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Postulados de Euclides

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Os postulados de Euclides, faz referência ao tratado denominado Os Elementos, escrito por Euclides para o ano 300 a. C., expondo os conhecimentos geométricos da Grécia clássica deduzindo-os a partir de cinco postulados, considerados os mais evidentes e singelos; estes são:[1]

Representação geométrica dos postulados de Euclides.
  1. Por dois pontos diferentes só se pode traçar uma linha recta.
  2. Todo o segmento rectilíneo pode-se prolongar indefinidamente.
  3. Com um centro e uma rádio dado só se pode traçar uma circunferencia.
  4. Todos os ângulos rectos são iguais.
  5. Se uma recta curta a outras duas formando a um lado ângulos internos, e a soma destes é menor que dois rectos, as duas rectas prolongadas indefinidamente encontrar-se-ão desse lado.

O primeiro postulado emprega-o Euclides, não só no sentido de que por dois pontos passa uma recta, senão de que esta é única, porque tal unicidad era o nono de seus axiomas. É verosímil que este axioma esteja intercalado, e alguns consideram que deve se colocar entre os postulados, complementando ao primeiro. O quarto postulado, que pudesse parecer algo escuro a uma mentalidade moderna, é utilizado por Euclides no sentido de que qualquer ângulo recto pode se sobrepor sobre qualquer outro.

Terminología actual

Em termos actuais, estes postulados poderiam entender-se assim: o primeiro e o terceiro, ao afirmar a possibilidade de traçar rectas e círculos, apontam directamente à estrutura subjacente. Hoje em dia, a estrutura mais natural que faz possíveis os conceitos de distância e curva com direcção constante é a de geometria riemanniana.

O quarto postulado afirma que o grupo das isometrías da superfície actua transitivamente nos pontos e os vetores de módulo 1; isto é, dado um vetor e de módulo 1 em um ponto p e outro vetor v de módulo 1 em outro ponto q, existe alguma isometría da superfície que transforma p em q e e em v. É possível demonstrar que as únicas superfícies riemannianas que satisfazem tal condição são o plano euclídeo, o plano hiperbólico, o plano proyectivo e a esfera.

Se exigimos que por dois pontos passe uma única linha recta, excluímos a geometria esférica, porque por dois pontos diametralmente opostos (o pólo norte e o pólo sul) passam infinitos meridianos (que são as linhas na esfera).

Se, com o segundo postulado, impomos que as rectas tenham longitude infinita, eliminamos o plano proyectivo, porque todas suas rectas têm longitude finita (mais ainda, são compactas porque o plano proyectivo o é). Só o plano euclídeo e o plano hiperbólico satisfazem os quatro primeiros postulados. Agora o quinto postulado deixa como única possibilidade o plano euclídeo, que é precisamente a estrutura desentrañada pela geometria grega de euclides

Vemos assim claramente que, quando a princípios do século XIX Gauss, Lobachevsky e János Bolyai consideraram a possibilidade de uma geometria sem o quinto postulado, descobriram necessariamente a Geometria hiperbólica. Esta foi a primeira geometria não euclídea em aparecer historicamente e Gauss considerou seriamente a possibilidade de que fosse a geometria do espaço em que vivemos, propondo assim a questão da estrutura geométrica do Universo, que conduziria à Teoria da relatividad geral de Einstein . Gauss inclusive chegou a pressentir que a geometria hiperbólica era preferível, porque nela há unidades de longitude naturais.

Referências

Enlaces externos

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