multiplicação - Wikilingue - Encydia
3 × 4 = 12 = 4 × 3
doze elementos podem ser ordenados em três bichas de quatro, ou quatro colunas de três.
A multiplicação é uma operação aritmética de composição que consiste em somar reiteradamente a primeira quantidade tantas vezes como indica a segunda. Assim, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. A multiplicação está sócia ao conceito de área geométrica.
O resultado da multiplicação de vários números chama-se produto. Os números que se multiplicam se chamam factores ou coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a somar) e multiplicador (vezes que se soma o multiplicando). Ainda que esta diferenciación em alguns contextos pode ser supérflua quando no conjunto onde esteja definido o produto se tem a propriedade conmutativa da multiplicação (por exemplo, nos conjuntos numéricos). Veja-se [1] para uma discussão sobre o tema.
Em Álgebra Moderna costuma-se usar a denominação Cociente ou multiplicação com sua anotação habitual "·" para designar a operação externa em um módulo, para designar também a segunda operação que se define em um anel (aquela para a que não está definido o elemento inverso do 0), ou para designar a operação que dota a um conjunto de estrutura de grupo.
Por exemplo:
12 multiplicando x4 Multiplicador de factores 48 Produto
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Anotação
A multiplicação indica-se com a aspa × ou o ponto centrado ·. Em ausência destes caracteres costuma-se empregar o asterisco *, sobretudo em computação (este uso tem sua origem em FORTRAN ), mas está desaconsejado em outros âmbitos e só deve se utilizar quando não há outra alternativa. Às vezes utiliza-se a letra x, mas isto é desaconsejable porque cria uma confusão desnecessária com a letra que normalmente se atribui a uma incógnita em uma equação. Por último, pode-se ignorar o signo de multiplicação a não ser que multipliquem-se números ou possa-se gerar confusão sobre os nomes das incógnitas, constantes ou funções (por exemplo, quando o nome de alguma incógnita tem mais de uma letra e poderia confundir com o produto de outras duas). Também costumam se utilizar signos de agrupamento como o parêntese (), colchetes ([]) ou chaves ({ }). Isto mayormente se utiliza para multiplicar números negativos entre si ou por números positivos.
Se os factores não se escrevem de forma individual e estão definidos dentro de um vetor, se pode escrever o produto mediante uma elipsis, isto é, escrever explicitamente os primeiros termos e os últimos, ou, em caso de um produto de infinitos termos (ou produtos infinitos), só os primeiros, e substituir os demais por uns pontos suspensivos. Isto é análogo ao que se faz com outras operações aplicadas a infinitos números (como as somas). [O produto de infinitos termos define-se como o limite do produto do n primeiros termos quando n cresce indefinidamente].
Assim, o produto de todos os números naturais desde o 1 até o 100 se pode escrever:
Isto também se pode denotar escrevendo os pontos suspensivos na parte média da linha de texto:
Em qualquer caso, devem estar claros quais são os termos ignorados.
Por último, pode-se denotar o produto mediante o símbolo productorio, que prove da letra grega Π (Pi maiúscula).
Isto se define assim:
O subíndice i indica uma variável que percorre os números inteiros desde um valor mínimo (m, indicado no subíndice) e um valor máximo (n, indicado no superíndice).
Definição
A multiplicação de dois números inteiros n e m expressa-se como:
Esta não é mais que uma forma de simbolizar a expressão "somar m a si mesmo n vezes". Pode facilitar o entendimento o expandir a expressão anterior:
- m×n = m + m + m +...+ m
tal que há n sumandos. Assim, por exemplo:
- 5×2 = 5 + 5 = 10
- 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
- 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
- m×6 = m + m + m + m + m + m = 6m
Propriedades
Propriedade conmutativa
Utilizando esta definição, é fácil demonstrar algumas propriedades interessantes da multiplicação. Como indicam os dois primeiros exemplos, a ordem em que se multiplicam dois números é irrelevante, o que se conhece como propriedade conmutativa, e se cumpre em general para dois números qualquer x e e:
- x·e = e·x
Propriedade associativa
A multiplicação também cumpre a propriedade associativa, que consiste em que, para três números qualquer x, e, z, se cumpre:
- (x·e)z = x(e·z)
Na anotação algébrica, os parênteses indicam que as operações dentro dos mesmos devem ser realizadas com preferência a qualquer outra operação.
por exemplo: (8*3) *2 = 8* (3*2)
24 *2 = 8*6
48 = 48
Propriedade distributiva
A multiplicação também tem o que se chama propriedade distributiva com a soma, porque:
- x·(e + z) = xy + xz
Assim mesmo:
- (x + t)(e + z) = x(e + z) + t(e + z) = xy + xz + ty + tz
Elemento neutro
Também é de interesse que qualquer número multiplicado por 1 tanto faz a si mesmo:
- 1·x = x
isto é, a multiplicação tem um elemento neutro que é o 1.
Zero
Que ocorre com o zero? A definição inicial 
não ajuda muito porque 1 é maior que 0. De facto, é mais fácil definir o produto por zero utilizando a segunda definição:
- m·0 = m + m + m +...+ m
onde há zero sumandos. A soma de zero vezes m é zero, de modo que
- m·0 = 0
sem importar o que valha m, sempre que seja finito.
Outra possibilidade é usar a propriedade conmutativa
Conexão com a geometria
Desde um ponto de vista puramente geométrico, a multiplicação entre 2 valores produz uma área que é representable. Do mesmo modo o produto de 3 valores produz um volume igualmente representable. E em general o produto de qualquer número de valores maiores de 0 produz um resultado geométrico representable seja este mais ou menos intuitivo e mais ou menos fácil de representar.
Produto de números negativos
O produto de números negativos também requer reflexionar um pouco. Primeiro, considere-se o número -1. Para qualquer inteiro positivo m:
- (-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m
Este é um resultado interessante que mostra que qualquer número negativo não é mais que um número positivo multiplicado por -1. De modo que a multiplicação de inteiros quaisquer pode-se representar pela multiplicação de inteiros positivos e factores -1. O único que fica por definir é o produto de (-1)(-1):
(-1)(-1) = -(-1) = 1
Desde números inteiros a números complexos
Desta forma, define-se a multiplicação de dois inteiros. As definições podem estender-se a conjuntos a cada vez maiores de números: primeiro o conjunto das fracções ou números racionais, depois a todos os números reais e finalmente aos números complexos e outras extensões dos números reais.
Definição recursiva
Uma definição recursiva da multiplicação pode dar segundo estas regras:
- x·0 = 0
- x·e = x + x·(e-1)
onde x é uma quantidade arbitrária e e é um número natural. Uma vez o produto está definido para os números naturais, pode-se estender a conjuntos maiores, como já se indicou anteriormente.
Cálculo de um produto
- Consideremos um anel R e a categoria de R-módulos a esquerda. Neste caso a soma directa existe e é única. A construção pode-se fazer da seguinte maneira: seja (A_i)_{i \in} I uma família de R-módulos a esquerda, então S := \{ (a_i)_{i \in}I : a _i \in A_i e excepto um número finito todos os ai são zero} e f_i: A_i \to S é a inclusão de Ai na i-ésima coordenada.
A soma de elementos de S é coordenada a coordenada e o produto de um elemento de R por um de S, também é coordenada a coordenada.
- Um caso particular do anterior é quando R é corpo, isto é quando estamos na categoria de espaços vectoriais sobre um corpo dado. Neste caso, dado V espaço vectorial e W, Ou dois subespacios de V, tais que W \cap Ou= \{0\}, podemos definir a soma directa interna, denotada W \oplus Ou, como o subespacio gerado por W e Ou. Não é difícil provar que este subespacio é isomorfo à soma directa definida no ponto anterior.
Outros produtos
- Produto de matrizes: A multiplicação de matrizes, que não tem propriedade conmutativas.
