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Parábola (matemática)

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Para outros usos deste termo, veja-se parábola.
Secções cônicas.
A trajectória de uma pelota que rebota é uma sucessão de parábolas.

Em matemática, a parábola (do grego παραβολή) é a secção cônica resultante de cortar um cone recto com um plano paralelo a seu generatriz.[1]

Define-se também como o lugar geométrico dos pontos que equidistan de uma recta (eixo ou directriz) e um ponto fixo chamado foco.

Em geometria proyectiva, a parábola define-se como a curva envolvente das rectas que unem pares de pontos homólogos em uma proyectividad semelhante ou semelhança.

A parábola aparece em muitos ramos das ciências aplicadas, como as gráficas de equações quadráticas são parábolas. Por exemplo, a trajectória ideal do movimento dos corpos baixo a influência da gravidade.

Conteúdo

História

A tradição reza que as secções cônicas foram descobertas por Menecmo em seu estudo do problema da duplicación do cubo,[2] onde demonstra a existência de uma solução mediante o corte de uma parábola com uma hipérbola, o qual é confirmado posteriormente por Proclo e Eratóstenes.[3]

No entanto, o primeiro em usar o termo parábola foi Apolonio de Perge em seu tratado Cônicas,[4] considerada faz cimeira sobre o tema das matemáticas gregas, e onde se desenvolve o estudo das tangentes a secções cônicas.

Se um cone é cortado por um plano através de seu eixo, e também é cortado por outro plano que corte a base do cone em uma linha recta perpendicular à base do triângulo axial, e se adicionalmente o diâmetro da secção é paralelo a um lado do triângulo axial, então qualquer linha recta que se desenhe desde a secção de um cone a seu diâmetro paralelo à secção comum do plano cortante e uma das bases do cone, será igual em quadrado ao retângulo contido pela linha recta cortada por ela no diâmetro que inicia do vértice da secção e por outra linha recta que está em razão à linha recta entre o ângulo do cone e o vértice da secção que o quadrado na base do triângulo axial tem ao retângulo contido pelos dois lados restantes do triângulo. E tal secção será chamada uma parábola
Apolonio de Perge

É Apolonio quem menciona que um espelho parabólico reflete de forma paralela os raios emitidos desde seu foco, propriedade usada hoje em dia nas antenas satelitales. A parábola também foi estudada por Arquímedes , novamente na busca de uma solução para um problema famoso: a cuadratura do círculo, dando como resultado o livro Sobre a cuadratura da parábola.

Propriedades geométricas

Diferentes elementos de uma parábola.

Ainda que a definição original da parábola é a relativa à secção de um cone recto por um plano paralelo a sua directriz, actualmente é mais comum definir a parábola como um lugar geométrico:

Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma recta dada, chamada directriz, e um ponto fixo que se denomina foco.

Desta forma, uma vez fixa uma recta e um ponto pode-se construir uma parábola que os tenha por foco e directriz de acordo à seguinte construção. Seja T um ponto qualquer da recta directriz. Une-se com o foco dado F e a seguir traça-se a mediatriz (ou perpendicular pelo ponto médio) do segmento TF. A interseção da mediatriz com a perpendicular por T à directriz dá como resultado um ponto P que pertence à parábola. Repetindo o processo para diferentes pontos T pode-se aproximar tantos pontos da parábola como seja necessário.

Da construção anterior pode-se provar que a parábola é simétrica com respeito à linha perpendicular à directriz e que passa pelo foco. No ponto de interseção da parábola com tal linha (conhecida como eixo da parábola) se lhe conhece como vértice da parábola e é o ponto cuja distância à directriz é mínima. A distância entre o vértice e o foco conhece-se como Distância focal ou Rádio focal.

Os pontos da parábola estão à mesma distância do foco F e da recta directriz.
Construção de pontos em uma parábola.

Lado recto

Arquivo:Parábola-lado recto.svg
O lado recto mede 4 vezes a distância focal
Ao segmento de recta compreendido pela parábola, que passa pelo foco e é paralelo à directriz, se lhe conhece como lado recto.

A longitude do lado recto é sempre 4 vezes a distância focal.

Sendo D, E os extremos do lado recto e T, Ou as respectivas projecções sobre a directriz, denotando por W a projecção do foco F sobre a directriz, observa-se que FEUW e DFWT são quadrados, e seus lados medem FW=2FV. Por tanto o segmento DE tanto faz a 4 vezes o segmento FV (a distância focal).

As tangentes à parábola que passam pelos extremos do lado recto formam ângulos de 45° com o mesmo, consequência de que FEUW e DFWT sejam quadrados, junto com a construção mencionada na secção anterior. Ademais, tais tangentes cortam-se na directriz, precisamente no ponto de projecção W do foco, propriedades que podem ser aproveitadas para construir uma aproximação geométrica do foco e a directriz quando estes são desconhecidos.

Semelhança de todas as parábolas

Todas as parábolas são similares, é unicamente a escala a que cria a aparência de que têm formas diferentes.

Dado que a parábola é uma secção cônica, também pode se descrever como a única secção cônica que tem excentricidade e = 1. A unicidad refere-se a que todas as parábolas são semelhantes, isto é, têm a mesma forma, salvo sua escala.

Desafortunadamente, ao estudar analiticamente as parábolas (baseando-se em equações), costuma-se afirmar erroneamente que os parámetros da equação mudam a forma da parábola, a fazendo mais larga ou estreita. A verdade é que todas as parábolas têm a mesma forma, mas a escala (zoom) cria a ilusão de que há parábolas de formas diferentes.

Um argumento geométrico informal é que ao ser a directriz uma recta infinita, ao tomar qualquer ponto e efectuar a construção descrita acima, se obtém sempre a mesma curva, salvo sua escala, que depende da distância do ponto à directriz.

Tangentes à parábola

A tangente bisecta o ângulo entre o foco, o ponto de tangência e sua projecção.

Um resultado importante em relação às tangentes de uma parábola estabelece:

A tangente divide o ângulo entre o foco, o ponto de tangência e sua projecção.

Daqui por diante, F denotará o foco de uma parábola, P um ponto da mesma e T sua projecção sobre a directriz. Retomando a construção dada para encontrar pontos de uma parábola, seja MP a mediatriz do triângulo FPT, o qual é isósceles e por tanto divide ao ângulo FPT. O único que há que verificar agora é que MP também é a tangente no ponto P. Seja Q outro ponto da parábola e seja Ou sua projecção na directriz.

Já que FQ=QU e <QU QT, então FQ<QT. Dado que isto é verdadeiro para qualquer outro ponto da parábola, se conclui que toda a parábola está de um mesmo lado de MP , e como a desigualdade é estrita, não há outro ponto da parábola que toque à recta MP, isto quer dizer que MP é a tangente da parábola em P .

Aplicações práticas

Uma consequência de grande importância é que a tangente reflete os raios paralelos ao eixo da parábola em direcção ao foco. As aplicações práticas são muitas: as antenas satelitales e radiotelescopios aproveitam o princípio concentrando sinais recebidas desde um emissor longínquo em um receptor colocado na posição do foco.

A concentração da radiación solar em um ponto, mediante um reflector parabólico tem sua aplicação em pequenas cozinhas solares e grandes centrais captadoras de energia solar.

Analogamente, uma fonte emissora situada no foco, enviará um faz de raios paralelos ao eixo: diversos lustres e faros têm espelhos com superfícies parabólicas reflectantes para poder enviar fazes de luz paralelos emanados de uma fonte em posição focal. Os raios convergen ou divergen se o emissor se deplaza da posição focal.

Equações da parábola

Arquivo:Parábolas centradas.svg
Parábolas tipo e=ax2, com a =4, 1, 1/4 e 1/10.
Arquivo:As parábolas são quadráticas.svg
Prova geométrica da relação e=ax2.

Com a chegada da geometria analítica iniciou-se um estudo das formas geométricas baseado em equações e coordenadas.

Uma parábola cujo vértice está na origem e seu eixo coincide com o eixo das ordenadas, tem uma equação da forma e=ax2 onde o parámetro a especifica a escala da parábola, incorrectamente descrita como a forma da parábola, já que como se disse dantes, todas as parábolas têm a mesma forma. Quando o parámetro é positivo, a parábola se abre «para acima» e quando é negativo se abre «para abaixo».

Conquanto, a expressão em forma de equação não foi possível até o desenvolvimento da geometria analítica, a relação geométrica expressada na equação anterior já estava presente aos trabalhos de Apolonio,[2] e se bosquejará a seguir usando anotação moderna.

Tomando novamente a definição de parábola como secção de um cone recto de forma paralela à directriz, seja V um ponto no eixo e seja QV perpendicular ao eixo. (QV corresponde ao valor x na versão analítica e PV ao valor e). Considerando a secção circular que passa por Q e é paralela à base do cone, obtemos H, K paralelos a B e C.

Pelo teorema de potência de um ponto:

QV^2 = HV\cdot VK.
Ao ser PM paralela a AC , os triângulos HVP, HKA e BCA são semelhantes e assim:
\frac{HV}{PV} = \frac{HK}{KA}  = \frac{BC}{AC}.

Usando novamente os paralelismos:

\frac{VK}{PA} = \frac{HK}{HA} = \frac{BC}{BA}.

Despejando HV e VK para substituir na fórmula de QV ² resulta em

QV^2=HV\cdot VK=\left(\frac{BC\cdot PV}{AC}\right)\left(\frac{BC\cdot PA}{BA}\right) = \left(\frac{BC^2\cdot PA}{BA\cdot AC}\right)PV.

Mas o valor de é \left(\frac{BC^2\cdot PA}{BA\cdot AC}\right) uma constante pois não depende da posição de V , pelo que fazendo

 a = \frac{BA\cdot AC}{BC^2\cdot PA},

arroja a expressão moderna e=ax².

Parábolas verticais, com equações da forma e=ax²+bx+c.

Aplicando uma substituição de coordenadas podemos obter agora a equação de uma parábola vertical para qualquer posição de seu vértice.

A equação de uma parábola cujo eixo é vertical e seu vértice é (ou,v) tem a forma (e-v)=a (x-ou)2,

agrupando os termos e reordenando obtém-se uma forma equivalente:

A equação de uma parábola cujo eixo é vertical é da forma y = a x^2 + bx + c \,.

Se a parábola é horizontal, obtêm-se equações similares mas trocando e por x e vice-versa. Assim teríamos:

A equação de uma parábola cujo eixo é horizontal é da forma x = a y^2 + by + c \,.

Equação envolvendo a distância focal

Erro ao criar miniatura:
Equação de uma parábola vertical.

Podem ter muitas parábolas que tenham um mesmo vértice (variando o parámetro a )na primeira equação. No entanto, dados dois pontos fixos, existe só uma parábola que os tem por vértice e foco já que a directriz fica automaticamente fixa como a perpendicular à linha que une o foco com o vértice e a essa mesma distância do último.

Consideremos o caso especial em que o vértice é (0,0) e o foco é (0,p). A directriz é por tanto, a recta horizontal que passa por (0,-p). À distância entre o vértice e o foco chama-se-lhe distância focal, de maneira que neste caso a distância focal tanto faz a p . Com esta configuração tem-se:

A equação de uma parábola com vértice em (0,0) e foco em (0,p) é \,x^2=4py.

De forma alternada:

A equação de uma parábola com vértice em (0,0) e foco em (0,p) é y=\frac{x^2}{4p}.

É de notar que o coeficiente 4p é precisamente a longitude do lado recto da parábola.

Ambas equações se referem a parábolas verticais que se abrem «para acima». A equação de uma parábola que se abre para abaixo é similar excepto que varia um signo. Neste caso, o foco seria (0,-p) e desta forma:

A equação de uma parábola com vértice em (0,0) e foco em (0,-p) é \,x^2=-4py.

Quando a parábola é horizontal «para a direita», se obtém uma equação similar trocando os papéis de x, e:

A equação de uma parábola com vértice em (0,0) e foco em (p,0) é \,y^2=4px,

obtendo mediante uma mudança de signo a equação das parábolas para a esquerda.

Finalmente, as equações quando o vértice não está no centro se obtêm mediante uma translação. No caso comum da parábola vertical para acima tem-se

A equação de uma parábola com vértice em (h, k) e foco em (h, k+p) é \,(x-h)^2=4p(y-k),

enquanto para a parábola horizontal troca-se x com e:.

A equação de uma parábola com vértice em (h, k) e foco em (h+p, k) é \,(y-k)^2=4p(x-h).

Equação geral de uma parábola

Até agora se descreveram parábolas com seus eixos paralelos a algum dos eixos de coordenadas. Desta forma as fórmulas são funções de x ou de e. Mas uma parábola pode ter seu eixo inclinado com respeito a um par de eixos de coordenadas ortogonais.

A expressão algébrica que descreve uma parábola que ocupe qualquer posição em um plano é:

\,a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0

se e só se

\, b^2 - 4ac = 0

e os coeficientes a e c não podem ser simultaneamente nulos

Mediante translações e rotações é possível achar um sistema de referência no que a equação anterior se expresse mediante uma fórmula algébrica da forma

\,a x'^2 + b x' + c = 0 , onde a é diferente de zero.

Referências

  1. Se o ângulo que forma o plano de interseção com o eixo de revolução (ou directriz), é maior que o compreendido entre dito eixo e a generatriz, então a interseção será uma elipse. Será uma hipérbola se dito ângulo é menor ao citado, e uma circunferencia se o plano é perpendicular à directriz do cone.
  2. a b Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (em inglês), Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.
  3. Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (em inglês). Consultado o 02-06-2008 de 2008.
  4. J. J. Ou'Connor e E. F. Robertson. «Apollonius of Perga» (em inglês). Consultado o 02-06-2008.

Veja-se também

Enlaces externos

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/n/d/Andorra.html"