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Número inteiro

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Os números inteiros são uma generalização do conjunto de números naturais que inclui números inteiros negativos (resultados de restar a um número natural outro maior), além do zero. O facto de que um número seja inteiro, significa que não tem parte decimal.

Os números inteiros negativos podem aplicar-se em diversos contextos, como a representação de profundidades baixo o nível do mar, temperaturas baixo zero, ou dívidas, entre outros.


   \begin{array}{ll}
    \mathbb{C} & \mbox{Complejos}
    \begin{cases} 
        \mathbb{R} & \mbox{Reales}
        \begin{cases}


            \mathbb{Q} & \mbox{Racionales}
                \begin{cases}
                    \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}


                    \begin{cases}
                        \mathbb{N}     & \mbox{Naturales} \\
                        \boldsymbol{0} & \mbox{Cero} \\
                                       & \mbox{Enteros negativos}
                    \end{cases}\\
                                & \mbox{Fraccionarios}
                \end{cases}\\
                       & \mbox{Irracionales}
        \end{cases}\\
         & \mbox{Imaginarios}
    \end{cases}
   \end{array}

Conteúdo

História

Os números inteiros positivos e negativos, são o resultado natural das operações soma e resta. Seu emprego, ainda que com diversas anotações, remonta-se à antigüedad.

O nome de inteiros justifica-se porque estes números já positivos ou negativos, sempre representavam uma quantidade de unidades não divisibles (por exemplo, pessoas).

Não foi senão até o século XVII que tiveram aceitação em trabalhos científicos europeus, ainda que matemáticos italianos do renacimiento como Tartaglia e Cardano os tivessem já advertido em seus trabalhos a respeito de solução de equações de terceiro grau. No entanto, a regra dos signos já era conhecida previamente pelos matemáticos da Índia. [cita requerida]

Aplicação em contabilidade

Encontram aplicação nos balanços contables. Às vezes, quando a quantidade adeudada ou pasivo, superava à quantidade possuída ou activo, se dizia que o banqueiro estava em números vermelhos". Esta expressão vinha do facto que o que hoje chamamos números negativos se representavam escritos em tinta vermelha assim: "30" podia representar um balanço positivo de 30 salários, enquanto "3" escrito com tinta vermelha podia representar, 3 salários, isto é, uma dívida neta de 3 salários.

Estrutura dos números inteiros

Os inteiros com a adição e a multiplicação formam uma estrutura algébrica chamada anel. Podem ser considerados uma extensão dos números naturais e um subconjunto dos números racionais (fracções). Os números inteiros são subconjunto dos números racionais ou fracções, já que a cada número inteiro pode ser considerado como uma fracção cujo denominador é o número um.

Os números inteiros podem ser somados e/ou restados, multiplicados e comparados. Se a divisão é exacta, também podem se dividir dentro do mesmo conjunto dos inteiros. A razão principal para introduzir os números negativos sobre os números naturais é a possibilidade de resolver equações do tipo:

a+x=b

para a incógnita x.

Matematicamente, o conjunto dos números inteiros com as operações de soma e multiplicação, (\mathbb Z,+,\cdot) constitui um anel conmutativo e unitário. Por outro lado, (\mathbb{Z}, \leq), onde \leq é a ordem usual sobre \mathbb{Z}, é um conjunto completamente ordenado sem cota superior ou inferior: os inteiros não têm princípio nem fim. O conjunto dos números inteiros representa-se mediante \mathbb{Z} (a origem do uso de Z é o alemão Zhal 'número'ou quantidade).

Construção formal dos inteiros a partir os naturais

Um número inteiro negativo pode ser definido mediante a diferença de dois números naturais. Por exemplo -3=5-8, de onde pode se associar o número -3 com o par ordenado (5, 8) de números naturais. No entanto, como (4, 7) e uma infinidad mais de pares ordenados dão como resultado -3 ao restar seus componentes, não pode se dizer simplesmente que -3=(5, 8). O que pode se fazer, é incluir todos os pares ordenados de números naturais, que dão como resultado -3 ao restar seus componentes, dentro de um sozinho conjunto, ou, mais exactamente, dentro de uma classe de equivalencia. Para isso, aproveitamos o que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) possam ser associados ao mesmo número inteiro se:

(1) ~a-b=c-d.

O único problema é que a equação (1) não está definida em quando \mathbb{N} a<b. Mas isto se remedia facilmente, ao notar que

~a-b=c-d equivale a ~a+d=b+c

Certamente a+b\in\mathbb{N} para quaisquer a,b\in\mathbb{N}, de tal maneira que pode se definir uma relação \sim sobre \mathbb{N}\times\mathbb{N} mediante:

(a,b)\sim (c,d)\quad se e só se ~a+d=b+c

A relação \sim é uma relação de equivalencia que produz em uma \mathbb{N}\times\mathbb{N} partição em classes de equivalencia, a cada uma das quais pode ser associada a um único número inteiro e vice-versa. Por exemplo:

~[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3

Se admitimos o zero como número natural, podemos definir:

\begin{cases} ~[(n,0)]=n  \\ ~[(0,n)]=-n \end{cases} | info=para tudo n\in\mathbb{N}

Se não se aceita o zero como número natural, e se parte, em mudança, do 1, se define então

\begin{cases} ~[(n+1,1)]=n  \\ ~[(1,n+1)]=-n \end{cases} | info=para tudo n\in\mathbb{N}

Logo o zero pode definir-se como:

~0=[(n,n)] | info=para tudo n\in \mathbb{N}

O escolher (n,0) e (0,n) (ou (n+1,1) e (1,n+1) para quando não se aceita 0\in\mathbb{N}), para as definições anteriores é uma decisão completamente arbitrária que toma em conta a singeleza destes pares ordenados. Note-se que, de qualquer forma,

\begin{cases} ~[(n+m,m)]=n  \\ ~[(m,n+m)]=-n \end{cases} | info=para tudo n\in\mathbb{N}

Define-se pois o conjunto dos números inteiros como o conjunto:

(2)  \mathbb{Z}=\{[(a,b)]_{\sim}\mid (a,b)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}\}

de todas as classes de equivalencia produzidas pela relação \sim sobre o produto cartesiano \mathbb{N}\times\mathbb{N}. Isto é, \mathbb{Z} é o conjunto cociente:

(3) \mathbb{Z}=\left(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\right) /\sim.

Definição de adição e multiplicação sobre números inteiros

Define-se a adição (+) sobre \mathbb{Z} como segue:

~[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c\ ,\ b+d)] | info=para tudo a,b,c,d \in \mathbb{N}

tendo previamente definida a adição sobre \mathbb{N}. A definição anterior não depende dos representantes a,b,c,d \, escolhidos já que, por tanto qualquer pares iniciais escolhidos conduzem ao mesmo resultado:

(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) \,

A multiplicação (\cdot) sobre \mathbb{Z} define-se como segue:

~[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd\ ,\ ad+bc)] | info=para tudo n\in \mathbb{N}

tendo previamente definida a multiplicação sobre \mathbb{N}. A definição anterior está correctamente definida como:

(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc) \,

Propriedades dos números inteiros

Propriedades de clausura

Se a,b\in\mathbb{Z}, existem (m,n),(p,q)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} tais que:

a=[(m,n)] \qquad b=[(p,q)] \,

e, disto,

a+b=[(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)].

De clausura-a da adição sobre \mathbb{N}, segue-se, por definição, que

a+b\in\mathbb{Z}

Tem-se que a adição sobre o conjunto dos números inteiros verifica a propriedade

O mesmo cumpre a multiplicação sobre \mathbb{Z}:

Propriedades associativas

As propriedades associativas da adição e a multiplicação sobre \mathbb{Z} seguem-se facilmente das definições destas operações. Estas propriedades são:

e

Propriedades conmutativas

Já que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para quaisquer m,n,p,q\in \mathbb{N}, temos que

Esta é a propriedade conmutativa da adição sobre \mathbb{Z}. Esta propriedade tem-a também a multiplicação:

Propriedade distributiva

Sejam os inteiros [(a,b)], [(c,d)] e [(m,n)]. Temos

[(m,n)]\cdot \left( [(a,b)]+[(c,d)]\right) ~= [(m,n)]\cdot [(a+c\ ,\ b+d)]
~= \left[\left(m(a+c)+m(b+d)\ ,\ n(a+c)+n(b+d)\right)\right]
~= \left[\left((ma+mb)+(mc+md)\ , \ (na+nb)+(nc+nd)\right)\right]
~= [(m,n)]\cdot [(a,b)]+[(m,n)]\cdot [(c,d)].

Por tanto cumpre-se a seguinte propriedade distributiva

Existência de elementos neutros

O zero, 0=[(n,n)], n\in\mathbb{N}, tem a característica de que pára todo inteiro [(a,b)],

[(a,b)]+[(n,n)]=[(a+n\ ,\ b+n)],

e como a+(b+n)=b+(a+n) sejam cuales sejam os números naturais a,b,n, temos (a,b)\sim(a+n\ ,\ b+n), de onde [(a,b)]=[(a+n\ ,\ b+n)], pelo que o zero é um elemento neutro para a adição sobre \mathbb{Z}. Em

Define-se 1\in\mathbb{Z} como segue:

1=[(1+n\ ,\ n)].

Vemos que, para todo inteiro [(a,b)],

[(a,b)]\cdot [(1+n\ ,\ n)]=[(a+an+bn\ ,\ an+b+bn)],

e, já que (a,b)\sim(a+an+bn\ ,\ an+b+bn), resulta que 1 é um elemento neutro para a multiplicação sobre \mathbb{Z}. Isto é,

a+b _ c

Existência de elemento oposto

a+\bar{a} =\bar{a}+a = 0

Para demonstrar que existe o elemento oposto podemos constrirlo explicitamente como \bar{a} = [(0,a)] = -a, que cumpre obviamente a propriedade anterior:

\begin{cases} {a+\bar{a}=[(a,0)]+[(0,a)] = [(a,a)] = 0} \\
 {\bar{a}+a=[(0,a)]+[(a,0)] = [(a,a)] = 0} \end{cases}

Unicidad do elemento oposto

Ademais este oposto é único. Isto significa que para a cada inteiro existe um único número tal que somado com ele o resultado é zero. Para vê-lo podemos supor que existem dois opostos \bar{a} e \bar\bar{a}, então sucede que:

\begin{cases} {a+\bar{a}=0} \\
 {a+\bar\bar{a} = 0} \end{cases} \Rightarrow {\bar{a}+(a+\bar{a})=\bar{a}+(a+\bar\bar{a})} \Rightarrow {(\bar{a}+a)+\bar{a}=(\bar{a}+a)+\bar\bar{a}} \Rightarrow {\bar{a}=\bar\bar{a}}

Nesta prova de que o elemento oposto temos usado a propriedade associativa e a unicidad do elemento neutro.

Propriedades cancelativas

Sejam a,b,c\in\mathbb{Z} e a+b=a+c. Temos que graças à existência do elemento oposto:

a+b=a+c\quad \Rightarrow\quad -a+a+b=-a+a+c\quad \Rightarrow\quad 0+b=0+c\quad \Rightarrow\quad b=c

Por tanto, cumpre-se a seguinte propriedade cancelativa

Para a multiplicação também se cumpre a propriedade cancelativa, ainda que para demonstrar isto deve se utilizar um método diferente, já que não todo o elemento de é \mathbb{Z} uma unidade (isto é, não todo inteiro tem um inverso), e por tanto \mathbb{Z}, com sua multiplicação, não é um anel de divisão. A prova que segue da propriedade cancelativa para a multiplicação se baseia no facto de que \mathbb{Z} é um domínio íntegro. Sejam pois a,b,c\in\mathbb{Z}, e ab=ac com a\neq 0. Temos que ab-ac=0, e da propriedade distributiva a(b-c)=0, ou seja que b-c=0, o que demonstra que b=c.

Cumpre-se pois a propriedade cancelativa seguinte:

Propriedades de ordem

Propriedade reflexiva da ordem

Propriedade antisimétrica da ordem

Propriedade transitiva da ordem

Compatibilidade da ordem com as operações

para todo o c ∈\mathbb{Z}.

Propriedade ou axioma da boa classificação

Este axioma indica que o conjunto S tem um ínfimo e um supremo, o que quer dizer é que S do conjunto de cotas superiores e cotas inferiores tem um elemento menor das cotas superiores chamado supremo que a sua vez é maior que todos os elementos do conjunto S.

Referências

Veja-se também

Números
Complexos \mathbb{C}
Reais \mathbb{R}
Racionais \mathbb{Q}
Inteiros \mathbb{Z}
Naturais \mathbb{N}
Primos
Compostos
Zero
Negativos
Fracionários
Fracção própria
Fracção impropia
Irracionais
Algébricos
Trascendentes
Imaginarios

Modelo:ORDENAR:Numero enterockb:ژمارەی تەواو

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/n/d/Andorra.html"