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Partícula livre

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Em física , uma partícula livre é uma partícula que, em verdadeiro sentido, não está enlaçada. Em física clássica isto significa que a partícula não está submetida a nenhuma força externa.

Conteúdo

Partícula livre clássica

A partícula livre clássica caracteriza-se simplesmente porque sua velocidade é constante. O momento linear vem dado por

\mathbf{p}=m\mathbf{v}

e a energia por

E=\frac{1}{2}m\mathbf{v}^2 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}

onde m\, é a massa da partícula e \mathbf{v} o vetor velocidade da partícula.

Partícula livre cuántica não-relativista

A equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre é:

(1) - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r}, t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r}, t)

É fácil comprovar que para este sistema o operador Hamiltoniano comuta com o operador momento e, por tanto, existe um conjunto completo de soluções comuns. A solução correspondente a valores definidos da energia e do momento vem dada por uma onda plana:

\Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}

e, por tanto, com a restrição

(2) \hbar \omega = \frac{\hbar^2 \mathbf{k}^2}{2m}, \quad \mbox{es decir,} \quad E = \frac{\mathbf{p}^2}{2 m}

onde r é o vetor posição, t é o tempo, k é o vetor de onda, ω é a frequência angular e A a amplitude. Uma onda plana representa o estado de uma partícula livre com uma probabilidade uniforme em todo o espaço, como a densidade de probabilidade toma um valor constante e independente da posição r e do tempo t, |\Psi(\mathbf{r},t)|^2 = \Psi^* \, \Psi = |A|^2 . Como a integral de sobretudo \Psi^* \, \Psi o espaço deve de ser a unidade, há um problema à hora de normalizar esta autofunción do momento (uma alternativa é considerar a normalização em função do fluxo). No entanto, não será um problema para uma partícula livre mais geral, já que de alguma maneira encontrar-se-á localizada tanto em sua posição como em seu momento (se veja partícula em uma caixa para uma discussão mais detalhada).


Pacote de onda

Arquivo:Particula-livre.gif
Representação de um pacote de ondas unidimensional: A parte real, parte imaginaria e a densidade de probabilidade de um pacote de ondas deslocando para a direita.

Uma partícula livre mais geral não tem um momento ou uma energia definida. Neste caso, a função de onda da partícula livre representa-se como uma sobreposição de ondas planas (que descrevem o estado de uma partícula livre por enquanto definido), denominada pacote de ondas:

\left.\right. \Psi(\mathbf{r}, t) = \int A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega(k) t)} d\mathbf{k}

onde a integral se define sobretudo o espaço k, e onde \omega depende de segundo k a equação (2). Note-se que esta função, ao invés que as ondas planas, é de quadrado integrable e, por tanto, se pode normalizar.[1]

A velocidade de grupo da onda define-se como

\left.\right. v_g= \frac{d\omega}{dk} = \frac{dE}{dp} = v

onde v é a velocidade clássica da partícula. A velocidade de fase da onda define-se como

\left.\right. v_f=\frac{\omega}{k} = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2}

Se supomos por simplicidad que a variação da amplitude A(\mathbf{k}) é simétrica respecto de seu valor máximo \mathbf{k}_0, obtemos que o valor esperado do momento p é

\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \Psi |-i\hbar\nabla|\Psi\rangle = \hbar\mathbf{k}_0

enquanto o valor esperado da energia E é

\langle E\rangle=\langle \Psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle = \hbar\omega(k_0)

Despejando \mathbf{k}_0 e ω e substituindo na equação que as relaciona, obtemos a relação já conhecida entre energia e momento para partículas não-relativistas com massa m

\langle E \rangle =\frac{\langle p \rangle^2}{2m}

onde p=|p|.

Densidade de corrente em mecânica cuántica

Em mecânica cuántica, a corrente de probabilidade é um conceito que descreve o fluxo de densidade de probabilidade. Assim, em mecânica cuántica não-relativista, se define como

\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \boldsymbol\nabla \Psi - \Psi \boldsymbol\nabla \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\boldsymbol\nabla\Psi)= \mbox{Re}(\Psi^* \frac{\hbar}{im} \boldsymbol\nabla \Psi)

Para o caso de uma partícula livre \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} , a corrente de probabilidade vem dada por

\mathbf{j} = |A|^2 \frac{\hbar \mathbf{k}}{m}

Partícula livre relativista

Há várias equações que descrevem as partículas relativistas. Para uma descrição das soluções para uma partícula livre ver os artigos:

Referências

  1. ↑ Efectivamente, a função de onda representa a transformada de Fourier da amplitude. Assim, normalmente se define como
    \left.\right. \Psi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega(k) t)} d\mathbf{k}

    que, de acordo com a relação de Parseval é uma função de quadrado integrable sempre que o seja a amplitude A(\mathbf{k}).

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Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/c/ou/m/Comunicações_de_Andorra_46cf.html"
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