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Número cardinal

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O cardinal indica o número ou quantidade de elementos de um conjunto, seja esta quantidade finita ou infinita. Os números cardinales constituem uma generalização interessante do conceito de número natural, permitindo comparar a quantidade de elementos de conjuntos infinitos. Dado um conjunto A\,, o cardinal deste conjunto simboliza-se mediante |A|\,, \mbox{n}(A)\,, \mbox{card}(A)\, ou \#A. Por exemplo: se A tem 3 elementos o cardinal indica-se assim: |A| = 3.


Conteúdo

História

O conceito de número cardinal foi inventado por Georg Cantor, em 1874 .

Primeiro estabeleceu o conceito de cardinalidad como uma ferramenta para comparar conjuntos finitos. Por exemplo, os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4} não são iguais mas têm a mesma cardinalidad, telefonema três.

Cantor definiu o conteo usando a correspondência biunívoca, a qual mostrava facilmente que dois conjuntos finitos tinham a mesma cardinalidad se tinha uma relação biyectiva entre seus elementos. Esta correspondência um a um lhe serviu para criar um conceito de conjunto infinito, o qual possui todos seus elementos relacionados de forma biyectiva com o conjunto de números naturais (N = {1, 2, 3, ...}).

Nomeou o cardinal de : \mathbb{N} \aleph_0. Inclusive provou que vários conjuntos infinitos formados por naturais (como os pares) têm cardinalidad \aleph_0, como era possível estabelecer a relação biunívoca com N .

Cardinales para dividir e ordenar aos conjuntos

Os conjuntos podem ser divididos em classes de equivalencia definidas em função da relação de equivalencia que inclui a um par de conjuntos se e só se entre estes existe uma biyección. Cardinalidad de um conjunto seria a classe de equivalencia à qual este pertence. Ter dois conjuntos A,B com a mesma cardinalidad (ou seja, que pertençam ao mesmo cardinal) se denota:

  \left | A \right | = \left | B \right | \text{ ,o bien }\# A= \# B

A existência de uma função inyectiva entre dois conjuntos também define uma relação de ordem entre suas cardinales; isto é:

\left | A \right | \le_{\#} \left | B \right | \Leftrightarrow \exists f:A \rightarrow B \text{, inyectiva}

A relação <_{\#} exclui a possibilidade que os cardinales sejam iguais.
É possível demonstrar que se

\left | A \right | \le_{\#} \left | B \right | e \left | B \right | \le_{\#} \left | A \right | isto implica que \left | A \right | = \left | B \right |

O cardinal do conjunto vazio denota-se convencionalmente como 0 (zero) e contém ao único conjunto vazio.
O primeiro cardinal infinito (no sentido de que seus representantes são conjuntos infinitos) é o cardinal dos naturais, e se denota usualmente por . \omegaPode-se também demonstrar que existe uma função biyectiva entre os ordinales e os cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva a ordem em ambos conjuntos (a ordem dos ordinales e a \le_{\#}-ordem nos cardinales). Esta função, telefonema \aleph, induze uma boa ordem nos cardinales, e de aqui prove a anotação \aleph_0=\omega para o primeiro cardinal infinito, \aleph_1 para o seguinte, etc.

Cardinales transfinitos

Artigo principal: Número transfinito

Os números cardinales de alguns conjuntos representam-se com símbolos especiais:

Usando os axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) pode comprovar-se que os três cardinales anteriores cumprem \aleph_0 < \aleph_1 \le c. A hipótese do contínuo afirma que de facto c = \aleph_1. Gödel provou em 1938 que esta hipótese é consistente com os axiomas ZF, e por tanto pode ser tomado como um axioma novo para a teoria de conjuntos. No entanto, em 1963 Paul Cohen provou que a negación da hipótese do contínuo também é consistente com os axiomas ZF, o qual prova que dita hipótese é totalmente independente dos axiomas ZF. Isto é, podem construir-se tanto "teorias de conjuntos cantorianas" nas que a hipótese do contínuo é uma afirmação verdadeira, como "teorias de conjuntos não cantorianas" nas que a hipótese do contínuo seja falsa. Esta situação é similar à das geometrias não euclídeas.

Exemplo de cálculo do cardinal de um conjunto


f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{si }x\mbox{= 2} \\ 2, & \mbox{si }x\mbox{= 4} \\ 3, & \mbox{si }x\mbox{= 5} \end{cases}


\begin{matrix} f:P \longrightarrow \mathbb{N} & \qquad & \qquad & g:\mathbb{N} \longrightarrow P \\
x \mapsto f(x) =\frac{x}{2} & \qquad & \qquad & x \mapsto g(x) = 2x \end{matrix}


Demonstrando a inyectividad de ambas, concluímos que f é biyectiva. A cardinalidad do conjunto é \aleph_0. Isto conclui a demonstração. Ainda que este resultado pode parecer contrário à intuición, já que pode-se pensar que há mais naturais que pares (porque, por exemplo, o 1 é natural e não está incluído nos pares), mas demonstrámos que estes conjuntos são equipotentes.

g: \mathbb{N}x\mathbb{N}\mathbb{N} g(x, e) = 3^{x}*2^{y}

Ao ser 3 e 2 números primos, para a cada par x, e obteremos um número diferente. Então g é inyectiva e \operatorname{card}(\mathbb{Q}) \leq \operatorname{card}(\mathbb{N})


Para comprovar que efectivamente o conjunto \mathbb{Q} é numerable, e por tanto, tem o mesmo cardinal que os naturais podemos ver que existe uma função inyectiva i_\mathbb{Q}
. Se um número racional q tanto faz a r /s sendo estes dois números primos relativos entre si então definimos:

\begin{matrix} i_\mathbb{Q}:\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} & \\
q \mapsto i_\mathbb{Q}(q) = (r,s) & \qquad [\operatorname{mcd}(r,s) = 1] \end{matrix}


Isto prova que \mbox{card}(\mathbb{N}) \le \mbox{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) e como \mbox{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) = \mbox{card}(\mathbb{N}) e os naturais são asimilables a um conjunto dos racionais temos a corrente de desigualdades:

\mbox{card}(\mathbb{N}) \le \mbox{card}(\mathbb{Q}) \le
\mbox{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) \le \mbox{card}(\mathbb{N})


Portanto: \operatorname{card}(\mathbb{Q}) = \operatorname{card}(\mathbb{N})

Aritmética de cardinales

Existem algumas relações aritméticas interessantes entre cardinales transfinitos:

A

Cardinal da conjunto potência

Existe uma relação entre o cardinal de um conjunto e o conjunto de partes ou conjunto potência:

|A| = n \Rightarrow |P(A)| = 2^n


Onde |P(A)| é o cardinal do conjunto de partes.

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/n/d/Andorra.html"