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Péndulo cônico

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O péndulo cônico está constituído por um corpo pesado de pequenas dimensões (pontual, idealmente) suspendido de um ponto fixo mediante um fio inextensible e de massa despreciable. Sua construção é a mesma que a de um péndulo simples, mas, a diferença deste, o péndulo cônico não oscila, senão que a massa pendular descreve uma trajectória circular em um plano horizontal com aceleração constante. Seu nome prove do facto de que o fio traça uma superfície cônica. O péndulo cônico é um caso particular do péndulo esférico.

O cientista inglês Robert Hooke foi o primeiro em estudar as características deste péndulo, em 1660 .

Péndulo coníco.

Conteúdo

Análise do movimento

Consideremos um péndulo cônico consistente em uma pequena esfera de massa m que se move sem atrito em uma circunferencia horizontal com uma celeridade constante v, suspendida de um fio de longitude L que forma um ângulo constante θ com a vertical.

Sobre a massa m actuam duas forças: seu próprio peso, mg, e a tensão do fio, T.

A componente horizontal da tensão do fio proporciona a aceleração centrípeta, a_\text{cp}\,\;, sócia com o movimento circular. A componente vertical da tensão compensa-se exactamente com o peso da massa m. A aplicação da segunda lei de Newton nas direcções horizontal e vertical permite-nos escrever:

(1) T \sin \theta = ma_\text{cp} = \frac {mv^2}{r} \,
(2) T \cos \theta = mg \,

Dividindo membro a membros estas duas equações, eliminamos T e m , resultando:

(3) \tan\theta=\frac{v^2}{rg} 
\qquad\Rightarrow\qquad v^2=rg\tan\theta

Já que a celeridade v é constante, pode expressar-se em função do tempo T_\text{p}\, requerido para realizar uma revolução completa ou período de revolução,

(4)  v = \frac {2\pi r}{T_\text{p} }

e substituindo na equação (3), após fáceis operações, obtemos:

(5) T_\text{p} = 2 \pi \sqrt {\frac {r} {g \tan \theta}}

Na execução prática da experiência, r varia e não é estan fácil de medir como a longitude constante L do fio. Recorrendo à relação trigonométria entre r, h, e L, isto é, r = L \sin \theta \,, a relação (5) se escreve na forma:

(6) T_\text{p} = 2 \pi \sqrt { \frac {L \cos \theta} {g} }

Para pequenos ângulos será cos(θ) ≈ 1 e o período de revolução do péndulo cônico resulta ser quase igual ao período de oscilação do péndulo simples da mesma longitude. Ademais, para pequenos ângulos, o período de revolução é aproximadamente independente do valor do ângulo θ, o que significa que, apesar de que o ângulo vá diminuindo (por frición com o ar, por exemplo), o período permanece praticamente constante. Esta propriedade, telefonema isocronismo, possuem-na também os péndulos ordinários.

Veja-se também

Referências

Bibliografía

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