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Pentágono

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Para a sede do Departamento de Defesa dos Estados Unidos, veja-se O Pentágono.

Em geometria, denomina-se pentágono (do grego πεντάγωνον, de πεντά, "cinco" e γωνον, "ângulos") a um polígono de cinco lados e cinco vértices.

Conteúdo

Pentágonos regulares

Un pentágono regular.

Um pentágono regular é aquele que tem todos seus lados iguais e seus ângulos internos congruentes. A cada ângulo interno mede 108 graus ou 3\pi/5 radianos. Assim, por exemplo (se veja a figura), o ângulo BCD mede 108°. A soma dos ângulos internos de um pentágono regular é de 540° ou 3\pi radianos.

Como os segmentos DE, EA, e AB são iguais, os arcos que eles determinam na circunferencia circunscrita são iguais. Isto implica que os três ângulos DCE, ECA e ACB são iguais. Como a soma deles é 108°, a cada um deles mede 36°.

A cada ângulo externo do pentágono regular mede 72º ou 2\pi/5 rad.

Área

A área de um pentágono regular de lado a pode-se obter da seguinte fórmula:

A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1.72048 a^2

De forma geral se temos que a rádio da circunferencia circunscrita é rou

A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}

ou também:

A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ}

Perímetro

Sempre que suponhamos que o pentágono tem lado a :.

a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ

ou também:

a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}

Para obter o perímetro P de um pentágono regular, multiplique-se a longitude t de um de seus lados por cinco (o número de lados n do polígono).

P = n\cdot t = 5\ t

Fórmula para calcular os ângulos interiores

A soma de todos os ângulos interiores de um pentágono é 540°.

A fórmula geral para calcular a soma dos ângulos interiores de qualquer polígono regular (no caso do pentágono n = 5) é:

 \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ

O ângulo compreendido entre dois lados de um pentágono regular pode-se calcular mediante a seguinte fórmula (no pentágono, n = 5):

 \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ

Construção de um pentágono regular

Pentagon construction.svg

Podemos construir com regra e compás um pentágono regular, inscrito em uma circunferencia (veja-se a figura) da seguinte maneira:

Traçamos duas rectas perpendiculares pelo centro Ou da circunferencia (PD e OQ na figura). Determinamos o ponto médio M do segmento OQ e traçamos a recta PM. Com centro em M, traçamos a circunferencia de rádio MO. Denotemos com R e S as interseções desta circunferencia com a recta PM. As circunferencias de centro em P e rádios PR e PS determinam os vértices do pentágono regular.

Unindo os vértices do pentágono, obtém-se um pentagrama (estrela de 5 pontas) inscrito nele. No centro, ficará outro pentágono regular, com o que o processo de inscrever pentagramas nos sucessivos pentágonos que se vão gerando, matematicamente, não tem fim.

Ao inscrever em um pentágono regular um pentagrama, pode-se observar a razão áurea entre as longitudes dos segmentos resultantes.para sacar o area de um poligono se nesesita A=B X A

Propriedades geométricas do pentágono regular

Relação com o número áureo

Vejamos que a razão entre um segmento que uma duas de seus vértices não consecutivos e um dos lados do pentágono é a razão aúrea ou número áureo, por exemplo que

CE = (\frac{1 + \sqrt5}2)CD

Por simetría, os segmentos CE e CA são iguais. Observamos que os triângulos ANF e CMF são semelhantes. Da semelhança de seus lados temos que

\frac{MC}{AN} = \frac{FC}{AF}

Observemos que MC é a metade de CE e que AN é a metade de AB. Por outra parte, como o triângulo FCD é isósceles, temos que FC = CD. Assim podemos escrever AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto

\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CE-CD}= \frac{1}{CE/CD - 1}

Substituindo CE/CD por temos. \phi

\phi = \frac{1}{\phi-1}\qquad\,(1)

em outras palavras \phi-1=1/\phi. Esta equação descreve a razão dourada. \phi é o único número positivo que quando lhe restamos a unidade, obtemos seu inverso.

Da discussão anterior desprende-se: Se em um triângulo isósceles, o ângulo oposto à base vale 108°, a razão da base do triângulo e um dos outros lados é a razão dourada.

Algumas considerações sobre triângulos

Pentagon discussion.svg

Consideremos um pentágono (regular) e a circunferencia circunscrita a dito pentágono. Tracemos a perpendicular pelo centro da circunferencia ao lado DÁ do pentágono e seja M a interseção desta perpendicular com a circunferencia O ângulo AOB mede 360°/5=72° e o ângulo AOM é sua metade, isto é 36°. O ângulo MOB, soma destes dois vale 108° e como o triângulo AOB é isósceles temos que

  1. A razão entre o segmento MB e a rádio OM da circunferencia é a razão dourada
  2. \ang BMO = (180^\circ - 108^\circ)/2 = 72^\circ/2 = 36^\circ

Assim, seja P a interseção das rectas OA e MB. O triângulo PMO é isósceles, e a razão entre a rádio OM e o segmento PM é a razão dourada. Finalmente, o triângulo OBP também é isósceles, com o que PB = OB ( =OM). Temos

\frac{PM}{OM} = \frac{1}{\phi} = \frac{MB-PB}{OM} = \phi - 1

O anterior pode-se interpretar como uma demonstração geométrica da ecuacíon (1).

Algumas aplicações trigonométricas

\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}
\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}
\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}
\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}
\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}
\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4}
\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ =  \sqrt{5 - 2\sqrt 5}
\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}

Veja-se também

Enlaces externos

Wikcionario

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