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Número áureo

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Uma secção áurea é uma divisão em duas de um segmento segundo proporções dadas pelo número áureo. A longitude total a+b é ao segmento mais longo a como a é ao segmento mais curto b.


O número áureo ou de ouro (também chamado número plateado, razão extrema e meia,[1] razão áurea, razão dourada, média áurea, proporção áurea e divina proporção) representado pela letra grega φ (fi) (em minúscula) ou Φ (fi) (em maiúscula), em honra ao escultor grego Fidias, é um número irracional:[2]

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx                 1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260

...

Também se representa com a letra grega Tau (Τ τ),[3] por ser a primeira letra da raiz grega τομή, que significa encurtar, ainda que o encontrar representado com a letra Fi (Φ,φ) é mais comum.

Trata-se de um número algébrico que possui muitas propriedades interessantes e que foi descoberto na antigüedad, não como “unidade” senão como relação ou proporção entre segmentos de rectas. Esta proporção encontra-se tanto em algumas figuras geométricas como na natureza em elementos tais como caracolas, nervaduras das folhas de algumas árvores, a espessura dos ramos, etc.

Assim mesmo, atribui-se um carácter estético especial aos objectos que seguem a razão áurea, bem como uma importância mística. Ao longo da história, tem-se-lhe atribuído importância em diversas obras de arquitectura e outras artes, ainda que alguns destes casos têm sido objetables para as matemáticas e a arqueologia.

Conteúdo

Definição

Números
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binário 1,1001111000110111011...
Decimal 1,6180339887498948482...
Hexadecimal 1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracção contínua 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}
Algébrico \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Diz-se que dois números positivos a e b estão em razão áurea se e só se:

\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi

Para obter o valor da \varphi partir desta razão considere o seguinte:

Que a longitude do segmento mais curto b seja 1 e que a de a seja x. Para que estes segmentos cumpram com a razão áurea devem cumprir que:

\frac{1 + x}{x} = \frac{x}{1}

Multiplicando ambos lados por x e reordenando:

\ x^2 - x -1 = 0

Mediante a fórmula geral das equações de segundo grau obtém-se que as duas soluções da equação são

x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1,61803

x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi} \approx -0,61803

A solução positiva é o valor do número áureo.

História do número áureo

Phi uc lc.svg
Letras gregas
Α α Alfa Β β Beta
Γ γ Gama Δ δ Delta
Ε ε Épsilon Ζ ζ Dseta
Η η Eta Θ θ Theta
Ι ι Iota Κ κ Kappa
Λ λ Lambda Μ μ My
Ν ν Ny Ξ ξ Xi
Ο ο Ómicron Π π Pi
Ρ ρ Ro Σ σ Sigma
Τ τ Tau Υ υ Ípsilon
Φ φ Fi Χ χ Ji
Ψ ψ Psi Ω ω Omega
Letras obsoletas
Digamma uc lc.svg Digamma Stigma uc lc.svg Stigma
Heta uc lc.svg Heta
San uc lc.svg San Sho uc lc.svg Sho
Qoppa uc lc.svg Qoppa Sampi uc lc T-shaped.svg Sampi
Alfabeto grego

Existem vários textos que sugerem que o número áureo se encontra como proporção em certas estelas Babilonias e Asirias de ao redor de 2000  a. C. No entanto, não existe documentação histórica que indique que o número áureo foi usado conscientemente pelos arquitectos ou artistas na construção das estelas. Também é importante notar que quando se mede uma estrutura complicada é fácil obter resultados curiosos se se têm muitas medidas disponíveis. Ademais para que se possa considerar que o número áureo está presente, as medidas devem se tomar desde pontos relativamente óbvios do objecto e este não é o caso dos elaborados teoremas que defendem a presença do número áureo. Por todas estas razões Mario Livio e Alvaro Valarezo concluem que é muito improvável que os babilonios tenham descoberto o número áureo.[4]

O primeiro em fazer um estudo formal sobre o número áureo foi Euclides (c. 300-265 a. C.), quem o definiu da seguinte maneira:

"Diz-se que uma linha recta está dividida no extremo e seu proporcional quando a linha inteira é ao segmento maior como o maior é ao menor."
Euclides nos Elementos.

Euclides demonstrou também que este número não pode ser descrito como a razão de dois números inteiros, isto é é irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) viveu dantes de que Euclides estudasse o número áureo, no entanto, às vezes esse lhe atribui o desenvolvimento de teoremas relacionados com o número áureo devido que o historiador grego Proclo escreveu:

"Eudoxo... multiplicou o número de teoremas relativos à secção aos que Platón deu origem."
Proclo em Um comentário sobre o Primeiro Livro dos Elementos de Euclides.

Aqui com frequência interpretou-se a palavra secção (τομή) como a secção áurea. No entanto a partir do século XIX esta interpretação tem sido motivo de grande controvérsia e muitos pesquisadores têm chegado à conclusão de que a palavra secção não teve nada que ver com o número áureo. Não obstante, Platón considerou que os números irracionais, descobertos pelos pitagóricos, eram de particular importância e a chave à física do cosmos. Esta opinião teve uma grande influência em muitos filósofos e matemáticos posteriores, em particular os neoplatónicos.

Apesar do discutible de seu conhecimento sobre o número áureo, Platón deu-se à tarefa de estudar a origem e a estrutura do cosmos, coisa que tentou usando os cinco sólidos platónicos, construídos e estudados por Teeteto . Em particular, combinou a ideia de Empédocles sobre a existência de quatro elementos básicos da matéria, com a teoria atómica de Demócrito , para Platón a cada um dos sólidos correspondia a um das partículas que conformavam a cada um dos elementos. Segundo Platón, a terra estava sócia ao cubo, o fogo ao tetraedro, o ar ao octaedro, a água ao icosaedro, e finalmente o Universo como um tudo, estava associado com o dodecaedro.

Em 1509 o matemático e teólogo Luca Pacioli publica seu livro De Divina Proportione (A Proporção Divina), no que propõe cinco razões pelas que considera apropriado considerar divino ao Número áureo:

  1. A unicidad; Pacioli compara o valor único do número áureo com a unicidad de Deus.
  2. O facto de que esteja definido por três segmentos de recta, Pacioli o associa com a Trinidad.
  3. A inconmesurabilidad; para Pacioli a inconmesurabilidad do número áureo, e a inconmesurabilidad de Deus são equivalentes.
  4. A Autosimilaridad sócia ao número áureo; Pacioli compara-a com a omnipresença e invariabilidad de Deus.
  5. Segundo Pacioli, da mesma maneira em que Deus deu ser ao Universo através da quinta esencia, representada pelo dodecaedro; o número áureo deu ser ao dodecaedro.

Em 1525 , Alberto Durero publica Instrução sobre a medida com regra e compás de figuras planas e sólidas onde descreve como traçar com regra e compás o torque baseado na secção áurea, que se conhece como “torque de Durero”.

O astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desenvolveu um modelo Platónico do Sistema Solar utilizando os sólidos platónicos, e referiu-se ao número áureo em termos grandiosos

A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de uma linha entre o extremo e seu proporcional. O primeiro podemo-lo comparar a uma medida de ouro; o segundo devemo-lo denominar uma jóia preciosa
Johannes Kepler em Mysterium Cosmographicum (O Mistério Cósmico).

O primeiro uso conhecido do adjectivo áureo, dourado, ou de ouro, para referir a este número fá-lo o matemático alemão Martin Ohm, irmão do célebre físico Georg Simon Ohm, na segunda edição de 1835 de seu livro Die Reine Elementar Matematik (As Matemáticas Puras Elementares). Ohm escreve em uma nota ao pé:

"Um também acostuma chamar a esta divisão de uma linha arbitrária em duas partes como estas a secção dourada."
Martin Ohm em Die Reine Elementar Matematik (As Matemáticas Puras Elementares).

Apesar de que a forma de escrever sugere que o termo já era de uso comum para a data, o facto de que não o incluísse em sua primeira edição sugere que o termo pôde ganhar popularidade ao redor de 1830.

Nos textos de matemáticas que tratavam o tema, o símbolo habitual para representar o número áureo foi τ do grego τομή que significa corte ou secção. No entanto, a moderna denominação Φ ou φ, efectuou-a em 1900 o matemático Mark Barr em honra a Fidias já que esta era a primeira letra de seu nome escrito em grego (Φειδίας). Esta honra concedeu-se-lhe a Fidias pelo máximo valor estético atribuído a seus esculturas, propriedade que já por então se lhe atribuía também ao número áureo. Mark Barr e Schooling foram responsáveis pelos adendos matemáticos do livro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

O número áureo nas Matemáticas

Fórmula da relação Áurea

Para conseguir um número cuja relação com outro seja φ se pode utilizar esta fórmula:

\ a^{2} = b^{2}+ab

Sendo sempre a b,>a 0>e b>0

Se por exemplo, queremos um valor áureo para 2 sendo este o segmento menor, osea b, resulta que:

\ a^2 = 4 + 2a

Ordenando:

\ a^2 - 2a -4 = 0

Com a fórmula Quadrática:

a = 1 + \sqrt{5}

Propriedades e representações

Ângulo de ouro

{\frac{360^\circ}{\varphi+{1}}} \approx 137{,}5^\circ

Propriedades algébricas

\varphi^2 = \varphi + 1\

A expressão anterior é fácil de comprovar:

\varphi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}
\varphi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}
\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi} \
\varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}} \

O caso mais simples é: \Phi^n = \Phi^{n-1}+\Phi^{n-2}, qualquer seja n um número inteiro. Este caso é uma sucessão recorrente de ordem k = 2, pois recorre-se a duas potências anteriores.

Uma equação recorrente de ordem k tem a forma a_1 u_{n+k-1}+a_2 u_{n+k-2}+...+a_k u_n, onde a_i é qualquer número real ou complexo e k é um número natural menor ou igual a n e maior ou igual a 1. No caso anterior é k=2, a_1 = 1 e a_2 = 1.

Mas podemos «saltear» a potência imediatamente anterior e escrever:

\Phi^n = \Phi^{n-2} + 2 \Phi^{n-3} + \Phi^{n-4}. Aqui  k = 4, a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 2 e a_4 = 1.

Se anulamos às duas potências imediatamente anteriores, também há uma fórmula recorrente de ordem 6:

\Phi^n = \Phi^{n-3} + 3 \Phi^{n-4} + 3 \Phi^{n-5} + 

\Phi^{n-6}

Em general:

\Phi^n = \sum_{i=0}^{\textstyle \frac {1}{2} k}{\textstyle 

\frac{1}{2}k\choose i}\Phi^{\left [\textstyle n-\left(\textstyle \frac{1}{2}k+i\right)\right]}\textstyle;k=2j\in \mathbb{N}\,\textstyle, n\in \mathbb{N}\,\textstyle, i\in \mathbb{N}.

Em resumem: qualquer potência do número áureo pode ser considerada como o elemento de uma sucessão recorrente de ordens 2, 4, 6, 8, ..., 2k; onde k é um número natural. Na fórmula recorrente é possível que apareçam potências negativas de , \Phifeito totalmente correcto. Ademais, uma potência negativa de corresponde \Phi a uma potência positiva de seu inverso, a secção áurea.

Este curioso conjunto de propriedades e o facto de que os coeficientes significativos sejam os do binómio, parecessem indicar que entre o número áureo e o número e há um parentesco.


\sqrt{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\sqrt{3+\sqrt{5}}.

Representação mediante fracções contínuas

A expressão mediante fracções contínuas é:

\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi =
1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}

Esta iteração é a única onde somar é multiplicar e restar é dividir. É também a mais simples de todas as fracções contínuas e a que tem a convergência mais lenta. Essa propriedade faz que ademais o número áureo seja um número mau aproximable mediante racionais que de facto atinge o pior grau de aproximabilidad mediante racionais possível.[5]

Representação mediante equações algébricas

(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

O número áureo \frac{\sqrt{5} + 1}{2} e a secção áurea \frac{\sqrt{5} - 1}{2} são soluções das seguintes equações:

\ x^2 - \sqrt{5}\, x + 1 = 0

\ x^3 - y^3 - 4 = 0

\ x^4 - 3 x^2 + 1 = 0 = (x^2 - x - 1) (x^2 + x - 1)

Representação trigonométrica

\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ
\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ
\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ
\varphi = \frac{1}{2} \sec \frac{2}{5} \, \pi = \frac{1}{2} \sec 72^\circ

Estas correspondem ao facto de que o diâmetro de um pentágono regular (distância entre dois vértices não consecutivos) é vezes a longitude de seu lado, e de outras relações similares no pentagrama.

Em 1994 derivaram-se as seguintes equações relacionando ao número áureo com o número da Besta:

\frac{\varphi}{2}=-\sin666^\circ=-\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).

O que pode combinar na expressão:

\varphi=-\sin666^\circ-\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).

No entanto, há que notar que estas equações dependem de que se elejam os graus sexagesimales como unidade angular, já que as equações não se mantêm para unidades diferentes.

Representação mediante raízes aninhadas

\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}

Esta fórmula como caso particular de uma identidade geral publicada por Nathan Altshiller-Court, da Universidade de Oklahoma, na revista American Mathematical Monthly, 1917.

O teorema geral diz:

A expressão \lim_{n \to \infty} \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_3 + \sqrt{a_4 +\sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}}} (onde a_i=a), tanto faz à maior das raízes da equação x² - x - a = 0; ou seja, \frac {1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}

Relação com a série de Fibonacci

Se denota-se o enésimo número de Fibonacci como Fn, e ao seguinte número de Fibonacci, como Fn + 1, descobrimos que à medida que n aumenta, esta razão oscila sendo alternativamente menor e maior que a razão áurea. Podemos também notar que a fracção contínua que descreve ao número áureo produz sempre números de Fibonacci à medida que aumenta o número de uns na fracção. Por exemplo: \textstyle \frac{3}{2}= 1,5 ; \textstyle \frac{8}{5} = 1,6 ; e \textstyle \frac{21}{13}= 1,61538461..., o que se acerca consideravelmente ao número áureo. Então tem-se que:

\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n +1}}{F_n} = \phi

Esta propriedade foi descoberta pelo astrónomo alemão Johannes Kepler, no entanto, passaram mais de cem anos dantes de que fosse demonstrada pelo matemático inglês Robert Simson.

Anteriormente encontrou-se que qualquer sucessão aditiva recorrente de ordem 2 tende ao mesmo limite. Por exemplo, se tomamos dois números naturais arbitrários, como pudessem ser 3 e 7, a sucessão recorrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301 ... Os cocientes de termos sucessivos produzem aproximações racionais que se acercam asintóticamente por excesso e por defeito ao mesmo limite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795... [6]

Em meados do século XIX o matemático francês Jacques Philippe Marie Binet redescubrió uma fórmula que aparentemente já era conhecida por Leonhard Euler, e por outro matemático francês, Abraham de Moivre. A fórmula permite encontrar o enésimo número de Fibonacci sem a necessidade de produzir todos os números anteriores. A fórmula de Binet depende exclusivamente do número áureo:

F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left (\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right )^n \right ]\quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \phi \right )^n - \left (\frac{-1}{\phi} \right )^n \right ] \quad

O número áureo na geometria

O número áureo e a secção áurea estão presentes em todos os objectos geométricos regulares ou semiregulares nos que tenha simetría pentagonal, pentágonos ou apareça de alguma maneira a raiz quadrada de cinco.

O retângulo áureo de Euclides

Erro ao criar miniatura:
Euclides obtém o retângulo áureo AEFD a partir do quadrado ABCD. O retângulo BEFC é assim mesmo áureo.

O retângulo AEFD é áureo porque seus lados AE e AD estão na proporção do número áureo. Euclides em sua proposição 2.11 dos elementos obtém sua construção.>

 GC = \sqrt{5}

Com centro em G obtém-se o ponto E, e portanto

GE=GC=\sqrt{5}

resultando evidente que

 AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}

de onde, finalmente

\frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \varphi

Por outra parte, os retângulos AEFD e BEFC são semelhantes, de modo que este último é assim mesmo um retângulo áureo.

No pentagrama

Pentagrama que ilustra algumas das razões áureas: os segmentos vermelho e azul, azul e verde, verde e morado.

O número áureo tem um papel muito importante nos pentágonos regulares e nos pentagramas. A cada interseção de partes de um segmento, interseca a outro segmento em uma razão áurea.

O pentagrama inclui dez triângulos isóceles: cinco acutángulos e cinco obtusángulos. Em ambos, a razão de lado maior e o menor é φ. Estes triângulos conhecem-se como os triângulos áureos.

Tendo em conta a grande simetría deste símbolo observa-se que dentro do pentágono interior é possível desenhar uma nova estrela, com uma recursividad até o infinito. Do mesmo modo, é possível desenhar um pentágono pelo exterior, que seria a sua vez o pentágono interior de uma estrela maior. Ao medir a longitude total de uma das cinco linhas do pentáculo interior, resulta igual à longitude de qualquer dos braços da estrela maior, ou seja Φ. Portanto o número de vezes em que aparece o número áureo no pentagrama é infinito ao aninhar infinitos pentagramas.

O teorema de Ptolomeo e o pentágono

Pode-se calcular o número áureo usando o teorema de Ptolomeo em um pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desenvolveu um teorema conhecido como o teorema de Ptolomeo, o qual permite traçar um pentágono regular mediante regra e compás. Aplicando este teorema um cuadrilátero é formado ao tirar um dos vértices do pentágono, Se as diagonais e a base maior medem b, e os lados e a base menor medem a ,resulta que b2 = a 2 + ab o que implica:

{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.

Relação com os sólidos platónicos

O número áureo está relacionado com os sólidos platónicos, em particular com o icosaedro e o dodecaedro, cujas dimensões estão dadas em termos do número áureo. Os 12 vértices de um icosaedro com arestas de longitude 2, podem dar-se em coordenadas cartesianas pelos seguintes pontos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Os 20 vértices de um dodecaedro com arestas de longitude 2/φ=√5−1, também se podem dar em termos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

As 12 cantos dos retângulos coincidem com os centros das caras de um dodecaedro.

Para um dodecaedro com arestas de longitude a, seu volume e sua área total podem-se expressar também em termos do número áureo:

A = 3\sqrt{15 +20\varphi} \cdot a^2
V = \frac {4 + 7\varphi}{2} \cdot a^3

Se três retângulos áureos sobrepõem-se paralelamente em seus centros, as 12 cantos dos retângulos áureos coincidem exactamente com os vértices de um icosaedro, e com os centros das caras de um dodecaedro:

O ponto que os retângulos têm em comum é o centro tanto do dodecaedro como do icosaedro.

O número áureo na Natureza

Concha de nautilus em torque logarítmica.

Na natureza, há muitos elementos relacionados com a secção áurea e/ou os números de Fibonacci:

O número Fi aparece no filme de Disney "Donald no país das Matemágicas"

O número áureo no ser humano

O número áureo na Arte

O número áureo no misticismo

Na cruz latina, símbolo do catolicismo, a relação entre o pau vertical e o horizontal é o número áureo. Assim mesmo, o pau horizontal divide ao vertical em secções áureas. [cita requerida]

Veja-se também

Referências

  1. Fernando Corbalán (2010). A proporção áurea, RBA Coleccionables S. A.. ISBN 978-84-473-6623-1.
  2. Este número é irracional, ainda que é algébrico e também constructible mediante regra e compás, e existem numerosas aproximações racionais com maior ou menor erro. No ano 2008 obtiveram-se cem mil milhões de cifras decimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Ao igual que ocorre com a raiz quadrada de duas, é possível construir um segmento idealmente exacto com regra não graduada de uma sozinha borda e longitude indefinida e um compás de abertura variável. Que significa isto? Que nenhum desenho pode ser tão fino como para representar o concreto e real valor pontual do número áureo. Qualquer objecto construído pelo homem ou formado naturalmente, ainda que tivesse-se a intenção manifesta de conseguir uma representação desse número, levaria consigo um erro inevitável. Um segmento de recta tão pequeno como o diâmetro aparente da partícula atómica mais pequena tem tantos pontos geométricos como toda a recta. Com tudo, a construção geométrica é idealmente exacta e por este motivo se estimou durante um tempo considerável à geometria como superior à aritmética. A diferença está em que o valor aritmético está dado como um infinito potencial e o valor geométrico como um infinito actual, gerando um segmento de recta constructible.
  3. Proporção Áurea em WolframMathWorld
  4. Mario Livio (2002). The Golden Ratio, Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3.
  5. Bad approximable numbers in WolframMathWorld
  6. Trabalho apresentado por Mark Barr e Shooling na revista The Field do 14 de dezembro de 1912.
  7. N. N. Vorobiov; tradução de Carlos vega (1974). Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscovo, rústica, 112 páginas.
  8. Matila Ghyka (1953). Estética das Proporções na Natureza e nas Artes, Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "Do Crescimento Armonioso", páginas 118 a 144.
  9. D'Arcy Wentworth Thompson (1917). "On Growth and Form", Cambridge University Press. D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "On Growth and Form", Dover edition, 1116 páginas. D'Arcy Thompson (1980). "Sobre o Crescimento e a Forma, Editorial Hermann Blume, Madri.Existem edições de umas 300 páginas, uma recente de Cambridge.
  10. É uma paráfrasis de um pensamento de Ruskin mencionado na página 139 do livro citado de Matila Ghyka
  11. "Logicamente, a tese da secção áurea pareceria mais provável, porque dela emana uma construção rigorosa, elegante e singela do triângulo meridiano, enquanto na outra hipótese, ainda supondo conhecido com uma aproximação muito grande o valor de π, a construção seria puramente empírica e desprovista de verdadeiro interesse geométrico" [É notável, ademais, que ainda que os antigos não sabiam da trascendencia de π, estavam completamente conscientes da carência de exactidão de algumas tentativas de cuadratura do círculo] Matila Ghyka (1953). Estética das Proporções na Natureza e nas Artes, Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: "A Pirâmide de Keops", página 222.
  12. Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamic Symmetry The Greek Vase", Yale University Press, New Haven.Jay Hambidge (22/08/2007). Dynamic Symmetry The greek vase, Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6.
  13. Jay Hambidge (1924). "The Parthenon and Other Greek temperes, their Dynamic Symmetry", Yale University Press, New haven. Há ainda disponíveis instâncias dessa edição, tanto novos como usados e à venda a aproximadamente $ (USA) 250.
  14. Banister; Fletcher. "A History of Architecture", B. T. Basford, Londres.

Bibliografía

Em ordem cronológico:

Enlaces externos

Modelo:ORDENAR:Numero aureo

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"