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Partícula em um potencial de simetría esférica

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Uma partícula em um potencial de simetría esférica, é um termo para referir-se a toda uma série de problemas ou sistemas físicos interessantes em que uma partícula está em um campo exterior central com simetría esférica. Este tipo de sistemas aparece tanto em mecânica clássica, onde o caso mais notorio são as órbitas planetarias, como em mecânica cuántica onde o caso mais interessante é o átomo com um só elétron.

Conteúdo

Sistemas cuánticos com simetría esférica

Entre os casos cuánticos fisicamente interessantes que estão entre a colecção de potenciais de simetría esférica estão:

Formulación

Devido à simetría esférica do problema convém usar coordenadas esféricas para procurar as funções de onda do sistema cuántico (o problema pode chegar a ser irresoluble pelos meios comuns se usa-se outro tipo de coordenadas). Um sistema cuántico com um potencial de simetría esférica tem um conjunto de estados estacionários cuja função de onda calculable é solução de equação diferencial de Schrödinger em coordenadas esféricas e com um potencial dependendo só da coordenada radial:

(1) -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(r,\theta,\varphi) + V(r)\Psi(r,\theta,\varphi) = E\Psi(r,\theta,\varphi)

Separação de variáveis

Uma técnica comum para resolver a equação (1) é usar a técnica de separação de variáveis consistente em procurar soluções particulares que sejam produto de uma ou mais funções a cada uma dependendo só de algumas das coordenadas. Assim a partir das propriedades do operador laplaciano e a separação de variáveis para a coordenada radial e as coordenadas angulares, que as soluções da equação (1) podem se escrever como o produto de uma função da coordenada radial por uma função das coordenadas angulares do seguinte modo:

\Psi(r,\theta,\varphi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)
\Delta\Psi=(\Delta R_{nl})Y_{lm}+2(\nabla R_{nl})\cdot(\nabla Y_{lm})+R_{nl}(\Delta Y_{lm}) = (\Delta R_{nl})Y_{lm}+R_{nl}(\Delta Y_{lm})


Graças a esta última propriedade pode provar-se que a função anterior será solução de (1) se e só se a função Rnl(r) satisfaz a seguinte equação (2a) e Elm(θ,φ) satisfaz (2b):

-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{d^2R_{nl}(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{dR_{nl}(r)}{dr} - \frac{l(l+1)}{r^2} R_{nl}(r)\right) + V(r)R_{nl}(r) = ER_{nl}(r) \qquad (2a)
\Delta Y_{lm}(\theta,\varphi) = -\frac{l(l+1)}{r^2} Y_{lm}(\theta,\varphi) \qquad (2b)


A solução (2b) será fisicamente admissível se é periódica nos dois variáveis, isto é, se após girar um ângulo 2π a função toma os mesmos valores, matematicamente, Elm(θ,φ) = Elm(θ+2pπ,φ+2qπ) para qualquer p e q inteiros. Pode provar-se que a equação (2b) só é periódica se l e m são números inteiros, por tanto os estados físicos reais se caracterizam por valores inteiros desses dois números cuánticos, e nesse caso a função solução Elm, se chama harmônico esférico e vem dada pelo produto de uma exponencial complexa por um polinômio de Legendre:

Y_l^m (\theta, \varphi ) = N \, e^{i m \varphi } \, P_l^m (\cos{\theta} )


Por ser as coordenadas esféricas ortogonais o segundo membro da anterior equação anula-se e pelas propriedades do harmônico esférico Elm sócio ao l e m . Finalmente o hamiltoniano para uma partícula em um potencial de simetría esférica deve ser da forma:

(3) \hat{H}|\Psi\rang = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{d^2R_{nl}}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{dR_{nl}}{dr} +\left[V(r)- \frac{l(l+1)}{r^2}\right] R_{nl}\right)Y_{lm}

Valores próprios da energia e o momento angular

Sistemas clássicos com simetría esférica

Formulación

Devido à simetría esférica do problema convém usar coordenadas esféricas para encontrar as trajectórias da partícula. O enfoque mais singelo clássico mais próximo ao anterior problema cuántico é precisamente o usado na mecânica hamiltoniana que é o que empregaremos nesta secção. Para isso precisamos encontrar os momentos conjugados sócios às coordenadas esféricas, coisa que pode se fazer procurando previamente o lagrangiano do sistema:

L(r,\theta,\varphi,\dot{r},\dot\theta,\dot\varphi) = {1 \over 2} \left(m\dot{r}^2 + mr^2\dot\theta^2 + mr^2\dot\varphi^2\sin^2\theta \right) - V(r)


p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} \qquad p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot\theta \qquad p_\varphi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = mr^2\sin^2\theta\dot\varphi \qquad


Começaremos escrevendo a função hamiltoniana ou soma da energia cinética e a energia potencial e a seguir proporemos as equações de Hamilton para o sistema:

H(r,\theta,\varphi,\dot{r},\dot\theta,\dot\varphi) = \frac{1}{2m}\left( p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\varphi^2}{r^2\sin^2\theta} \right)+ V(r) \qquad (4)


As equações canónicas de Hamilton dão-nos:

\dot{p}_\varphi = -\frac{\partial H}{\partial \varphi} = 0\qquad \dot{p}_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = \qquad \dot{p}_r = -\frac{\partial H}{\partial r} = -\frac{dV(r)}{dr} -2\frac{1}{r^3}\left(p_\theta^2 + \frac{p_\varphi^2}{\sin^2 \theta} \right)


Da primeira equação de deduzimos que p_\varphi é uma constante do movimento já que seu valor não muda. Para poder integrar as outras ecauciones precisamos procurar alguma integral do movimento que nos simplifique o problema.

Integrales do movimento

Trivialmente uma constante do movimento vem dada pelo hamiltoniano, que em si mesmo é uma integral do movimento. Na secção anterior encontramos que outro de um dos momentos conjugados era outra constante do movimento. No entanto, nenhuma dessas duas constantes resulta-nos de grande ajuda para integrar as equações do movimento. No entanto, já que um campo potencial com simetría esférica é um campo central, sabemos no movimento de uma partícula não se sai do plano que contém a velocidade inicial e o vetor de posição e ademais o momento angular permanece constante, se pode ver que o momento angular pode se expressar em função dos momentos conjugados das variáveis angulares como:

L^2 = 2m\left( p_\theta^2 + \frac{p_\varphi^2}{\sin^2 \theta} \right) = 2m^2r^4 \left(\dot\theta^2+\dot\varphi^2 \right) \qquad (5)


Ademais pode-se ver que as derivadas desta função cumprem:

\frac{\partial H}{\partial p_\theta}={1 \over 2mr^2}\frac{\partial L^2}{\partial p_\theta} \qquad \frac{\partial H}{\partial \theta}={1 \over 2mr^2}\frac{\partial L^2}{\partial \theta}


Pode-se comprovar facilmente a partir estas duas últimas relações e das as equações de Hamilton que esta função é uma integral de movimento e que, por tanto, seu valor permanece constante, sem mais que derivar com respeito ao tempo:

\frac{dL^2}{dt} = \frac{\partial L^2}{\partial p_\theta}\dot{p}_\theta + \frac{\partial L^2}{\partial p_\varphi}\dot{p}_\varphi + \frac{\partial L^2}{\partial \theta}\dot\theta = 2mr^2 \left(\frac{\partial H}{\partial p_\theta}\dot{p}_\theta + 0 + \frac{\partial H}{\partial \theta}\dot\theta\right) = 2mr^2 \left(\dot\theta\dot{p}_\theta - \dot{p}_\theta\dot\theta\right) = 0


Trajectórias

Artigo principal: Campo central

Se introduzimos na equação do momento radial, momento conjugado da coordenada radial, o quadrado do momento angular, que como se viu permanece constante com o tempo se tem:

\dot{p}_r = -\frac{\partial H}{\partial r} = -\frac{dV(r)}{dr} -2\frac{L^2}{r^3} \Rightarrow m\ddot{r} + \frac{dV(r)}{dr} + 2\frac{L^2}{r^3} = 0 \qquad (6)


Comparação do caso cuántico e clássico

Pode-se ver que ao igual que sucedia com a versão cuántica do problema o momento angular é uma constante de movimento, tanto no caso clássico (5) como no cuántico (2b). Essa circunstância permite que o problema possa reduzir a um problema unidimensional facilmente resoluble; no caso clássico a equação que define o problema unidimensional é (6) enquanto o caso cuántico é (3).

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