Momento angular

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O momento angular ou momento cinético é uma magnitude física importante em todas as teorias físicas da mecânica, desde a mecânica clássica à mecânica cuántica, passando pela mecânica relativista. Sua importância em todas elas se deve a que está relacionada com as simetrías rotacionais dos sistemas físicos. Baixo certas condições de simetría rotacional dos sistemas é uma magnitude que se mantém constante com o tempo à medida que o sistema evolui, o qual dá lugar a uma lei de conservação conhecida como lei de conservação do momento angular. O momento angular mede-se no SE em kg·m²/s.

Esta magnitude desempenha com respeito às rotações um papel análogo ao momento linear nas translações. No entanto, isso não implica que seja uma magnitude exclusiva das rotações; por exemplo, o momento angular de uma partícula que se move livremente com velocidade constante (em módulo e direcção) também se conserva.

O nome tradicional em espanhol é momento cinético,^[1] mas por influência do inglês angular momentum hoje são frequentes momento angular e outras variantes como quantidade de movimento angular ou impulso angular.

Conteúdo

1 Momento angular em mecânica clássica
2 Momento angular em mecânica relativista
3 Momento angular em mecânica cuántica
- 3.1 Momento angular orbital
- 3.2 Conservação do momento angular cuántico
4 Veja-se também
5 Referências
6 Bibliografía
7 Enlaces externos

Momento angular em mecânica clássica

Momento angular de uma massa pontual

Arquivo:Moglfm1202 momento angular.jpg

O momento angular de uma partícula com respeito ao ponto $\scriptstyle{O}$ é o produto vectorial de seu momento linear $\scriptstyle{m\mathbf v}$ pelo vetor $\scriptstyle{\mathbf r}$ .

Em mecânica newtoniana, o momento angular de uma partícula ou massa pontual com respeito a um ponto Ou do espaço define-se como o momento de sua quantidade de movimento $\mathbf{p}$ com respeito a esse ponto. Normalmente designa-se mediante o símbolo $\mathbf{L}$ . Sendo $\mathbf{r}$ o vetor que une o ponto Ou com a posição da massa pontual, será

$\mathbf L=\mathbf r \times\mathbf p = \mathbf r\times m\mathbf v$

O vetor $\mathbf L \,$ é perpendicular ao plano que contém $\mathbf r \,$ e $\mathbf v \,$ , na direcção indicada pela regra do produto vectorial ou regra do sacacorchos e seu módulo ou intensidade é:

$L = mrv\sin\theta = p\,r\sin\theta=p\,b_p$

isto é, o produto do módulo do momento linear por seu braço ( $b_p\,$ no desenho), definido este como a distância do ponto com respeito ao que se toma o momento à recta que contém a velocidade da partícula.

Momento angular e momento dinâmico

Derivemos o momento angular com respeito ao tempo:

${d\mathbf L\over dt}={d\ \over dt}(\mathbf r\times \mathbf p)= \left({d\mathbf r\over dt}\times \mathbf p \right)+\left( \mathbf r\times{d\mathbf p\over dt}\right)$

O primeiro dos parênteses é zero já que a derivada de com $\mathbf r \,$ respeito ao tempo não é outra coisa que a velocidade $\mathbf v \,$ e, como o vetor velocidade é paralelo ao vetor quantidade de movimento $\mathbf p \,$ , o produto vectorial é zero. Quanto ao segundo parêntese, temos:

${d\mathbf L\over dt}=\mathbf r\times{d\mathbf p \over dt} = \mathbf r\times{d\over dt} \left( m\mathbf v \right) = \mathbf r\times(m \mathbf a)$

onde $\scriptstyle{\mathbf a}$ é a aceleração da partícula, de maneira que $m\mathbf a=\mathbf F \,$ , é a força que actua sobre ela. Já que o produto vectorial de por $\mathbf r \,$ a força é o momento ou momento dinâmico aplicado à massa, temos:

${d\mathbf L\over dt}=\mathbf r\times \mathbf F=\mathbf M$

Assim, a derivada temporária do momento angular tanto faz ao momento dinâmico que actua sobre a partícula. Há que destacar que nesta expressão ambos momentos, $\mathbf L \,$ e $\mathbf M\,$ deverão estar referidos ao mesmo ponto Ou.

Momento angular de um conjunto de partículas pontuas

O momento angular de um conjunto de partículas é a soma dos momentos angulares da cada uma:

$\mathbf L=\sum_k \vec r_k \times \vec p_k=\sum \mathbf L_i \,$

A variação temporária é:

${d\mathbf L\over dt}=\sum{d\mathbf L_i\over dt}=\sum\mathbf M_i \,$

O termo de direita é a soma de todos os momentos produzidos por todas as forças que actuam sobre as partículas. Uma parte dessas forças pode ser de origem externo ao conjunto de partículas. Outra parte pode ser forças entre partículas. Mas a cada força entre partículas tem sua reacção que tanto faz mas de direcção oposta e colinear. Isso quer dizer que os momentos produzidos pela cada uma das forças de um par acção-reacção são iguais e de signo contrário e que sua soma se anula. Isto é, a soma de todos os momentos de origem interno é zero e não pode fazer mudar o valor do momento angular do conjunto. Só ficam os momentos externos:

${d\mathbf L\over dt}=\sum{d\mathbf L_i\over dt}=\mathbf M_{ext.} \,$

O momento angular de um sistema de partículas conserva-se em ausência de momentos externos. Esta afirmação é válida para qualquer conjunto de partículas: desde núcleos atómicos até grupos de galaxias.

Momento angular de um sólido rígido

Temos que em um sistema inercial a equação de movimento é:

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\mathbf{I}(t) \mathbf{\omega}(t)\right]$

Onde:

$\scriptstyle{\mathbf \omega}$ é a velocidade angular do sólido.
$\scriptstyle{\mathbf{I}}$ é o tensor de inércia do corpo.

Agora bem, normalmente para um sólido rígido o tensor de inércia $\mathbf{I}$ , depende do tempo e por tanto no sistema inercial geralmente não existe um análogo da segunda lei de Newton, e a não ser que o corpo gire ao redor de um dos eixos principais de inércia sucede que:

${d\mathbf L\over dt} \ne \mathbf{I}{d\mathbf{\omega} \over dt} =\mathbf{I}\mathbf{\alpha}$

Onde $\scriptstyle{\mathbf \alpha}$ é a aceleração angular do corpo. Por isso resulta mais útil propor as equações de movimento em um sistema não inercial formado pelos eixos principais de inércia do sólido, assim se consegue que $\mathbf{I} = \mbox{cte.}$ , ainda que então é necessário contar com as forças de inércia:

${d\mathbf L\over dt} = \mathbf{I}{d \mathbf{\omega} \over dt} + \mathbf{\omega} \times (\mathbf{I} \mathbf{\omega})$

Que resulta ser uma equação não linear na velocidade angular.

Conservação do momento angular clássico

Quando a soma dos momentos externos é zero $\scriptstyle{\mathbf M =0}$ , temos visto que:

${d\mathbf L\over dt}= 0\,$

Isso quer dizer que $\scriptstyle{\mathbf L=\mathrm{ constante}}$ . E como $\scriptstyle{\mathbf L}$ é um vetor, é constante tanto em módulo como em direcção.

Consideremos um objecto que pode mudar de forma. Em uma dessas formas, seu Momento de inércia é $\scriptstyle{I_1}$ e sua velocidade angular $\scriptstyle{\mathbf\omega_1}$ . Se o objecto muda de forma (sem intervenção de um momento externo) e que a nova distribuição de massas faz que seu novo Momento de inércia seja $\scriptstyle{I_2}$ , sua velocidade angular mudará de maneira tal que:

$\mathbf{I}_1\mathbf\omega_1 = \mathbf{I}_2\mathbf\omega_2 \,$

Em alguns casos o momento de inércia pode-se considerar um escalar. Então a direcção do vetor velocidade angular não mudará. Só mudará a velocidade de rotação.

Há muitos fenómenos nos quais a conservação do momento angular tem muita importância. Por exemplo:

Em todas as artes e os desportos nos quais se fazem voltas, piruetas, etc. Por exemplo, para fazer uma pirueta, uma bailarina ou uma patinadora tomam impulso com os braços e uma perna estendida para aumentar seus momentos de inércia ao redor da vertical. Depois, fechando os braços e a perna, diminuem seus momentos de inércia, o qual aumenta a velocidade de rotação. Para terminar a pirueta, a extensão dos braços e uma perna, permite diminuir a velocidade de rotação. Sucede o mesmo com o salto de plataforma ou o trampolín.
Para controlar a orientação angular de um satélite ou sonda espacial. Como se pode considerar que os momentos externos são zero, o momento angular e depois, a orientação do satélite não mudam. Para mudar esta orientação, um motor eléctrico faz girar um volante de inércia. Para conservar o momento angular, o satélite põe-se a girar no sentido oposto. Uma vez na boa orientação, basta parar o volante de inércia, o qual para o satélite. Também se utiliza o volante de inércia para parar as pequenas rotações provocadas pelos pequenos momentos inevitáveis, como o produzido pelo vento solar.
Algumas estrelas contraem-se convertendo-se em púlsar (estrela de neutrones). Seu diâmetro diminui até uns quilómetros, seu momento de inércia diminui e sua velocidade de rotação aumenta enormemente. Detectaram-se pulsares com períodos rotação de tão só uns milisegundos.
Devido às marés, a lua exerce um momento sobre a terra. Leste diminui o momento angular da terra e, devido à conservação do momento angular, o da lua aumenta. Em consequência, a lua aumenta sua energia afastando da terra e diminuindo sua velocidade de rotação (mas aumentando seu momento angular). A lua afasta-se e nos dias e nos meses lunares alongam-se.

Exemplo

Arquivo:MomAng2.png

A massa gira tida por um fio que pode deslizar através de um tubito delgado. Atirando do fio muda-se a rádio de giro sem modificar o momento angular.

No desenho da direita temos uma massa que gira, tida por um fio de massa despreciable que passa por um tubito fino. Supomos o conjunto sem rozamientos e não temos em conta a gravidade.

A força que o fio exerce sobre a massa é radial e não pode exercer um momento sobre a massa. Se atiramos do fio, a rádio de giro diminuirá. Como, em ausência de momentos externos, o momento angular se conserva, a velocidade de rotação da massa deve aumentar.

Um tirón sobre o fio comunica uma velocidade radial $\scriptstyle{\Delta V}$ à massa. A nova velocidade é a soma vectorial da velocidade precedente e $\scriptstyle{\Delta V}$

No desenho seguinte aparece a massa que gira com uma rádio $\scriptstyle{R_1}$ no momento no qual se dá um tirón do fio. O termo correcto do "tirón" física é um impulso, isto é uma força aplicada durante um instante de tempo. Esse impulso comunica uma velocidade radial $\scriptstyle{\Delta V}$ à massa. A nova velocidade será a soma vectorial da velocidade precedente $\scriptstyle{V}$ com $\scriptstyle{\Delta V}$ . A direcção dessa nova velocidade não é tangencial, senão entrante. Quando a massa passa pelo ponto mais próximo do centro, a uma distância $\scriptstyle{R_2}$ , cobramos o fio solto e a massa continuará a girar com a novo rádio $\scriptstyle{R_2}$ . No desenho, o triângulo amarelo e o triângulo rosado são semelhantes. O qual nos permite de escrever:

${V_2\over V_1}={R_1\over R_2} \,$

ou seja:

$V_1R_1=V_2 R_2 \,$

E, se multiplicamos pela massa $\scriptstyle{m}$ , obtemos que o momento angular se conservou, como o esperávamos:

$mV_1R_1=mV_2 R_2 \,$

Vemos como o momento angular se conservou: Para reduzir a rádio de giro há que comunicar uma velocidade radial, a qual aumenta a velocidade total da massa.

Também se pode fazer o experimento no outro sentido. Se solta-se o fio, a massa segue a tangente da trajectória e seu momento angular não muda. A um verdadeiro momento freamos o fio para que o rádio seja constante de novo. O facto de frear o fio, comunica uma velocidade radial (para o centro) à massa. Desta vez esta velocidade radial diminui a velocidade total e só fica a componente da velocidade tangencial ao fio na posição na qual lho freou.

Não é necessário fazer a experiência dando um tirón. Pode-se fazer de maneira contínua, já que a força que se faz recobrando e soltando fio pode decompor em uma sucessão de pequenos impulsos.

Momento angular em mecânica relativista

Em mecânica newtoniana o momento angular é um pseudovector ou vetor axial, pelo que em mecânica relativista deve ser tratado como o dual de Hodge das componentes espaciais de um tensor antisimétrico. Uma representação do momento angular na teoria especial da relatividad é por tanto como cuadritensor antisimétrico:

$\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0 & ctp_x - Ex/c & ctp_y - Ey/c & ctp_z - Ez/c \\ Ex/c - ctp_x & 0 & xp_y - yp_x & xp_z - zp_x \\ Ey/c - ctp_y & yp_x - xp_y & 0 & yp_z - yp_z \\ Ez/c - ctp_z & zp_x - xp_z & zp_y - yp_z & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & r_x & r_y & r_z \\ -r_x & 0 & L_z & -L_y \\ -r_y & -L_z & 0 & L_x \\ -r_z & L_y & -L_x & 0 \end{pmatrix}$

Pode ver-se que as 3 componentes espaciais formam o momento angular da mecânica newtoniana $\mathbf{L} = (L_x, L_y, L_z)$ e o resto de componentes $(r_x, r_y, r_z) \,$ descrevem o momiviento do centro de massas relativista.

Momento angular em mecânica cuántica

Em mecânica cuántica todo o operador $\hat{A}$ que cumpra a seguinte expressão:

$\hat{A}^2 | \alpha, \beta \rang = {\hbar}^2 \alpha(\alpha+1) | \alpha, \beta \rang \qquad ;\qquad \hat{O}_3 | \alpha, \beta \rang = \hbar \beta | \alpha, \beta \rang$

é considerado como momento angular. Por exemplo o momento angular orbital $\mathbf L$ , o espín $\mathbf S$ (ou momento angular intrínseco), o isospín $\mathbf I$ , o momento angular total $\mathbf J$ , etc.

As relações de conmutación canónicas para os operadores tipo momento angular são:

$[\hat{A}_i, \hat{A}_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} \hat{A}_k, \qquad \left[\hat{A}_i, \hat{A}^2 \right] = 0$

onde $\epsilon_{ijk}$ é o símbolo de Levi-Civita.

Momento angular orbital

O momento angular orbital, tal como o que tem um sistema de duas partículas que gira uma ao redor da outra, se pode transformar a um operador $\hat{L}$ mediante sua expressão clássica:

$\mathbf{\hat{L}} = - i\hbar \left(\mathbf{r}\times\boldsymbol\nabla \right)$

sendo $\mathbf r$ a distância que as separa.

Usando coordenadas cartesianas as três componentes do momento angular expressam-se no espaço de Hilbert usual para as funções de onda, $L^2(\mathbb{R}^3)$ , como:

$\hat{L}_x = - i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right) \qquad \hat{L}_y = - i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right) \qquad \hat{L}_z = - i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)$

Em mudança em coordenadas angulares esféricas o quadrado do momento angular e a componente Z expressam-se como:

$\ \hat{L}^2 = -\hbar^2 \left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right] \qquad \hat{L}_z = -i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)$

Os vetores próprios ou estados próprios do momento angular orbital dependem de dois números cuánticos inteiros l e m , designam-se como $| l, m \rang$ e satisfazem as relações:

$\hat{L}^2 | l, m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) | l, m \rang \qquad \hat{L}_z | l, m \rang = \hbar m | l, m \rang$

Estes vetores próprios expressados em termos das coordenadas angulares esféricas são os chamados harmônicos esféricos E_{l, m}(θ,φ), que se constroem a partir dos polinômios de Legendre:

$\lang \theta , \phi | l, m \rang = Y_{l,m}(\theta,\varphi) \qquad Y_{l,m}(\theta,\varphi) = N \, e^{i m \varphi } \, P_l^m (\cos{\theta})$

Têm especial importância por ser a componente angular dos orbitais atómicos.

Conservação do momento angular cuántico

É importante notar que se o hamiltoniano não depende das variáveis angulares, como sucede por exemplo em problemas com potencial de simetría esférica então todas as componentes do momento angular comutam com o hamiltoniano:

$\left[\hat{L}_i, H \right] = 0$

e, como consequência, o quadrado do momento angular também comuta com o Hamiltoniano:

$\left[\hat{L}^2, H \right] = 0$ .

E temos que o momento angular se conserva, isso significa que ao longo da evolução no tempo do sistema cuántico a distribuição de probabilidade dos valores do momento angular não variará. Note-se no entanto que como as componentes do momento angular não comutam entre si não se podem definir simultaneamente. No entanto, se podem-se definir simultaneamente o quadrado do momento angular e uma de seus componentes (habitualmente se elije a componente Z). Em particular se temos estados cuánticos por enquanto bem definido estes seguirão sendo estados cuánticos por enquanto bem definido com os mesmos valores dos números cuánticos l e m .

Veja-se também

Referências

↑ Real Academia de Ciências Exactas, Físicas e Naturais [Espanha], Vocabulario científico e técnico, Madri, Espasa, 1996, pág. 672.

Bibliografía

Marion, Jerry B. (1996). Dinâmica clássica das partículas e sistemas (em espanhol), Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lições de Física (4 volumes) (em espanhol), Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª (em espanhol), CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3.
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6ª edição (em inglês), Brooks/Escola. ISBN 0-534-40842-7.
Tipler, Paul A. (2000). Física para a ciência e a tecnologia (2 volumes) (em espanhol), Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.

Enlaces externos

No DRAE.

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