Oscilador harmônico

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Diz-se que um sistema qualquer, mecânico, eléctrico, pneu, etc. é um oscilador harmônico se quando se deixa em liberdade, fora de sua posição de equilíbrio, volta para ela descrevendo oscilações sinusoidais, ou sinusoidais amortecidas em torno de dita posição estável.

A massa pendurada do resorte forma um oscilador harmônico.

O exemplo típico é o de uma massa pendurada a um resorte. Quando se afasta a massa de sua posição de repouso, o resorte exerce sobre a massa uma força que é proporcional ao desequilíbrio (distância à posição de repouso) e que está dirigida para a posição de equilíbrio. Se solta-se a massa, a força do resorte acelera a massa para a posição de equilíbrio. À medida que a massa acerca-se à posição de equilíbrio e que aumenta sua velocidade, a energia potencial elástica do resorte se transforma em energia cinética da massa. Quando a massa chega a sua posição de equilíbrio, a força será zero, mas como a massa está em movimento, continuará e passará do outro lado. A força investe-se e começa a frear a massa. A energia cinética da massa vai transformando-se agora em energia potencial do resorte até que a massa se pára. Então este processo volta a produzir-se em direcção oposta completando uma oscilação.

Se toda a energia cinética se transformasse em energia potencial e vice-versa, a oscilação seguiria eternamente com a mesma amplitude. Na realidade, sempre há uma parte da energia que se transforma em outra forma, devido à viscosidade do ar ou porque o resorte não é perfeitamente elástico. Por conseguinte, a amplitude do movimento diminuirá mais ou menos lentamente com o passo do tempo. Começar-se-á tratando o caso ideal, no qual não há perdas. Analisar-se-á o caso unidimensional de um único oscilador (para a situação com vários osciladores, veja-se movimento harmônico complexo).

Casos

Oscilador harmônico sem perdas

Artigo principal: Movimento harmônico simples

Denominar-se-á $\scriptstyle{m}$ à massa e $\scriptstyle{y}$ à distância entre a posição da massa e a posição de equilíbrio. Supor-se-á que a força do resorte é estritamente proporcional ao desequilíbrio: $\scriptstyle{F=-ky}$ (lei de Hooke). $\scriptstyle{F}$ é a força e $\scriptstyle{k}$ a constante elástica do resorte. O signo negativo indica que quando $\scriptstyle{y}$ é positiva a força está dirigida para as $\scriptstyle{y}$ negativas.

A segunda lei de Newton diz-nos:

$F=ma=m{dv\over dt}=m{d^2y\over dt^2}$

remplazando a força obtemos:

$m{d^2y\over dt^2}= -ky$

A solução desta equação diferencial ordinária é imediata: as únicas funções reais (não complexas) cuja segunda derivada é a mesma função com o signo investido são seio e cosseno. As duas funções correspondem ao mesmo movimento. Escolhemos arbitrariamente "cosseno". A solução escreve-se:

A curva de acima dá a posição do oscilador em função do tempo. A do médio dá a velocidade. Abaixo estão as curvas das energias. Em azul está a energia cinética $\scriptstyle{{1\over 2}mv^2}$ e em vermelho a energia potencial do resorte $\scriptstyle{{1\over 2}ky^2}$

$y = A\cos(\omega t + \phi)\,$

$\scriptstyle{A}$ é a amplitude, que depende das condições iniciais.
$\scriptstyle{\omega=2\pi f}$ é a pulsação (ou frequência angular) e $\scriptstyle{f}$ a frequência.
$\scriptstyle{t}$ é o tempo.
$\scriptstyle{\phi}$ é a fase inicial (para $\scriptstyle{t= 0}$ ).

É fácil comprovar que o valor de é:. $\scriptstyle{\omega}$

$\omega=\sqrt{{k\over m}}$

O período de oscilação é:

$T=2\pi\sqrt{{m\over k}}$

Como já temos dito, durante um quarto de uma oscilação a energia potencial se transforma em energia cinética. Durante outro quarto, a energia cinética transforma-se em energia potencial. Na figura da direita traçou-se a posição em função do tempo (curva de acima), a velocidade em função do tempo (em médio) e as energias potenciais e cinéticas (abaixo).

Oscilador harmônico amortecido

Arquivo:HarmOsc2b.png

Oscilador harmônico com amortecedor. A força viscosa é proporcional à velocidade.

Acrescentando perdas de energia, consegue-se modelar uma situação mais próxima à realidade. Assim, se note que a oscilação descrita no apartado anterior prolongar-se-ia indefinidamente no tempo (a sinusoide que descreve a posição não converge a zero em nenhum momento). Uma situação mais verosímil corresponde-se com a presença de uma força adicional que freia o movimento. Essa força pode ser constante (mas sempre com signo tal que freie o movimento). É o caso de rozamientos secos: a força não depende nem da velocidade nem da posição. Outra situação que se produz na realidade é que a força seja proporcional à velocidade elevada a uma potência, inteira ou não. Assim sucede quando a força que freia prove da viscosidade ou das perdas aerodinámicas. Tratar-se-á unicamente o caso mais simples, isto é, quando a força seja proporcional à velocidade. Neste caso a força será:

$F_f=-bv=-b{dy\over dt}$

Onde $\scriptstyle{b}$ é um coeficiente que mede o amortecimento devido à viscosidade. Se $\scriptstyle{b}$ é pequeno, o sistema está pouco amortecido. Note-se o signo negativo que indica, como dantes, que se a velocidade é positiva, a força tem a direcção oposta à velocidade. Com este termo complementar a equação diferencial do sistema é:

$m{d^2y\over dt^2}=-ky-b{dy\over dt}$

Trata-se de uma equação diferencial ordinária, linear, de segunda ordem^[1] (contém derivadas segundas) e homogénea (não há termo independente de ). $y$ Tem três tipos de soluções segundo o valor de :. $\scriptstyle{b^2-4km}$

Se $\scriptstyle{b^2-4km > 0}$ o sistema está sobreamortiguado (amortecimento forte ou supercrítico)
Se $\scriptstyle{b^2-4km = 0}$ o sistema tem amortecimento crítico.
Se $\scriptstyle{b^2-4km < 0}$ o sistema oscila com amplitude decreciente (amortecimento débil ou subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado

Posição em função do tempo de um oscilador harmônico amortecido.

curva azul: amortecimento crítico.
curva vermelha: amortecimento duplo que o crítico.
curva verde: amortecimento igual a 90% do amortecimento crítico.

Neste caso o sistema não é realmente um oscilador, já que não oscila. A solução é da forma:

$y = A_1e^{\lambda_1 t}+ A_2e^{\lambda_2 t}$

onde os coeficientes das exponenciales são menores que zero e reais (pelo que não há oscilação):

$\lambda_1={-b -\sqrt{b^2-4km} \over 2 m}$

$\lambda_2={-b +\sqrt{b^2-4km} \over 2 m}$

$\scriptstyle{A_1}$ e $\scriptstyle{A_2}$ dependem das condições iniciais (isto é, da situação do sistema para $\scriptstyle{t = 0}$ ). A posição não é oscilante e tende para a posição de equilíbrio de maneira asintótica. As duas exponenciales decrecientes das soluções têm constantes de tempo diferentes. Uma é pequena $\scriptstyle{1/\lambda_1}$ e corresponde à rápida cancelamento do efeito da velocidade inicial. A segunda $\scriptstyle{1/\lambda_2}$ é maior e descreve a lenta tendência para a posição de equilíbrio.

Oscilador com amortecimento crítico

Este caso é o limite entre um sistema oscilante e um não oscilante. Ocorre quando

$b^2=4km\,$

A solução única é:

$y = A_1e^{-{b\over 2m}t}+ A_2te^{-{b\over 2m}t}$

como dantes, $\scriptstyle{A_1}$ e $\scriptstyle{A_2}$ são constantes que dependem das condições iniciais.

O amortecimento crítico corresponde à tendência mais rápida para a situação de equilíbrio quando não ultrapassa essa posição. Se diminui-se um pouco o amortecimento o sistema acerca-se mais rapidamente da posição de equilíbrio, mas ultrapassando a posição (oscila em torno desse ponto, tomando valores positivos e negativos).

Oscilador com amortecimento débil

Oscilações amortecidas. A amplitude da sinusoide está controlada pela exponencial.

Neste caso, que é mais interessante, temos um oscilador que oscila ao redor da posição de equilíbrio com amplitude decreciente. Sucede quando:

$b^2<4km\,$

A solução é:

$y = Ae^{-{b\over 2m}t}\cos(\omega t + \phi)$

como dantes, $\scriptstyle{A}$ e $\scriptstyle{\phi}$ são constantes que dependem das condições iniciais. A pulsação é:

$\omega= \sqrt{{k\over m}-\left({b\over 2m}\right)^2}$

A pulsação do sistema amortecido é um pouco menor que a pulsação do sistema não amortecido $\scriptstyle{\omega_\circ= \sqrt{{k\over m}}}$ porque a força que o amortece, freia a massa e a retarda.

A oscilação do sistema está descrita por uma sinusoide de frequência $\scriptstyle{f= {1\over 2\pi}\sqrt{{k\over m}-\left({b\over 2m}\right)^2}}$ cuja amplitude está multiplicada por uma exponencial decreciente cuja constante de tempo é $\scriptstyle{\tau={2m\over b}}$ .

Factor de qualidade Q

Em um sistema pouco amortecido é interessante de definir o factor de qualidade (Quality factor em inglês) ou simplesmente Q como:

$Q={\sqrt{km}\over b}$

esta quantidade tanto faz às vezes $\scriptstyle{2\pi}$ o inverso das perdas relativas de energia por período. Assim, um sistema que perde 1% de energia à cada ciclo, terá um Q de 628. Mais interessante, Q é também $\textstyle{\pi}$ vezes o número de oscilações que o sistema faz enquanto sua amplitude se divide por um factor $\textstyle{e}$ . Se pode-se aceitar uma aproximação mais grosseira, Q é 3 vezes o número de oscilações que um sistema faz enquanto sua amplitude cai a 1/3 da amplitude inicial.

Como exemplos, o Q de um veículo com os amortecedores em bom estado é um pouco maior que 1. O Q de uma sensata de guitarra é de milhares. O Q dos cristais de cuarzo utilizados em electrónica como referência de frequência é a ordem de 1 milhão. Uma copa de vidro ordinário tem um Q bem mais pequeno que uma copa de vidro de chumbo (cristal).

Oscilações forçadas

Podemos pôr em movimento um oscilador harmônico sacando de sua posição de equilíbrio e abandonando a sua oscilação livre (ver parágrafos precedentes). Também se pode pôr em movimento lhe aplicando uma força variável com o tempo. Tratar-se-á só o caso no qual a força varia de maneira sinusoidal com o tempo.

Nesta situação, a equação diferencial linear é inhomogénea. A solução a este tipo de equação está formada por dois termos: a solução geral do sistema homogéneo mais uma solução particular do caso inhomogéneo.^[2] Por tanto, a solução está formada por duas partes, uma parte transitória (que se anula passado certo tempo), similar às que vimos nos parágrafos precedentes, mais uma parte estacionária. A solução da parte transitória é a mesma a que já temos visto (equação homogénea). As únicas diferenças são as condições iniciais e finais, que não são idênticas. Vamos interessar-nos à solução estacionária. Na equação diferencial do sistema há que acrescentar a força sinusoidal:

$m{d^2y\over dt^2} + b{dy\over dt}+ky=F_m\cos(\omega t)$

Para resolver esta equação é mais interessante utilizar o mesmo método que em electricidade e electrónica. Para isso, se acrescenta à força real uma força imaginaria $\scriptstyle{ jF_m\sin(\omega t)}$ . Como em electrónica, se utiliza $\scriptstyle{j=\sqrt{-1}}$ em lugar de i . Agora a equação a resolver é:

$m{d^2y\over dt^2} + b{dy\over dt}+ky=F_me^{j\omega t}$

Mas por suposto, como em electricidade, só a parte real de e será de interesse. A solução é imediata:

$y=Ae^{j\omega t}\,$

Se deriva-se esta expressão e substitui-se na equação diferencial, encontra-se o valor de A:

$A={F_m \over k-m\omega^2+jbm\omega}$

Mas A pode escrever-se como $\scriptstyle{A=\rho e^{j\phi}}$ e a solução de complexa $\scriptstyle{y}$ é:

$y=\rho e^{j\phi} e^{j\omega t}=\rho e^{j\left(\omega t+\phi\right)}$

O valor de real $\scriptstyle{y}$ é a parte real da expressão precedente:

$y=\rho \cos\left(\omega t+\phi\right)$

onde $\scriptstyle{\rho}$ é o módulo de e $\scriptstyle{A}$ $\scriptstyle{\phi}$ seu argumento:

$\rho=\mbox{Re}(A)=\mbox{Re}\left( {F_m \over k-m\omega^2+jbm\omega} \right) = {F_m (k-m\omega^2)\over (k-m\omega^2)^2 +b^2m^2\omega^2}$

$\phi=\arg\left(A\right)=\arg\left( {F_m \over k-m\omega^2+jbm\omega} \right)$

Como em electricidade, o ângulo $\scriptstyle{\phi}$ dá o deslocamento do movimento com respeito à força externa. Se $\scriptstyle{\phi}$ é positivo, o movimento está em avanço de fase e se $\scriptstyle{\phi}$ é negativo o movimento está em retardo de fase. Neste caso o deslocamento será sempre negativo.

Resposta em frequência

A amplitude das oscilações forçadas dependerá, por suposto, da amplitude da força externa. Mas para uma mesma amplitude da força, a amplitude da oscilação dependerá também da frequência. Vejamos como varia a amplitude $\scriptstyle{\rho}$ com $\scriptstyle{\omega}$ . Utilizando a definição de frequência própria do sistema (sem amortecimento nem força externa):

Resposta em frequência de um oscilador harmônico. À frequência de ressonância, a amplitude é Q vezes maior que a muito baixa frequência.

$\omega_\circ=\sqrt{{k\over m}}$

pode-se escrever:

$A={F_m\over k}{1\over 1-\left({\omega\over\omega_o}\right)^2 +j{\omega\over\omega_o}\sqrt{{b^2\over km}}}$

Se ademais utiliza-se a definição de , $\scriptstyle{Q={\sqrt{km}\over b}}$ obtém-se:

$A={F_m\over k}{1\over 1-\left({\omega\over\omega_o}\right)^2+j{\omega\over\omega_o}{1\over Q}}$

No desenho de direita representou-se a amplitude da oscilação forçada em função da frequência para vários valores do factor de qualidade Q. A muito baixa frequência a amplitude é a mesma que se a força fosse estática $\scriptstyle{F_m=kA}$ , e o sistema oscilará entre as posições $\scriptstyle{{F_m\over k}}$ e $\scriptstyle{-{F_m\over k}}$ . Quando a frequência aumenta, a amplitude também, atingindo um máximo quando a frequência de excitação tanto faz à frequência própria do sistema. A essa frequência própria também se lhe chama frequência de ressonância. Também se diz que um sistema excitado a uma frequência próxima à frequência de ressonância "ressoa" ou "entra em ressonância". À frequência de ressonância, a amplitude das oscilações será Q vezes maior que a que se obtém em baixa frequência.

O largo do bico de ressonância a média altura, isto é quando a amplitude tanto faz à metade do máximo, tanto faz à frequência de ressonância dividida por Q . Esse largo também se chama banda pasante.

Oscilador forçado e caos

O oscilador harmônico não perturbado em uma dimensão é um exemplo de sistema integrable, com comportamento regular. No entanto, o oscilador harmônico perturbado pode apresentar um comportamento caótico^[3] caracterizado por um atractor estranho. Por exemplo no caso de uma perturbación de tipo $x^3\;$ a equação de movimento é:

$\frac{d^2x}{dt^2} + a\frac{dx}{dt} + \omega^2 x + \varepsilon\omega^2 x^3 = b \cos(\omega t)$

Este sistema é não integrable e o movimento tende rapidamente para o chamado atractor de Duffing.^[4]

Importância em Física

Considere-se o caso de um corpo submetido a uma força unidimensional: $F (y)$ . Desenvolvendo dita força em série de Taylor ao redor do ponto de equilíbrio ( $y =0$ ):

$F(y)=F(y=0)+y\left ( \frac{dF}{dy} \right )_{y=0}+{1\over 2}y^2\left ( \frac{d^2F}{dy^2} \right )_{y=0}+...$

Como a origem é o ponto de equilíbrio, o primeiro termo do desenvolvimento é nulo. Se as oscilações em torno de são $y =0$ o suficientemente pequenas, um se pode combinar com a aproximação linear e desprezar os termos de ordem superior:

$F(y)\simeq \ y\left ( \frac{dF}{dy} \right )_{y=0}$

Chamando-lhe $k$ à derivada da força, obtém-se de novo a força recuperadora de Hooke. Aqui radica a importância do oscilador harmônico: supõe uma primeira aproximação para o estudo de um sistema quando se produzem pequenas oscilações em torno de sua posição (ou estado) de equilíbrio.^[5]

Exemplos

Circuito LC

Circuito LC sem perdas

Circuito LC sem perdas.

Na figura da direita desenhou-se um circuito oscilante LC ideal, isto é sem perdas.

Suponha-se que, na situação inicial, o condensador está carregado a uma tensão V e que nesse momento se liga a inductancia. A tensão presente às extremidades da inductancia vai fazer aparecer uma corrente de sentido inverso à da seta do desenho, que aumentará com o tempo. À medida que o condensador fornece corrente à inductancia, descarrega-se e a tensão diminui. A diminuição da tensão faz que a corrente aumente menos rapidamente. A situação contínua assim, com a tensão do condensador que diminui a cada vez mais rapidamente (porque a corrente aumenta) e a corrente que aumenta mais lentamente (porque a tensão diminui). Chega um momento no qual o condensador está completamente descarregado e a corrente tem chegado a um máximo. Agora a corrente continua circulando porque a inductancia lho impõe. O condensador começa a carregar-se no outro sentido e faz aparecer uma tensão nos bornes da inductancia que faz diminuir a corrente. A situação continua do seguinte modo: o condensador vai-se carregando a cada vez mais lentamente (porque a corrente diminui), enquanto a corrente vai diminuindo a cada vez mais rapidamente (porque a tensão inversa aumenta). Assim, se chega à situação na qual a corrente se anula e a tensão do condensador é máxima e do mesmo valor que a tensão inicial, mas com sentido oposto. A situação é análoga à de uma massa sustentada por um resorte. A inductancia joga o papel da massa. A massa tem inércia e impede que o movimento mude bruscamente. A inductancia impede que a corrente mude bruscamente. Vejamos as equações.

O comportamento eléctrico do condensador está descrito pela equação: $\scriptstyle{I=C{dV\over dt}}$ . O da inductancia está descrito por . $\scriptstyle{V=L{dI\over dt}}$ Como no esquema $\scriptstyle{I}$ é positivo quando sai do lado positivo da inductancia, há que agregar um signo negativo: $\scriptstyle{V=-L{dI\over dt}}$ . Tem-se, pois, este sistema de equações diferenciais:

$I=C{dV\over dt}$

$V=-L{dI\over dt}$

Para eliminar $\scriptstyle{I}$ , basta derivar a primeira equação, para remplazar a derivada de I na segunda:

$V=-LC{d^2V\over dt^2}$

que se pode escrever como:

$L{d^2V\over dt^2}=-{1\over C}V$

Esta equação é a mesma que a da massa com um resorte. $\scriptstyle{V}$ é equivalente à posição $\scriptstyle{y}$ . $\scriptstyle{L}$ é equivalente à massa $\scriptstyle{m}$ e $\scriptstyle{{1\over C}}$ é equivalente à constante do resorte $\scriptstyle{k}$ .

A solução é:

$V=V_\circ\cos(\omega t + \phi)$

com

$\omega = {1\over \sqrt{LC}}$

Como de costume, $\scriptstyle{V_\circ}$ e $\scriptstyle{\phi}$ dependem das condições iniciais.

Circuito LC com perdas

Arquivo:HarmOscLCR.png

Circuito LC com perdas. A resistência dá conta de todas as perdidas possíveis.

O esquema da direita representa um circuito oscilante LC com perdas. As perdas estão representadas pelas perdas em uma resistência. Em um circuito real, as perdas provem de resistências em série como a desenhada. Ditas resistências podem estar no exterior da inductancia ou do condensador, mas também podem ser resistências internas desses componentes. Também pode ter resistências em paralelo, perdidas no dieléctrico do condensador ou no núcleo da bobina (se é ferromagnético). Também pode ter perdas por radiación de ondas electromagnéticas. A resistência fará que a tensão sobre a bobina seja diferente da tensão sobre o condensador. A corrente criada será menor que se não tivesse tido perdas e cuado a corrente carregue de novo o condensador, a tensão à qual chegará será menor. Por sua vez, a amplitude diminuirá e tenderá para zero. A equação do novo sistema é:

$L{d^2V\over dt^2}+R{dV\over dt}+{1\over C}V = 0$

A equação é a mesma que a de uma massa com um resorte e com um amortecedor. Desta vez $\scriptstyle{R}$ é o equivalente do coeficiente de rozamiento $\scriptstyle{b}$ . A solução é:

$V=V_\circ e^{-{R\over 2L}t}\cos(\omega t + \phi)$

com

$\omega = \sqrt{{1\over LC}-\left({R\over 2L}\right)^2}$

$Q = \sqrt{L \over RC}={\omega_\circ L \over R}= {R \over \omega_\circ C}$

onde $\scriptstyle{\omega_\circ={1\over \sqrt{LC}}}$ é a frequência própria do circuito (sem perdas).

Oscilações forçadas de um circuito LC com perdas

Circuito LRC atacado por um gerador sinusoidal.

O esquema da direita mostra um gerador conectado a um circuito LC em série. Se a tensão do gerador é $\scriptstyle{V_f\cos(\omega t)}$ , a equação é:

$LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)$

A expressão pode-se reescribir, dando-lhe um aspecto similar às formas precedentes:

$L{d^2V \over dt^2}+R{dV \over dt} + {1\over C}V = {V_f \over C}\cos(\omega t)$

Como no exemplo mecânico, em regime estacionário a solução é:

$V=V_\circ\cos(\omega t + \phi)$

onde

$V_\circ = V_f\left|{1 \over 1 - \left({\omega\over \omega_\circ}\right)^2 + j{1\over Q}{\omega\over \omega_\circ}}\right|$

$\phi = Arg\left({1 \over 1 - \left({\omega\over \omega_\circ}\right)^2 + j{1\over Q}{\omega\over \omega_\circ}}\right)$

$\scriptstyle{\omega_\circ}$ e $\scriptstyle{Q}$ são os mesmos que no parágrafo precedente. A amplitude da tensão de saída é máxima à ressonância (quando $\scriptstyle{\omega=\omega_\circ}$ ) e vale vezes a tensão primeiramente.

Oscilador harmônico cuántico

Artigo principal: Oscilador harmônico cuántico

Funções de onda para os primeiros seis autoestados, n = 0 a 5. O eixo horizontal mostra a posição e em unidades (h/2πmω)^1/2. As gráficas estão sem normalizar.

Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal).

Como já se comentou, o oscilador harmônico se pode empregar para estudar sistemas que realizem pequenas oscilações em torno de uma posição de equilíbrio. Em particular, o oscilador harmônico cuántico pode-se empregar para estudar as oscilações dos átomos de uma molécula diatómica, como a de hidrógeno , H₂, ou a de cloruro de hidrógeno, HCl.^[6]

O oscilador harmônico é um dos casos nos que se pode obter uma solução analítica singela da equação de Schrödinger. Nesta situação, o hamiltoniano da partícula considerada estará descrito por:

$\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$

Note-se que para o caso de moléculas diatómicas, a massa $m$ seria, em realidade, a massa reduzida do sistema. Vê-se claramente que o primeiro somando é um termo cinético, enquanto o segundo é o harmônico. Como o hamiltoniano não depende do tempo, só resta resolver a equação de Schrödinger independente do tempo, a fim de achar os autoestados da energia $E$ :

$\hat H |\psi(y)\rang = E |\psi(y)\rang$

Pode-se demonstrar que as funções de onda, $\psi(y)$ , cujo módulo ao quadrado descreve a densidade de probabilidade de que a partícula tenha uma determinada posição $y$ , são o produto de exponenciales pelos polinômios de Hermite. A figura da direita mostra a forma de ditas funções para os seis autoestados com energia mais baixa (o estado de menor energia é o que figura na parte superior da mesma). Em particular, a energia do nível n-ésimo será:

$E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right) \qquad n=0, 1, 2, ...$

onde $\scriptstyle{\hbar}$ é a constante de Planck.

É importante assinalar um par de factos:

Os níveis de energia encontram-se cuantizados, isto é, só podem tomar uma série de valores discretos.
O nível mínimo de energia não é zero, senão $\scriptstyle{(1/2) \hbar\omega}$ . Note-se que a função de onda de dito estado mostra que a partícula não se encontra em todo momento na posição de equilíbrio $y=0$ .

Na segunda figura, mostram-se as densidades de probabilidade espacial da partícula para os diferentes autoestados. Note-se que à medida que cresce a energia do autoestado considerado (isto é, a ordem $n$ ), as distribuições de probabilidade tendem a concentrar nos pontos de volta, ou máxima amplitude. Esta situação é a que se dá no caso clássico, se se define para ele uma densidade de probabilidade inversamente proporcional à velocidade da partícula na cada ponto.^[7] Por tanto, cumpre-se o princípio de correspondência (isto é, podem-se predizer os resultados que obter-se-iam no limite clássico).

Veja-se também

Referências

↑ Simmons, capítulo 3
↑ Simmons, páginas 84-87
↑ T.N. Palmer (1995): "A local deterministic model of Quantum Spin Measurement", Proceedings: Mathematical and Physical Sciences, Volume 451, Issue 1943, pp. 585-608
↑ Atractor de Duffing
↑ Marion, páginas 103 e 104
↑ Tipler, página 1190
↑ Guillén, páginas 114 e 115

Bibliografía

Feynman, Leighton and Sands. Lectures onphysics , Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9045-6.
R. Resnick and D. Halliday (1996). Physics, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83202-2.
Marion, Jerry B. (1996). Dinâmica clássica das partículas e sistemas, Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
Simmons, George F. (1999). Equações Diferenciais. Com aplicações e notas históricas, Aravaca (Madri): McGraw-Hill. ISBN 84-481-0045-X.
Tipler, Paul A. (2000). Física para a ciência e a tecnologia (volume 2), Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.
Sánchez Guillén, Joaquín. Braun, Mijail A. (1993). Física cuántica, Madri: Aliança Editorial. ISBN 84-206-8145-8.

Enlaces externos

Artigo na wikipedia em francês sobre o péndulo composto
Hyperphysics (lugar em inglês)
Oscilador harmônico cuántico em Hyperphysics .
Página (em inglês) com animações a respeito do oscilador harmônico, o péndulo simples e outros fenómenos.
Página (em inglês) com animações de oscilações e ondas.

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Oscilador harmônico

Oscilador harmônico

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Casos

Oscilador harmônico sem perdas

Oscilador harmônico amortecido

Oscilador sobreamortiguado

Oscilador com amortecimento crítico

Oscilador com amortecimento débil

Factor de qualidade Q

Oscilações forçadas

Resposta em frequência

Oscilador forçado e caos

Importância em Física

Exemplos

Circuito LC

Circuito LC sem perdas

Circuito LC com perdas

Oscilações forçadas de um circuito LC com perdas

Oscilador harmônico cuántico

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Referências

Bibliografía

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