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Plasticidade (mecânica de sólidos)

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A plasticidade é a propriedade mecânica de um material, biológico ou de outro tipo, de deformar-se permanentemente e irreversiblemente quando se encontra submetido a tensões acima de sua faixa elástica, isto é, acima de seu limite elástico.

Nos metais, a plasticidade explica-se em termos de deslocações irreversibles de dislocaciones .

Conteúdo

Introdução

Exemplo típico de curva tensão-deformação para um esforço uniaxial de tracção, em um metal dúctil com comportamento elasto-plástico: o comportamento é elástico linear para pequenas deformações (trecho recto de cor azul) e apresenta plasticidade a partir de verdadeiro limite.

Nos materiais elásticos, em particular em muitos metais dúctiles, um esforço de tracção pequeno leva aparejado um comportamento elástico. Isso significa que pequenos incrementos na tensão de tracção comporta pequenos incrementos na deformação, se o ónus se volta zero de novo o corpo recupera exactamente sua forma original, isto é, se tem uma deformação completamente reversible. No entanto, comprovou-se experimentalmente que existe um limite, chamado limite elástico, tal que se certa função homogénea das tensões supera dito limite então ao desaparecer o ónus ficam deformações remanentes e o corpo não volta exactamente a sua forma. Isto é, aparecem deformações não-reversibles.

Este tipo de comportamento elasto-plástico descrito mais acima é o que se encontra na maioria de metais conhecidos, e também em muitos outros materiais. O comportamento perfeitamente plástico é algo menos frequente, e implica o aparecimento de deformações irreversibles por pequena que seja a tensão, a arcilla de modelar e a plastilina se aproximam muito a um comportamento perfeitamente plástico. Outros materiais ademais apresentam plasticidade com endurecimento e precisam esforços progressivamente maiores para aumentar sua deformação plástica total. E inclusive os comportamentos anteriores puden ir acompanhados de efeitos viscosos, que fazem que as tensões sejam maiores em casos de velocidades de deformação altas, dito comportamento se conhece com o nome de visco-plasticidade .

A plasticidade dos materiais está relacionada com mudanças irreversibles nesses materiais. A diferença do comportamento elástico que é termodinámicamente reversible, um corpo que se deforma plasticamente experimenta mudanças de entropía, como deslocações das dislocaciones. No comportamento plástico parte da energia mecânica dissipa-se internamente, em lugar de transformar-se em energia potencial elástica.

Microscópicamente, na escala da rede cristalina dos metais, a plasticidade é uma consequência da existência de certas imperfecciones na rede chamadas dislocaciones. Em 1934 , Egon Orowan, Michael Polanyi e Geoffrey Ingram Taylor, mais ou menos simultaneamente chegaram à conclusão de que a deformação plástica de materiais dúctiles podia ser explicada em termos da teoria de dislocaciones. Para descrever a plasticidade usualmente usa-se um conjunto de equações diferenciais não lineares e não integrables que descrevem as mudanças nas componentes da tensor deformação e a tensor tensão com respeito ao estado de deformação-tensão prévio e o incremento de deformação na cada instante.

História da disciplina

A base da moderna teoria da plasticidade foi assentada no século XIX com os trabalhos de Tresca, Saint-Venant, Lévy e Bauschinger. A princípios do século XX fizeram-se alguns avanços no entendimento do fenómeno por parte de Prandtl , Von Mises e A. Reuss. Nesta primeira fase introduziu-se o conceito de deformação irreversible, critérios de falha, endurecimento e plasticidade perfeita, além da forma incremental das equações constitutivas da deformação plástica.

Justo após a Segunda Guerra Mundial apareceram os trabalhos de Prager, Drucker e Hill conseguiu-se uma maior clareza da formulación e estabeleceu-se a convexidad das superfícies de fluencia. Pouco depois, a partir de 1960 , produziram-se certos avanços matemáticos na teoria de equações em derivadas parciais e as desigualdades variacionais que resultariam ser particularmente proveitosos para a teoria da plasticidade. Esses avanços provaram que o marco natural para resolver os problemas de valor inicial em sólidos elastoplásticos eram as desigualdades variacionais. A confluencia de certos avanços no terreno da mecânica de sólidos e as matemáticas deram lugar a novos desenvolvimentos teóricos, dos quais são um exemplo os artigos de Moreau, as monografías de Duvaut e J.L. Lions e Temam.

Modelos de plasticidade

Em general um modelo de plasticidade requer definir vários elementos:

Descomposição da deformação

A descrição de um material plástico requer tanto de variáveis que descrevam a deformação total, como variáveis internas \xi_k que descrevam as mudanças irreversibles que têm lugar no interior do material. Estas variáveis intervêm ademais nas relações de disipación do material. As considerações termodinámicas levam a que a energia livre de Gibbs g [por unidade de volume] esteja relacionada com a energia livre de Helmholtz f, as tensões e as deformações mediane a relação:

g(\sigma_{ij},\xi_k) = \left( \sum_{i,j} \sigma_{ij}\varepsilon_{ij} \right)
- f(\sigma_{ij},\xi_k), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{\part g}{\part \sigma_{ij}}

Onde:

\sigma_{ij}\, são as componentes do tensor de tensões,
\varepsilon_{ij}\, são as componentes da tensor deformação e
\xi_k\, são um conjunto de variáveis internas relacionadas com as mudanças irreversibles no material

A relação anterior implica:

(*) \dot{\varepsilon_{ij}} = \frac{\part \varepsilon_{ij}}{\part \sigma_{mn}} \dot{\sigma}_{mn} +
\frac{\part \varepsilon_{ij}}{\part \xi_k} \dot{\xi}_k =
\mathbf{A}:\boldsymbol{\dot\sigma} + \mathbf{B}\cdot \boldsymbol{\dot\xi}

Experimentalmente conhece-se que o tensor de complianza \mathbf{A} não parece se ver afectado pelos processos irreversibles de deformação plástica, o que a sua vez implicará:

 0 = \frac{\part}{\part \xi_k} \frac{\part \varepsilon_{ij}}{\part \sigma_{mn}} =
\frac{\part}{\part \sigma_{mn}} \frac{\part \varepsilon_{ij}}{\part \xi_k} =
\frac{\part \mathbf{B}}{\part \boldsymbol\sigma}

E nesse caso existe uma descomposição aditiva da deformação, em deformação elástica e deformação plástica, porque baixo o anterior suposto a (*) pode ser integrada na forma:

 \varepsilon_{ij} = \varepsilon^e_{ij}(\boldsymbol\sigma) +
\varepsilon^p_{ij}(\boldsymbol\xi)

Por outra parte a lei de fluxo está limitada por uma desigualdade associada à disipación plástica da energia. Esta desigualdade deriva-se da segunda lei da termodinámica na forma de Clausius-Duhem:

\dot{f} + s\dot{T} -\boldsymbol\sigma:\dot{\boldsymbol\varepsilon}
+ \frac{\mathbf{q}}{T}\cdot \boldsymbol\nabla T \le 0

Onde:

f, s\, são a energia livre de Helmholtz e a entropía por unidade de volume.
T, \mathbf{q} são a temperatura e o fluxo de calor através da superificie.

Equações constitutivas de plasticidade

A lei de Hooke usada para materiais elásticos reversibles e lineares é uma equação constitutiva em que as tensões se descrevem como o produto de componentes tensoriales do tensor de constantes elásticas pelas componentes da tensor deformação. Em dita lei as tensões são combinações lineares das deformações, e não existe potência disipación de energia e por tanto irreversibilidad. Por essas razões não podem descrever a plasticidade. Aliás a descrição matemática da plasticidade deve incluir tanto a irreversibilidad ou disipación de energia como a não-linealidad das expressões que relacionam tensões e deformações. De facto, existem um bom número de modelos matemáticos de plasticidade com estas características. Em todos os modelos de plasticidade a relação entre tensões e deformações são do tipo:

(1) \sigma_{ij} = C_{ijkl}(\varepsilon_{kl}-\varepsilon_{kl}^p)

Onde na equação anterior e nas seguintes se usa o convênio de sumación de Einstein sobre índices repetidos, e onde ademais:

C_{ijkl}\,, são as componentes do tensor de constantes elásticas do material.
\varepsilon_{ij}\,, são as componentes da tensor deformação.
\varepsilon_{ij}^p\,, são as componentes da deformação plástica.
\dot\varepsilon_{ij}\,, representam a velocidade de deformação.

A diferença básica entre os diversos modelos de plasticidade é a superfície de fluencia e por tanto a maneira em que se computan as deformações plásticas, além das possíveis variações na componente viscoplástica. Aliás um modelo de plasticidade além da equação (1) precisa especificar mais duas relações:

(2) \phi(\sigma_{ij},\varepsilon_{ij}^p) = \sigma_y - f_2(\sigma_{ij},\varepsilon_{ij}^p)
(3)  \dot\varepsilon_{ij}^p =
\begin{cases}
f_{ij}(\sigma_{ij})(\dot{f}_2-\dot\sigma_y) & \phi = 0 \\ 0 & \phi < 0\ 
\end{cases}, \qquad f_{ij} = \frac{\part g_p}{\part \sigma_{ij}}

Modelo de plasticidade J2

Este é um modelo elasto-plástico isótropo sem vicosidad nem endurecimento e é um dos modelos elasto-plásticos mais singelos. A tensão na cada instante vem dada por uma tensão puramente elástica independente da velocidade de deformação:

(1a ). \sigma_{ij} = C_{ijkl}(\varepsilon_{kl}-\varepsilon_{kl}^p)\,

Onde a superfície de fluencia e a zona plástica vêm dadas pelo segundo invariante ou invariante quadrático do tensor desviador.

(2a ). \phi(\sigma_{ij}) = J_2 - \frac{\sigma_y}{3} \ge 0, \qquad J_2 = \frac{\bar{\sigma}_{ij}\bar{\sigma}_{ij}}{2},
\qquad  \bar{\sigma}_{ij} = \left( \sigma_{ij} - \frac{1}{3}\sigma_{kk}\delta_{ij}\right)

As equações básicas adicionais da evolução temporária do limite de fluencia e a deformação elástica são:

(2b) \dot\sigma_y = E_p\dot\varepsilon^p, \qquad \dot{\epsilon}_p = \begin{cases}
\cfrac{\dot{\bar\sigma}-\dot\sigma_y}{3G+E_p} & \bar\sigma \ge \sigma_y\\
0 & \bar\sigma < \sigma_y \end{cases}

Onde:

\sigma_y\,, é a tensão de fluencia.
E_p\,, é o módulo de elasticidade longitudinal no domínio plástico.
{\bar\sigma} = \sqrt{3J_2}

Sendo as condições iniciais existentes dantes do aparecimento de plastificación são:

\sigma_y(0)=\sigma_0, \qquad \varepsilon^p(0) = 0

Modelo elastoplástico hidrodidámico

Este modelo atribui um comportamento elástico ao material por embaixo de limite de fluencia e atribui aumentos da deformação plástica acima dele. A velocidade de deformação não joga nenhum papel dentro dele. As relações entre tensão e deformação são da forma:

(1b) \sigma_{ij} = C_{ijkl}(\varepsilon_{kl}-\varepsilon_{kl}^p), \qquad \mbox{o} \quad
\dot\sigma_{ij} = C_{ijkl}(\dot\varepsilon_{kl}-\dot\varepsilon_{kl}^p)+\sigma_{ik}\omega_{kj} + \sigma_{jk}\omega_{ki}

Onde a superfície de fluencia e a zona onde se produzem deformações plástica é a mesma que no modelo de plasticidade J2, o qual significará que existirá aumento da deformação plástica desde que:

(2c) \phi(\sigma_{ij}) = \frac{\bar{\sigma}_{ij}\bar{\sigma}_{ij}}{2} - \frac{\sigma_y}{3} > 0,
\qquad  \bar{\sigma}_{ij} = \left( \sigma_{ij} - \frac{1}{3}\sigma_{kk}\delta_{ij}\right)
(2d) \hat{\sigma}_{ij} = \bar{\sigma}_{ij} + \bar\sigma_{ik}\omega_{kj} + \bar\sigma_{jk}\omega_{ki}, \qquad
\hat{\sigma} = \frac{3}{2}\hat{\sigma}_{ij}\hat{\sigma}_{ij}

As equações adicionais da evolução temporária do limite de fluencia e a deformação plástica são:

(2e) \begin{cases}
\dot\varepsilon_{ij}^p = \cfrac{1}{2G}\left(-\cfrac{\dot\sigma_y\hat\sigma}{\sigma_y^2} +\cfrac{\dot\hat\sigma}{\sigma_y}\right)\bar\sigma_{ij} \\
\dot{\varepsilon}^p = \left(\frac{2}{3} \varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij}\right)^\frac{1}{2} & \varepsilon^p(0) =0 \\
\dot\sigma_y = E_p\dot\varepsilon_p & \sigma_y(0) =0 \end{cases}

Onde o instante inicial se tomou dantes de que aparecesse plastificación.

Modelo visco-elastoplástico de Krieg-Key

Este modelo é um modelo elasto-plástico com endurecimento cinemático, uma vez passado o ponto de fluencia do material. A relação entre tensões e deformações vem dada por uma contribuição elástica mais uma contribuição plástica. No caso isotrópico a superfície de fluencia toma-se como o lugar geométrico:[1]

(2f) \phi = \frac{\sigma_y^2}{3} -\frac{\bar{\sigma}_{ij} - \alpha_{ij}}{2} = 0, \qquad 
\sigma_y = \left[ 1+ \left( \frac{\dot{\varepsilon}_{ij}\dot{\varepsilon}_{ij}}{C^2} \right)^\frac{1}{2p} \right]
(\sigma_0 + \beta E_p \varepsilon_{eff}^p)

Onde:

\sigma_y\, recebe o nome de tensão de fluencia.
\sigma_0\,, é um parámetro que define a superfície de fluencia, quando as tensões caem fora da superfície de fluencia se acumula mais deformação plástica.
\bar{\sigma}_{ij} = \sigma_{ij} -(\sigma_{kk}/3)\delta_{ij}\,, são as componentes da parte desviadora da tensor tensão.
\alpha_{ij}\, é a velocidade de deformação co-rotacional que pode se obter a partir da derivada temporária da tensor deformação mediante:
\dot{\alpha}_{ij} = \frac{2}{3}(1-\beta)E_p\dot{\varepsilon}_{ij}^p + \alpha_{ik}\omega_{kj} + \alpha_{jk}\omega_{ki}, \qquad \varepsilon_{eff}^p = \int_0^t \left( \frac{2}{3}\dot{\varepsilon}_{ij}^p \dot{\varepsilon}_{ij}^p\right)^\frac{1}{2}\ dt, \qquad 
\omega_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part u_i}{\part x_j}-\frac{\part u_j}{\part x_i}\right)

A versão isótropa deste modelo contém 7 constantes do material: dois constantes elásticas E, \nu\,, duas parámetros de de plasticidade E_p, \sigma_0\,, duas parámetros de viscoelásticos C, p\, e o parámetro de endurecimento \beta\,.

Plasticidade nos metais

Cálculo plástico

O cálculo plástico refere-se ao cálculo de esforços, tensões e deformações em engenharia estrutural de elementos que têm um comportamento plástico. A diferença dos mecanismos que devem operar de maneira reversible as estruturas estáticas podem ser projectadas para trabalhar acima do domínio elástico, se conseguindo com isso um aprovechamiento mais completo de sua capacidade resistente. Isto se deve a que uma vez rebasado o domínio elástico de reversibilidad, alguns materiais de construção seguem tendo capacidade para resistir esforços maiores, por endurecimento cinemático, ainda a costa de sofrer transformações internas irreversibles.

Em estrutura metálica o cálculo plástico consiste basicamente em identificar os pontos de aparecimento de rótulas plásticas ou regiões de plastificación que uma vez completamente plastificadas se convertem em articulações. O aparecimento de articulações reduzem o grau de hiperestaticidad ampliando o número de graus de liberdade. Quando aparecem o suficiente número de rótulas plásticas a estrutura se converte em um mecanismo. O cálculo plástico inclui a identificação dos modos de colapso por formação de rótulas plásticas, e o ónus necessário para a plastificación de todas as rótulas. O ónus último plástica é o valor a partir do qual a estrutura fica convertida em mecanismo por plastificación da última rótula.

Também no cálculo de estruturas de hormigón armado se admite que as barras de aço submetidas a tracção adquiram deformações plásticas, já que o aço tem um comportamento plástico com endurecimento, e ao rebasar seu limite elástico se endure podendo suportar maiores tensões que dantes de adquirir deformações plásticas. Este endurecimento ou aumento da capacidade resistente do aço em tracção permite economizar, e construir estruturas com uma menor quantidade de aço.

Plasticidade dos solos

No caso de alguns terrenos húmidos, a plasticidade é a propriedade que lhes permite ser moldados lhes aplicando forças externas, e manter as formas adquiridas, ainda que a humidade e as forças externas desapareçam. Segundo Atterberg[2] podem-se definir dois limites de plasticidade,[3] o máximo e o mínimo. Com percentagem de humidade acima do limite máximo de plasticidade, a massa terrosa adquire fluidez e perde sua capacidade de manter a forma, e se o terreno tem uma percentagem de humidade por embaixo do limite mínimo de plasticidade, a massa terrosa volta-se quebradiza, e não se pode moldar.[4] É evidente que não todos os solos têm a mesma plasticidade; as areias e os limos têm uma plasticidade baixa ou muito baixa, enquanto solos com alto conteúdo de arcillas têm uma plasticidade maior. Em linha geral pode afirmar-se que terrenos com um conteúdo de arcilla inferior ao 15% não são plásticos[5]

Para a cada um dos limites de plasticidade, o máximo e o mínimo, corresponde, em função do terreno, uma percentagem de humidade, a diferença entre as duas percentagens de humidade limites de lume número ou índice de plasticidade. Tanto os limites de plasticidade como também o correspondente número de plasticidade ou índice de plasticidade variam, obviamente de terreno a terreno, em função principalmente da textura e mais precisamente do conteúdo de coloides inorgánicos.

Outro factor importante que influência a plasticidade é o tipo de cationes disponíveis.[6] Geralmente o ión K+ diminui os dois limites de plasticidade e o índice de plasticidade, enquanto o ión Na+ diminui os limites de plasticidade, mas aumenta o índice de plasticidade; os cationes Mg++ e Ca++ aumentam a plasticidade, mas os terrenos saturados com eles requerem uma quantidade elevada de água para atingir o estado de plasticidade, ao invés dos saturados com cationes de K+. O efeito de hidratación e de dispersión do Na+ determinam uma plasticidade dos solos saturados com este catión maior da que atingem os terrenos saturados com cationes bivalentes.

Geralmente, a influência dos diversos cationes sobre a plasticidade varia com a qualidade e a natureza da arcilla.

A matéria orgânica contida no solo também tem um efeito importante na plasticidade dos solos.[7] Em general os estratos superiores do solo têm uma plasticidade maior que os estratos mais profundos. Isto pode se atribuir à maior presença de material orgânico nas capas superiores do terreno.

Referências

  1. Krieg, R.D. and Key, S.W., Implementation of a time dependent plasticity theory into structural computer programs. In: Stricklin, J.A., Saczalski, K.J. (Eds.), Constitutive Equations in Viscoplasticity: Computational and Engineering Aspects, AMD-20, ASEM, New York. pp. 125-137.
  2. Ver também: Limites de Atterberg
  3. T.William Lambe, Mecânica de Solos. Impresso em México,1997. ISBN 968-18-1894-6
  4. Constantino Constantinidis. Bonifica ed irrigazione. Edagricole, Bologna, 1970
  5. C. Constantinidis. 1970. pag.186-187.
  6. Baver, L.D. - 1928. The Relation of Exchangeable Cations to the Phisical Properties of Soils. J.Am.Soc.Agron., 20: 921-941.
  7. Baver, L.D. - 1930. The effect of Organic Matter Upon Several Physical Properties of Soils. J.Am.Soc.Agron., 22: 703-708.

Veja-se também

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"