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Partícula em uma caixa

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Função de onda para uma partícula encerrada uma caixa bidimensional, as linhas de nível sobre o plano inferior estão relacionadas com a probabilidade de presença.

Em física , a partícula em uma caixa (também conhecida como poço de potencial infinito) é um problema muito simples que consiste de uma sozinha partícula que rebota dentro de uma caixa imóvel da qual não pode escapar, e onde não perde energia ao colisionar contra suas paredes. Em mecânica clássica, a solução ao problema é trivial: a partícula move-se em uma linha recta a uma velocidade constante até que rebota em uma das paredes. Ao rebotar, a velocidade muda de sentido mudando de signo a componente paralela à direcção perpendicular à parede e mantendo-se a velocidade paralela à parede, no entanto, não há mudança no módulo da mesma velocidade.

Conteúdo

Descrição cuántica do problema

O problema volta-se muito interessante quando se tenta resolver dentro da mecânica cuántica, já que é necessário introduzir muitos dos conceitos importantes desta disciplina para encontrar uma solução. No entanto, ainda assim é um problema simples com uma solução definida. Este artigo concentra-se na solução dentro da mecânica cuántica.

O problema pode propor em qualquer número de dimensões, mas o mais simples é o problema unidimensional, enquanto o mais útil é o que se centra em uma caixa tridimensional. Em uma dimensão, representa-se por uma partícula que existe em um segmento de uma linha, sendo as paredes os pontos finais do segmento.

Em termos da física, a partícula em uma caixa define-se como uma partícula pontual, encerrada em uma caixa onde não experimenta nenhum tipo de força (isto é, sua energia potencial é constante, ainda que sem perdida de generalidad podemos considerar que vale zero). Nas paredes da caixa, o potencial aumenta até um valor infinito, fazendo-a impenetrável. Usando esta descrição em terminos de potenciais permite-nos usar a equação de Schrödinger para determinar uma solução.

Esquema do potencial para a caixa unidimensional.
Como se menciona mais acima, se estivéssemos a estudar o problema baixo as regras da mecânica clássica, deveríamos aplicar as leis do movimento de Newton às condições iniciais, e o resultado seria razoável e intuitivo. Em mecânica cuántica, quando se aplica a equação de Schrödinger, os resultados não são intuitivos. Em primeiro lugar, a partícula só pode ter certos níveis de energia específicos, e o nível zero não é um deles. Em segundo lugar, as probabilidades de detectar a partícula dentro da caixa na cada nível específico de energia não são uniformes - existem várias posições dentro da caixa onde a partícula pode ser encontrada, mas também há posições onde é impossível o fazer. Ambos resultados diferem da maneira usual na que percebemos ao mundo, inclusive se estão fundamentados por princípios extensivamente verificados através de experimentos.

Caixa monodimensional

A versão mais singela dá-se na situação idealizada de uma "caixa monodimensional", na que a partícula de massa m pode ocupar qualquer posição no intervalo [0,L]. Para encontrar os possíveis estados estacionários é necessário propor a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão para o problema. Considerando que o potencial é zero dentro da caixa e infinito fora, a equação de Schrödinger dentro da caixa é:

(1) -\cfrac{\hbar^2}{2m} \cfrac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d}x^2} = E \psi(x) \quad \mbox{con} \quad 0 < x < L

com as seguintes condições de contorno, consequência que a função de onda se anula fora da caixa

(1a ). \begin{cases} \psi(0)=0 \\ \psi(L)=0 \end{cases}

e onde

\hbar é a Constante reduzida de Planck,
m \, é a massa da partícula,
\psi\left(x\right)\, é a função de onda estacionária independente do tempo[1] que queremos obter (autofunciones) e
E\, é a energia da partícula (autovalor).

As autofunciones e autovalores de uma partícula de massa m em uma caixa monodimensional de longitude L são:

(1b) \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)}, \qquad E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} n^2 = \frac{h^2}{8 m L^2} n^2, \qquad \mbox{con}\ n=1, 2, 3, ...
Níveis de energia (linhas discontínuas) e funções de onda (linhas contínuas) da partícula em uma caixa monodimensional.
Note-se que só são possíveis os níveis de energia "cuantizados". Ademais, como n não pode ser zero (ver mais adiante), o menor valor da energia também não pode o ser. Esta energia mínima chama-se energia do ponto zero e justifica-se em termos do princípio de incerteza. Como a partícula encontra-se restringida a mover em uma região finita, a varianza da posição tem um limite superior (a longitude da caixa, L). Assim, de acordo com o princípio de incerteza, a varianza do momento da partícula não pode ser zero e, por tanto, a partícula deve ter uma verdadeira quantidade de energia que aumenta quando a longitude da caixa L diminui.

Dedução

A seguir ilustramos a dedução dos anteriores valores da energia e forma das funções de onda por seu valor didáctico. A equação de Schrödinger anterior é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, cuja solução geral é:

\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx),\qquad \mbox{donde}\ k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}

Onde, A e B são, em general, números complexos que deverão se escolher para cumprir as condições de contorno. Por outra parte o número k conhece-se como número de onda e é um número real, ao o ser E. Por outro, lado a solução particular do problema (1) se obtém impondo as condições de contorno apropriadas, o que permite obter os valores de A e B. Se consideramos a primeira das condições de contorno, \psi(0)=0, então B = 0 (como \sin (0)=0\; e \cos(0) = 1\,). Por tanto, a função de onda deve de ter a forma:

\psi(x) = A \sin(kx) \,

e x = L\; em obtém-se:

\psi(L) = A \sin(kL) = 0 \,

A solução trivial é A=0\;, que implica que \psi = 0 em qualquer lugar (isto é, a partícula não está na caixa). Se A \neq 0 então \sin(kL) = 0\, se e só se:

k = \frac{n \pi}{L} \quad \mbox{donde} \quad n\in \mathbb{Z}^+

O valor n = 0\, elimina-se porque, neste caso, \psi=0 em qualquer lugar, o que corresponde com o caso no que a partícula não está na caixa. Os valores negativos também se ignoram, como a função de onda esta definida salvo uma fase consequência de que a densidade de probabilidade, representada pelo quadrado da função de onda \psi^* \psi, é independente do valor de dita fase. Neste caso, os valores negativos de supõem n uma mera mudança de signo \sin(nx)\, de e, por tanto, não representam novos estados.

O seguinte passo é obter a constante A\, para o qual temos que normalizar a função de onda. Como sabemos que a partícula se encontra em algum lugar do espaço, e como |\psi(x)|^2\, representa a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto particular do espaço (densidade de probabilidade), a integral da densidade de probabilidade em todo o espaço x\, deve de ser igual a 1:

1 = \int_{-\infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \int_0^L \sin^2 \left(kx\right) \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \frac{L}{2} \qquad \Rightarrow \left| A \right| = \sqrt{\frac{2}{L}}

De aqui deduze-se que A é qualquer número complexo com valor absoluto \sqrt{(2/L)}; todos os valores diferentes de A proporcionam o mesmo estado físico, pelo que elegeremos por simplicidad o valor real A = \sqrt{(2/L)}.

Por último, substituindo estes resultados na solução geral obtemos o conjunto completo de autofunciones e energias para o problema da partícula em uma caixa monodimensional, resumido em (1b).

Caixa tridimensional ortoédrica

Nesta secção consideraremos que o volume encerrado pela caixa na que se move a partícula é um ortoedro de lados Lx, Le e Lz, a eleição dessa forma simplifica o problema concreto já que podemos usar facilmente as coordenadas cartesianas para resolver o problema. Os estados estacionários deste sistema físico consistente em uma partícula material atrapada em uma caixa são aqueles que satisfazem a equação de Schrödinger com as seguintes condições:

(2) \begin{cases} -\cfrac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi(x,y,z) = E\psi(x,y,z)\\ \\ \psi(0,y,z) = \psi(L_x,y,z) = 0 & \psi(x,0,z) = \psi(x,L_y,z) = 0 \\ \psi(x,y,0) = \psi(x,y,L_z) = 0 \end{cases}

A função de onda fora da caixa é zero expressando o facto de que a probabilidade de encontrar a partícula fora de uma caixa da que a partícula não pode escapar é zero. As soluções da equação (2) podem encontrar pelo método de separação de variáveis e são da forma:

\psi(x,y,z) = \sqrt{\frac{8}{L_xL_yL_z}} \sin\left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right) \sin\left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right) \sin\left(\frac{n_z\pi z}{L_z}\right)

Onde n_x, n_y, n_z\, são números inteiros, que chamaremos números cuánticos. Ao igual que no caso monodimensional, n_x, n_y, n_z > 0\,. Os valores possíveis da energia estão cuantizados e vêm dados por:

E_{n_x, n_y, n_z} = \frac{h^2}{8m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2}\right)

Um caso interessante produz-se quando a caixa tem simetría. Por exemplo, quando dois ou mais lados são iguais, existem várias funções de onda às que lhes corresponde o mesmo valor da energia (se diz que os níveis de energia estão degenerados). Por exemplo, se L_x=L_y, então as funções de onda com n_x=1, n_y=2\, e n_x=2, n_y=1\, estão degeneradas na energia. Neste caso diz-se que o nível de energia está duplamente degenerado.

Cavidade esférica

A forma funcional dos estados estacionários e os valores da energia mudam se muda-se a forma da caixa. Nesta secção consideraremos uma cavidade esférica de rádio R e resolveremos o mesmo problema empregando coordenadas esféricas que facilitam muitíssimo a resolução da equação de Schrödinger do problema:

(3) \begin{cases} -\cfrac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi(r,\theta,\varphi) = E\psi(r,\theta,\varphi) \\ \\ \psi(R,\theta,\varphi) = 0 \end{cases}

Usando as propriedades do operador laplaciano e a separação de variáveis para a coordenada radial e as coordenadas angulares, que as soluções da equação (3) podem se escrever como o produto de uma função da coordenada radial por um harmônico esférico do seguinte modo:

\psi(r,\theta,\varphi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)

Substituyendo esta forma funciona na equação (3) tem-se que pára que a função anterior seja solução deve se cumprir que a função radial satisfaça:

-\Delta R_{nl}(r) = -\left( \frac{d^2R_{nl}(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{dR_{nl}(r)}{dr} - \frac{l(l+1)}{r^2} R_{nl}(r) \right) = \frac{2mE}{\hbar^2}R_{nl}(r)

As soluções da equação anterior, vêm dadas pelas funções de Bessel e são:

R_{nl}(r) = N_{nl} \frac{J_{l+\frac{1}{2}}(\epsilon_{nl} r)}{\sqrt{r}} \qquad \epsilon_{nl} = \sqrt{\frac{2mE_{nl}}{\hbar^2}}

Onde Nnl é uma constante de normalização e os possíveis valores da energia Enl são tais que fazem que a função de onda se anule sobre as paredes da caixa ou cavidade esférica, isto é, quando r = R e podem se obter a partir de zeros da (l+1/2)-ésima função de Bessel:

J_{l+\frac{1}{2}}\left(R\sqrt{\frac{2mE_{nl}}{\hbar^2}}\right) = 0

As funções de onda e as energias para l =0 vêm dados por:

\psi_{n,0} = \sqrt{\frac{\pi}{2R}} \frac{\sin \left(\frac{n\pi r}{R}\right)}{r}, \qquad E_{n,0} = \frac{h^2}{8m}\frac{n^2}{R^2}

Para outros valores de l o resultado é mais complexo. Por exemplo para l =1 tem-se:

R_{n,1}(r) = \frac{\bar{N}_{n,1}}{r^2} \left( \epsilon_{n,1}r\cos(\epsilon_{n,1}r) - \sin(\epsilon_{n,1}r) \right) \qquad \epsilon_{n,1} =

Referências

  1. ↑ Para obter a função de onda dependente do tempo, veja-se estado estacionário, onde se mostra um exemplo para o estado fundamental da partícula em uma caixa monodimensional.
Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/t/Artes_Visuais_Cl%C3%A1sicas_b9bf.html"
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