Oscilador harmônico cuántico

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O oscilador harmônico cuántico é o análogo mecano cuántico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica cuántica, já que qualquer potencial se pode aproximar por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Ademais, é um dos sistemas mecano cuánticos que admite uma solução analítica singela.

Oscilador harmônico monodimensional

Hamiltoniano, energia e autofunciones

Funções de onda para os oito primeiros autoestados, $v = 0 \mbox{ a } 7$ . O eixo horizontal mostra a posição e em unidades (h/2πmω)^1/2. As gráficas estão sem normalizar.

Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal).

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa $\displaystyle m$ está submetida a um potencial quadrático $\displaystyle V(x) = \frac{1}{2} k x^2$ . Em mecânica clássica $\displaystyle k= m \omega^2$ denomina-se constante de força ou constante elástica, e depende da massa $m$ da partícula e da frequência angular $\displaystyle \omega$ .

O Hamiltoniano cuántico da partícula é:

$\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

onde $x\,$ é o operador posição e $\hat p\,$ é o operador momento $\left(\hat p = -i \hbar {d \over dx} \right)$ . O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (isto é, as autofunciones e os autovalores do Hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), temos que resolver a equação de Schrödinger independente do tempo

$\hat H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle$ .

Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Obtém-se de modo que a família de soluções é

$\left\langle x | \psi_v \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^v\,v!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_v\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$

$v = 0, 1, 2, \ldots$

onde $v\,$ representa o número cuántico vibracional. As oito primeiras soluções ( $v = 0 \mbox{ a } 7\,$ ) mostram-se na figura da direita. As funções $H_n$ são os polinômios de Hermite:

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

Não se devem de confundir com o Hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a anotação $\hat H$ para evitar confusões). Os níveis de energia são

$E_v = \hbar \omega \left(v + {1\over 2}\right) \qquad v = 0, 1, 2, \ldots$ .

Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "cuantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em fracções semienteras 1/2, 3/2, 5/2, ... de . $\hbar\omega$ Este resultado é característico dos sistemas mecano-cuánticos. Na seguinte secção sobre os operadores escada faremos uma detalhada análise deste fenómeno. A segunda é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é $\hbar\omega/2$ , e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero. A última razão é que os níveis de energia estão equiespaciados, ao invés que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.

Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Isto é, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. À medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade concentra-se nos "pontos de volta clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e por tanto é onde é mais provável a encontrar) nos pontos de volta. Satisfaz-se assim o princípio de correspondência.

Aplicação: moléculas diatómicas

Artigo principal: molécula diatómica

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial electrónico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, isto é, um potencial de tipo harmônico. Por tanto, em moléculas diatómicas, a frequência fundamental de vibração virá dada por: [1]

$\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{\mu}}$