Número complexo

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Ilustração do plano complexo. Os números reais encontram-se no eixo de coordenadas horizontal e os imaginarios no eixo vertical.

O termo número complexo descreve a soma de um número real e um número imaginario (que é um múltiplo real da unidade imaginaria, que se indica com a letra i). Os números complexos utilizam-se em todos os campos das matemáticas, em muitos da física (e notoriamente na mecânica cuántica) e em engenharia, especialmente na electrónica e as telecomunicações, por sua utilidade para representar as ondas electromagnéticas e a corrente eléctrica.

Em matemáticas, os números constituem um corpo e, em general, consideram-se como pontos do plano: o plano complexo. A propriedade mais importante que caracteriza aos números complexos é o teorema fundamental do álgebra, que afirma que qualquer equação algébrica de grau n tem exactamente n soluciones complexas.

Os números complexos são uma extensão dos números reais, cumprindo-se que $\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ . Os números complexos representam todas as raízes dos polinômios, a diferença dos reais.

Os números complexos são a ferramenta de trabalho do álgebra ordinária, telefonema álgebra dos números complexos, bem como de ramos das matemáticas puras e aplicadas como variável complexa, aerodinámica e electromagnetismo entre outras de grande importância.

Contêm aos números reais e os imaginarios puros e constituem uma das construções teóricas mais importantes da inteligência humana. Os análogos do cálculo diferencial e integral com números complexos recebem o nome de variável complexa ou análise complexa.

$\begin{array}{ll} \mathbb{C} & \mbox{Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Cero} \\ & \mbox{Enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases} \end{array}$

Conteúdo

1 Definição
- 1.1 Unidade imaginaria
2 Representação binómica
3 Plano dos números complexos ou Diagrama de Argand
4 Valor absoluto ou módulo, conjugado e distância
- 4.1 Valor absoluto ou módulo de um número complexo
- 4.2 Conjugado de um número complexo
5 Representação trigonométrica (polar) e representação geométrica
6 Módulo e argumento
- 6.1 Geometria e operações com complexos
7 Soluções de equações polinomiais
8 Variável complexa ou análise complexa
9 Layout histórico
10 Aplicações
11 Representações alternativas dos números complexos
12 Veja-se também
13 Enlaces externos

Definição

Definiremos a cada complexo z como um par ordenado de números reais (a , b) ou (Re(z), Im(z)), no que se definem as seguintes operações:

Soma

$(a, b) + (c, d) = (a+c,\, b+d)$

Produto por escalar

$r(a, b) = (ra,\, rb)$

Multiplicação

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + cb)$

Igualdade

$(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d$

A partir destas operações podemos deduzir outras como as seguintes:

Resta

$(a, b) - (c, d) = (a-c,\, b-d)$

Divisão

$\frac{(a, b)}{(c, d)} = {(ac+bd,\,bc-ad) \over c^2+d^2} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2} , {bc - ad \over c^2 + d^2}\right)$

Ao primeiro componente (que chamaremos a )se lhe chama parte real e ao segundo (que chamaremos b), parte imaginaria. Denomina-se número imaginario puro àquele que este composto só pela parte imaginaria, isto é, aquele no que $a = 0$ .

Os números complexos formam um corpo, o corpo complexo, denotado por C (ou mais apropriadamente pelo carácter unicode ℂ ). Se identificamos o número real a com o complexo (a ,0), o corpo dos números reais R aparece como um subcuerpo de C . Mais ainda, C forma um espaço vectorial de dimensão 2 sobre os reais. Os complexos não podem ser ordenados como, por exemplo, os números reais: C não pode ser convertido de jeito nenhum em um corpo ordenado.

A multiplicação de números complexos é associativa, conmutativa e distributiva:

Sejam $z,w,s \in \mbox{C}$

I) $(zw)s = z(ws)\,$

II) $zw = wz\,$

III) $z(w + s) = zw + zs \,$

Sejam $z = a + i b, w = c + i d, s = e + i f \,$ com $a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}$

Por demonstrar a propriedade associativa (I)

$(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,$

$[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,$

Por outra parte

$z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,$

$[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,$

Então cumpre-se $(zw)s = z(ws)\,$ .

Unidade imaginaria

Tomando em conta que $(a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a)$ , se define um número especial em matemáticas de grande importância, o número i ou unidade imaginaria, definido como

$\mathrm{i} = (0, 1) \,\!$

De onde se deduze imediatamente que,

$\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1$

Representação binómica

Um número complexo representa-se em forma binomial como:

$z = a + bi \,$

A parte real do número complexo e a parte imaginaria, podem-se expressar de várias maneiras, como se mostra a seguir:

$a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)$

$b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)$

Plano dos números complexos ou Diagrama de Argand

O conceito de plano complexo permite interpretar geometricamente os números complexos. A soma de números complexos pode-se relacionar com a soma com vetores, e a multiplicação de números complexos pode expressar-se simplesmente usando coordenadas polares, onde a magnitude do produto é o produto das magnitudes dos termos, e o ângulo contado desde o eixo real do produto é a soma dos ângulos dos termos.

Os diagramas de Argand usam-se frequentemente para mostrar as posições dos pólos e os zeros de uma função no plano complexo.

A análise complexa, a teoria das funções complexas, é uma das áreas mais ricas da matemática, que encontra aplicação em muitas outras áreas da matemática bem como em física , electrónica e muitos outros campos.

Valor absoluto ou módulo, conjugado e distância

Valor absoluto ou módulo de um número complexo

O valor absoluto, módulo ou magnitude de um número complexo z vem dado pela seguinte expressão:

$|z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{\hbox{Re}^2(z) + \hbox{Im}^2(z)}$

Se pensamos em z como algum ponto no plano; podemos ver, pelo teorema de Pitágoras, que o valor absoluto de um número complexo coincide com a distância euclídea desde a origem do plano.

Se o complexo está escrito em forma exponencial z = r e^iφ, então |z| = r. Pode-se expressar em forma polar como z = r (cosφ + isenφ), onde cosφ + isenφ = e^iφ é a conhecida fórmula de Euler.

Podemos comprovar com facilidade estas quatro importantes propriedades do valor absoluto

$\left| z \right| = 0 \Longleftrightarrow z = 0$

$\left| z + w \right| \leq |z| + |w|$

$\left| zw \right| = |z||w|$

$\left| z - w \right| \ge |z| - |w|$

para qualquer complexo z e w.

Por definição, a função distancia fica como segue d(z, w) = |z - w| e nos provee de um espaço métrico com os complexos graças ao que se pode falar de limites e continuidade. A soma, resta-a, a multiplicação e a divisão de complexos são operações contínuas. Se não se diz o contrário, se assume que esta é a métrica usada nos números complexos.

Conjugado de um número complexo

Dois binómios chamam-se conjugados se só diferem em seu signo central, por exemplo, os dois binómios: 3m - 1 e 3m + 1 são conjugados.

O conjugado de um complexo z (denotado como $\bar{z}$ ou $z^* \,\!$ ) é um novo número complexo, definido assim:

$\bar{z} = a - \mathrm{i}b \Longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b$

Observa-se que ambos diferem no signo da parte imaginaria.

Com este número cumprem-se as propriedades:

$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$

$z+\overline{z} = 2\cdot \hbox{Re}(z)$

$z-\overline{z} = 2i\cdot \hbox{Im}(z)$

$\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}$

$z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \bar{z} = z$

$|z|^2 = z\bar{z}$

$z \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

Esta última fórmula é o método eleito para calcular o inverso de um número complexo se vem dado em coordenadas retangulares.

Representação trigonométrica (polar) e representação geométrica

Algumas vezes, a representação de números complexos na forma z = a + i b (coordenadas ortogonais) é menos conveniente que outra representação, usando coordenadas polares.

Representamos o número complexo z no plano de números complexos como um ponto com coordenadas (a, b), denominado vetor de posição.

Traçamos a distância desde o ponto (0,0) até (a, b), à que chamaremos r, e, que como se viu dantes, tanto faz ao módulo de z , expressado $|z|$ .

Esta distância forma, com respeito ao eixo real positivo, um ângulo, denominado $\phi \,$ .

Gráfico de un complejo en el plano, con ángulo y distancia

A representação polar permite-nos expressar este número complexo em função de r e do ângulo $\phi \,$ :

$z = r e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k) \,}$

onde k pertence a ,. $\mathbb{Z}$

Módulo e argumento

Nesta representação, $\textstyle{r}$ é o módulo do número complexo e o ângulo $\textstyle{\phi}$ é o argumento do número complexo.

$\textstyle{\phi} = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \arctan \left( \frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right)$

Formamos um triângulo retângulo, com r como hipotenusa, e com catetos a e b. Vemos que:

$\sin \phi = \frac{b}{r}$

$\cos \phi = \frac{a}{r}$

Despejamos a e b nas expressões anteriores e, utilizando a representação binomial:

$z = a + \mathrm{i}b ;\; z = r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}$

Sacamos factor comum r:

$z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)$

Frequentemente, esta expressão se abrevia convenientemente da seguinte maneira:

$\ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}$

a qual só contém as abreviaturas das razões trigonométricas cosseno, a unidade imaginaria e a razão seio do argumento respectivamente.

Segundo esta expressão, pode observar-se que para definir um número complexo tanto desta forma como com a representação binomial se requerem duas parámetros, que podem ser parte real e imaginaria ou bem módulo e argumento, respectivamente.

Segundo a Fórmula de Euler, vemos que:

$\cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} = e^{\mathrm{i}\phi} ;\; z = r e^{i\phi}$

Não obstante, o ângulo $\phi$ não está univocamente determinado por z , como implica a fórmula de Euler:

$\forall{k}{\in}\mathbb{Z}\; z = e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k)}$

Por isto, geralmente restringimos $\phi$ ao intervalo [-π, π) e a este $\phi$ restringido o chamamos argumento principal de z e escrevemos φ = Arg(z). Com este convênio, as coordenadas estariam univocamente determinadas por z .

A multiplicação de números complexos é especialmente singela com a anotação polar:

$z_1 z_2 = rse^{\mathrm{i}(\phi + \psi)} \Leftrightarrow z_1 z_2 = r e^{\mathrm{i}\phi} s e^{\mathrm{i}\psi}$

Divisão:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} e^{\mathrm{i}(\phi - \psi)}$

Potenciación:

$z^n = r^n e^{\mathrm{i} \phi n} \Leftrightarrow z^n = \left( r e^{i\phi} \right)^{n}$

$z^n =(a + b\mathrm{i})^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1} a^{n-1}b\mathrm{i} + {n \choose 2}a^{n-2} \left ( b \mathrm{i} \right)^2 + \ldots + {n \choose {n-1}}a \left ( b \mathrm{i} \right ) ^{n-1} + {n \choose n} \left (b\mathrm{i} \right)^n$

Geometria e operações com complexos

Geometricamente, as operações algébricas com complexos podemo-las entender como segue. Para somar dois complexos z₁ =a 1 + ib₁ e z₂ = a 2 + ib₂, podemos pensar em isso como a soma de dois vetores do plano x-e apontando desde a origem no ponto (a 1, b₁) e (a 2,b₂), respectivamente. Se transladamos (movemos) o segundo vetor, sem mudar sua direcção, com o que seu ponto de aplicação coincide com o ponto final do primeiro vetor; o segundo vetor assim localizado apontará ao complexo z₁ + z₂.

Seguindo com esta ideia, para multiplicar dois complexos z₁ e z₂, primeiro medimos o ângulo que formam em sentido contrário às agulhas do relógio com o eixo positivo do x e somámos ambos ângulos: o ângulo resultante corresponde com o do vetor que representa ao complexo produto z₁ · z₂. A longitude deste vetor produto vem dada pela multiplicação das longitudes dos vetores originais. A multiplicação por um número complexo fixo pode ser vista como a transformação do vetor que rotaciona e muda seu tamanho simultaneamente.

Multiplicar qualquer complexo por i corresponde com uma rotação de 90º em direcção contrária às agulhas do relógio. Assim mesmo o que (-1) · (-1) = +1 pode ser entendido geometricamente como a combinação de duas rotações de 180º (i ao quadrado = -1), dando como resultado uma mudança de signo ao completar uma volta.

Soluções de equações polinomiais

Uma raiz do polinômio p é um complexo z tal que p(z)=0. Um resultado importante desta definição é que todos os polinômios de grau n têm exactamente n soluciones no campo complexo, isto é, tem exactamente n complexos z que cumprem a igualdade p(z)=0, contados com suas respectivas multiplicidades.Também se cumpre que se z é uma raiz então sua conjugado também é uma raiz do polinômio p. A isto lho conhece como Teorema Fundamental do Álgebra, e demonstra que os complexos são um corpo algebraicamente fechado. Por isto os matemáticos consideram aos números complexos uns números mais naturais que os números reais à hora de resolver equações.

Variável complexa ou análise complexa

Ao estudo das funções de variável complexa conhece-lho como a Análise complexa. Tem uma grande quantidade de usos como ferramenta de matemáticas aplicadas bem como em outros ramos das matemáticas. A análise complexa provee algumas importantes ferramentas para a demonstração de teoremas inclusive em teoria de números; enquanto as funções reais de variável real, precisam de um plano cartesiano para ser representadas; as funções de variável complexa precisam um espaço de quatro dimensões, o que as faz especialmente difíceis de representar. Costumam-se utilizar ilustrações coloridas em um espaço de três dimensões para sugerir a quarta coordenada ou animações em 3D para representar as quatro dimensões.

Layout histórico

A primeira referência conhecida a raízes quadradas de números negativos prove do trabalho dos matemáticos gregos, como Herón de Alejandría no século I dantes de Cristo, como resultado de uma impossível secção de uma pirâmide. Os complexos fizeram-se mais patentes no Século XVI, quando a busca de fórmulas que dessem as raízes exactas dos polinômios de graus 2 e 3 foram encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Ainda que só estavam interessados nas raízes reais deste tipo de equações, se encontravam com a necessidade de lidiar com raízes de números negativos. O termo imaginario para estas quantidades foi acuñado por Descartes no Século XVII e está em desuso. A existência de números complexos não foi completamente aceitada até a mais abaixo mencionada interpretação geométrica que foi descrita por Wessel em 1799 , redescubierta em alguns anos depois e popularizada por Gauss . A implementação mais formal, com pares de números reais foi dada no Século XIX.

Aplicações

Os números complexos usam-se em engenharia electrónica e em outros campos para uma descrição adequada dos sinais periódicos variáveis (ver Análise de Fourier). Em uma expressão do tipo z = r e^iφ podemos pensar em r como a amplitude e em φ como a fase de uma onda sinusoidal de uma frequência dada. Quando representamos uma corrente ou um voltaje de corrente alternada (e por tanto com comportamento sinusoidal) como a parte real de uma função de variável complexa da forma:f(t) = z e^iωt onde ω representa a frequência angular e o número complexo z nos dá a fase e a amplitude, o tratamento de todas as fórmulas que regem as resistências, capacidades e inductores podem ser unificadas introduzindo resistências imaginarias para as duas últimas (ver redes eléctricas). Engenheiros eléctricos e físicos usam a letra j para a unidade imaginaria em vez de i que está tipicamente destinada à intensidade de corrente.

O campo complexo é igualmente importante em mecânica cuántica cuja matemática subjacente utiliza Espaços de Hilbert de dimensão infinita sobre C (ℂ).

Na relatividad especial e a relatividad geral, algumas fórmulas para a métrica do espaço tempo são bem mais simples se tomamos o tempo como uma variável imaginaria.

Em equações diferenciais, quando se estudam as soluções das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, é habitual encontrar primeiro as raízes (em general complexas) $\lambda\,$ do polinômio característico, o que permite expressar a solução geral do sistema em termos de funções de base da forma: $f(x) = e^{\lambda x} \,$ .

Os fractales são desenhos artísticos de infinita complexidade. Em sua versão original, define-lhos através de cálculos com números complexos no plano.

Representações alternativas dos números complexos

Outras representações, não tão frequentes, dos números complexos, podem nos dar outra perspectiva de sua natureza. A seguinte é uma interpretação onde a cada complexo se representa matricialmente, como uma matriz de ordem 2x2 com números reais como entradas que esticam e rotacionam os pontos do plano. A cada uma destas matrizes tem a forma

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix}$

com números reais a e b. A soma e o produto de duas matrizes fica de novo desta forma. Qualquer matriz não nula desta forma é invertible, e seu inverso é de novo desta forma. Portanto, as matrizes desta forma são um corpo. Efectivamente, este é exactamente o corpo dos complexos. Qualquer matriz pode ser escrita:

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

O qual sugere que se pode identificar a unidade com a matriz

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

e a unidade imaginaria

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

isto é, uma rotação de 90 graus. Damos-nos conta de que o quadrado desta matriz é certamente igual a -1!

O valor absoluto de um complexo expressado como uma matriz tanto faz à raiz quadrada do determinante da matriz. Se vemos a matriz como uma transformação do plano, então a transformação rompida pontos com um ângulo igual ao argumento do complexo e escala multiplicando por um factor igual ao valor absoluto do complexo. O complexo conjugado de z é a transformação com a mesma rotação disposta por z mas em sentido inverso, e escala da mesma maneira que z; isto pode ser descrito pela traspuesta da matriz correspondente a z .