda que a teoria é generalizable, a formulación básica da mesma faz-se em sistemas de referência inerciales onde as equações básicas do movimento se reduzem às Leis de Newton, em honra a Isaac Newton quem fez contribuições fundamentais a esta teoria.

A mecânica é a parte da física que estuda o movimento. Se subdivide em:

Estática, que trata sobre as forças em equilíbrio mecânico.
Cinemática, que estuda o movimento sem ter em conta as causas que o produzem.
Dinâmica, que estuda os movimentos e as causas que os produzem.

A mecânica newtoniana é adequada para descrever eventos físicos da experiência diária, isto é, a eventos que sucedem a velocidades muitíssimo menores que a velocidade da luz e têm escala macroscópica. No caso de sistemas com velocidades apreciables à velocidade da luz devemos ir à mecânica relativista.

Importância da mecânica newtoniana

A mecânica newtoniana é um modelo físico macroscópico do meio fisico. É relativamente fácil de compreender e de representar matematicamente, comparada com a abstracção e generalidad das formulaciones lagrangiana ou hamiltoniana da mecânica clássica.

E, por suposto, é relativamente mais singela que uma teoria como a mecânica cuántica relativista, que descreve adequadamente inclusive fenómenos partículas elementares se movendo a grande velocidade e meios microscópicos, que não podem ser adequadamente renderizados pela mecânica newtoniana.

A mecânica newtoniana é suficientemente válida para a grande maioria dos casos práticos quotidianos em uma grande quantidade de sistemas. Esta teoria, por exemplo, descreve com grande exactidão sistemas como foguetes, movimento de planetas, moléculas orgânicas, trompos, comboios e trajectórias de móveis em general.

A mecânica clássica de Newton é amplamente compatível com outras teorias clássicas como o electromagnetismo e a termodinámica, também "clássicos" (estas teorias têm também seu equivalente cuántico).

Descrição da teoria

Magnitudes de posição e posições

A posição de uma partícula com respeito a um ponto fixo no espaço denota-se com o vetor r, cuja norma, | r | = r, corresponde à distância entre o ponto fixo e a partícula, e sua direcção é a que vai desde este ponto fixo ao lugar em que se localiza a partícula. Se r é uma função do tempo t, denotado por r = f(t), o tempo t toma-se a partir de um tempo inicial arbitrário:

$\vec{r}=f(t)\,$

Então resulta que a velocidade média (também um vetor) se denota por:

$\vec{v} = {\Delta\vec{r} \over \Delta t}$ .

A aceleração média, ou a quantidade de mudança da velocidade é:

$\vec{a} = {\Delta\vec{v} \over \Delta t}$ .

A posição indica o lugar do objecto que se está a analisar. Se dito objecto muda de lugar, a função r descreve o novo lugar do objecto. Estas quantidades r, v, e a , podem ser descritas sem usar cálculo diferencial, mas os resultados são somente aproximados já que todas estas funções e quantidades estão definidas de acordo ao cálculo. No entanto, estas aproximações darão uma mais fácil entendimento das equações.

Se, por exemplo, fizesse-se um experimento onde se mede o tempo (t) e a posição do móvel (r) nesse tempo (t). Anota-se primeiro o tempo inicial como t₀ que é quando se inicia o cronómetro do experimento, e se anota o tempo final simplesmente como t ou t_final. Se anota-se a posição inicial como r₀, então se designa a posição final com o símbolo r ou r_final. Agora, tendo já definido as magnitudes fundamentais, se pode expressar as quantidades físicas da seguinte maneira. A velocidade do móvel é denotada por:

$\mathbf{v} = \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r_0}}{t-t_0}$

também com a expressão:

$\mathbf{v} = \frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}$

A aceleração denota-se com

$\mathbf{a} = {\mathbf{v} - \mathbf{v_0} \over t - t_0}$

Também com:

$\mathbf{a} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$

Forças

O princípio fundamental da dinâmica (segundo princípio de Newton) relaciona a massa e a aceleração de um móvel com uma magnitude vectorial, a força. Se supõe-se que m é a massa de um corpo e F o vetor resultante de somar todas as forças aplicadas ao mesmo (resultante ou força neta), então:

$\mathbf{F} = {\Delta m\mathbf{v} \over \Delta t}$

onde m não é, necessariamente, independente de t . Por exemplo, um foguete expulsa gases diminuindo a massa de combustível e portanto, sua massa total, que decrece em função do tempo. À quantidade m v chama-se-lhe momento linear ou quantidade de movimento.

Quando m é independente de t (como é frequente), a anterior equação devém:

$\mathbf{F} = {m \times \mathbf{a}}$

A função de F obtém-se de considerações sobre a circunstância particular do objecto. A terceira lei de Newton dá uma indicação particular sobre F: se um corpo A exerce uma força F sobre outro corpo B, então B exerce uma força (força de reacção) de igual magnitude e sentido oposto sobre A, -F (terceiro princípio de Newton ou princípio de acção e reacção).

Energia

Se uma força $\mathbf{F}$ aplica-se a um corpo que segue uma trajectória C, o trabalho realizado pela força é uma magnitude escalar de valor:

$W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{v}\ dt$

Onde $\mathbf{v}$ é a velocidade na cada ponto da trajectória. Se supõe-se que a massa do corpo é constante, e $\Delta W{total}$ é o trabalho total realizado sobre o corpo, obtido ao somar o trabalho realizado pela cada uma das forças que actua sobre o mesmo, então, aplicando a segunda lei de Newton se pode demonstrar que:

$\Delta W_{total} = \Delta T\,$

Em onde T é a chamada energia cinética, também denotada como K. Para uma partícula pontual, T define-se:

$T = \frac{1}{2} m \mathbf{v}^2$

Para objectos extensos compostos por muitas partículas, a energia cinética é a soma das energias cinéticas das partículas que o constituem. Um tipo particular de forças, conhecidas como forças conservativas, pode ser expressar como o gradiente de uma função escalar, chamada potencial, V:

$\mathbf{F} = - \mbox{grad}\, V$

Se supõem-se todas as forças sobre um corpo conservativas, e V é a energia potencial do corpo (obtida por soma das energias potenciais da cada ponto devidas à cada força), então

$\mathbf{F} \Delta \mathbf{r} = -V \Delta \mathbf{r} = -\Delta V$

$\Rightarrow - V = \Delta T$

$\Rightarrow \Delta (T + V) = 0$

Este resultado é conhecido como a lei de conservação da energia, indicando que a energia total $E = T + V$ ou $E = K + U$ é constante (não é função do tempo).

Outros resultados

A segunda lei de Newton permite obter outros resultados, a sua vez considerados como leis. Ver por exemplo momento angular.

Relações com outras teorias

Além da formulación newtoniana da mecânica clássica, existem outras duas importantes formulaciones alternativas da mecânica clássica com maior grau de formalización: A mecânica lagrangiana e a mecânica hamiltoniana.

Se restringimos estas duas formulaciones a estudo do movimento de sistemas de partículas ou sólidos em um espaço euclídeo tridimensional ℝ³ e consideramos sobre ele sistemas de coordenadas inerciales, então ambas são equivalnetes às leis de Newton e suas consequências. No entanto, tanto a mecânica lagrangiana como a mecânica hamiltoniana, devido à generalidad de sua formulación podem tratar adequadamente os sistemas não inerciales sem mudança algum, além de que na prática a resolução de problemas complexos é mais singela nestas formulaciones mais formais.

A mecânica relativista vai para além da mecânica clássica e trata com objectos movendo-se a velocidades relativamente próximas à velocidade da luz). A mecânica cuántica trata com sistemas de reduzidas dimensões (a escala semelhante à atómica), e a teoria cuántica de campos (ver tb. campo) trata com sistemas que exibem ambas propriedades.

Veja-se também

Outros conceitos

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