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Precesión

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Para a descrição de um dos movimentos do planeta Terra, se veja Precesión dos equinoccios.
Movimento de precesión de um trompo ou peonza.

A precesión ou movimento de precesión, é o movimento associado com a mudança de direcção no espaço que experimenta o eixo instantâneo de rotação de um corpo.

Um exemplo de precesión temo-lo no movimento que realiza uma peonza ou trompo em rotação. Quando seu eixo de rotação não é vertical, a peonza possui um movimento de «cabeceo» similar ao de precesión.

Mais exactamente uma precesión pura é aquele movimento do eixo de rotação que mantém seu segundo ângulo de Euler (nutación) constante. Este movimento também se dá no eixo da terra durante o movimento de nutación .

Há dois tipos de precesión: a precesión devida aos momentos externos, e a precesión sem momentos de forças externos.

Conteúdo

Precesión sem momentos externos

Este movimento ocorre quando um corpo está em movimento ao redor de um eixo que não é nem o de máximo momento de inércia nem o de menor momento de inércia. A precesión pode estar acompanhada de outros movimentos próprios dos corpos em rotação como a nutación Há um tipo especial de curvas sobre a superfície do objecto, telefonemas polodia[1] [2] e herpolodia, as quais descrevem o movimento do mesmo.

Precesión devida a momentos externos

Precesión um sólido de revolução

Chama-se peonza simétrica em movimento livre a um sólido rígido de revolução, com dois de seus momentos de inércia principais iguais I_1 = I_2 \ne I_3. Como em uma peonza simétrica se podem escolher arbitrariamente os eixos 1 e 2, convém aproveitar esse facto para simplificar as expressões tomando o eixo 1 paralelo à linha nodal dos ângulos de Euler o qual equivale a que ψ = 0.

Ângulos usados para descrever a orientação da peonza.

O qual leva a que as velocidades angulares no sistema de referência não inercial vingam dadas por:

\boldsymbol{\omega} = \begin{Bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \dot\theta \\ \dot\phi \sin\theta \\ \dot\phi \cos\theta + \dot\psi \end{Bmatrix}

A energia cinética de rotação uma peonza simétrica pode expressar em termos dos ângulos de Euler singelamente:

E_c = \frac{1}{2}\left(I_1 \omega_1^2 + I_1 \omega_2^2 + I_3 \omega_3^2\right)= \frac{I_1}{2}\left(\dot\phi^2 \sin^2\theta + \dot\theta^2\right) + \frac{I_3}{2}\left(\dot\phi \cos\theta + \dot\psi\right)^2

Por outro lado se toma-se o eixo Z do sistema de referência alinhado com o momento angular do sólido rígido tem-se que as componentes do momento angular e a relação com a velocidade angular são:

\mathbf {L}=\begin{Bmatrix} 0 \\ L\sin \theta \\ L\cos \theta \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_1 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} I_1\dot\theta \\ I_1\dot\phi \sin\theta \\ I_3\dot\phi \cos\theta + \dot\psi \end{Bmatrix}

Escrevendo componente a componente estas equações tem-se que:

\dot\theta = 0 \qquad I_1\dot\phi = L \qquad I_3\omega_3 = I_3(\dot\phi \cos\theta + \dot\psi) = L \cos \theta

A primeira equação diz-nos que no movimento livre de uma peonza simétrica esta não cabecea; isto é, não há movimento de nutación já que o ângulo formado por eixo de rotação e o momento angular se mantém constante no movimento. A segunda descreve o movimento de precesión de acordo com o qual o eixo de rotação (que coincide com a direcção da velocidade angular) gira ao redor da direcção do momento angular (eixo Z). A terceira equação dá a velocidade de rotação do sólido ao redor de seu terceiro eixo de inércia.

Giroscopio

Todos os vetores do desenho estão em um plano horizontal. Como o momento dinâmico \scriptstyle{\mathbf M} aplicado ao corpo é perpendicular ao momento angular \scriptstyle{\mathbf L} , unicamente este último muda de direcção. Essa mudança é a precesión.

Recordemos que o momento angular é um vetor que tem como módulo, o produto do momento de inércia do corpo ao redor do eixo de rotação, multiplicado pela velocidade angular. A direcção do vetor é a mesma que a do vetor associado à velocidade angular e está dada pela regra do sacacorchos. A equação de base do momento angular de um corpo é:

{d\mathbf L\over dt}= \mathbf \mathbf M

onde \scriptstyle{\mathbf L} é o momento angular do corpo e \scriptstyle{\mathbf M\,} é o momento dinâmico aplicado ao corpo. Esta equação corresponde, no movimento linear, à equação \scriptstyle{\mathbf F={d\mathbf p\over dt}} onde \scriptstyle{\mathbf F} é a força aplicada a um corpo e \scriptstyle{\mathbf p=m\mathbf v} é o momento linear do corpo.

Quando o momento dinâmico é paralelo ao momento angular, ou seja, paralelo ao eixo de rotação, o único efeito do momento dinâmico é de acelerar ou frear a velocidade de rotação do objecto. Em mudança, uma componente do momento, perpendicular ao eixo de rotação, não muda o módulo da velocidade angular senão sua direcção, isto é a direcção do eixo de rotação do corpo.

Consideremos o corpo em rotação da imagem de direita. Quando se lhe aplica um momento dinâmico como o indicado pelas forças desenhadas, a direcção da variação do momento angular é a indicada no desenho. Esta variação é perpendicular ao momento angular e paralela ao momento. A variação de durante \scriptstyle{\mathbf L} um intervalo de tempo \scriptstyle{\Delta t} é:

\Delta \mathbf L = \mathbf M \Delta t

Note-se que \Delta \mathbf L \, tem a mesma direcção que \scriptstyle{\mathbf M} . Se o intervalo de tempo é pequeno, o ângulo \scriptstyle{\Delta \phi} que o novo momento angular \scriptstyle{\mathbf L+ \Delta \mathbf L} faz com o precedente \scriptstyle{\mathbf L} é:

\Delta \phi={\ M \Delta t \over L}

A velocidade de precesión do giroscopio é a velocidade angular do vetor \scriptstyle{\mathbf L} que é a mesma que a do eixo de rotação deste último:

Velocidade de precesión =\Omega={\Delta \phi \over \Delta t}= {M \over L}

A velocidade de precesión é uma velocidade angular e mede-se em radianos/segundo.

A velocidade de precesión é tanto mais pequena quanto maior é o momento angular do corpo.

Trompo ou peonza

Artigo principal: Trompo
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Figura 1.

Se o eixo de rotação do trompo, z, forma um verdadeiro ângulo \,\phi com a vertical, como ocorre geralmente, dito eixo se move no espaço gerando uma superfície cônica de revolução em torno do eixo vertical fixo Z. Este movimento do eixo de rotação recebe o nome de precesión da peonza e o eixo Z é o eixo de precesión. Geralmente, o ângulo \,\phi varia periodicamente durante o movimento de precesión da peonza, de modo que o eixo de rotação oscila acercando-se e afastando do eixo de precesión (dizemos que o trompo cabecea); a este movimento chama-se-lhe nutación e ao ângulo \,\phi chama-se-lhe ângulo de nutación. No estudo elementar que segue não teremos em conta este último movimento; i.e., consideraremos um ângulo de nutación constante.

Utilizaremos dois referenciales para descrever o movimento do trompo. Um deles é o referencial fixo XYZ, com origem no ponto Ou (estacionário) do eixo de rotação do trompo. O outro referencial é o referencial móvel xyz, cuja origem é também o ponto Ou (estacionário). Faremos coincidir o eixo z com o eixo de rotação do trompo; o eixo x elegemo-lo de maneira que permaneça sempre horizontal, contido no plano XY. O ângulo \,\psi que forma na cada instante o eixo x com o eixo X recebe o nome de [[ângulo de precesión]]. Em consequência, o eixo e estará sempre contido no plano definido pelos eixos z e Z, como se mostra na Figura 1, formando um ângulo \,\phi com o plano XY. Observe-se que o referencial xyz não é solidario com o trompo, i.e., não é arrastado pela rotação deste, senão que apresenta uma rotação com respeito ao referencial fixo XYZ com uma verdadeira velocidade angular \,\Omega chamada velocidade angular de precesión.

Como ao aplicar a equação do movimento de rotação do sólido rígido, M = dL/dt, tanto o momento externo (M) como o momento angular (L) devem estar referidos a um mesmo ponto fixo em um referencial inercial (ou ao CM do corpo), tomaremos o ponto Ou como origem ou centro de redução.

Figura 2.

Já que o trompo está a girar, com uma velocidade angular intrínseca ω, ao redor do eixo principal de inércia z, seu momento angular será paralelo à velocidade angular (ou seja, será paralelo ao eixo z), e vem dado por

(1) L=I_{zz}\omega\,

Por outra parte, o momento externo que actua sobre o trompo se deve ao peso mg que actua no centro de gravidade G e tanto faz ao produto vectorial

(2) \mathbf M = \mbox{OG}\times m\mathbf g\,

de modo que o momento externo M resulta ser perpendicular ao eixo de rotação, ou seja que \mathbf M \mathbf \bot \mathbf L. O módulo do momento aplicado é

(3) M=mgh\sin\phi\,

sendo h=OG a distância entre o ponto estacionário do trompo (o extremo de seu púa) e o centro de gravidade do mesmo. A direcção de M é a do eixo x.

Como o momento externo aplicado ao trompo não é nulo, o momento angular não permanecerá constante. Durante um intervalo de tempo infinitesimal dt a mudança infinitesimal experimentado pelo momento angular vale

(4) d\mathbf L=\mathbf M dt

de modo que a mudança dL no momento angular tem sempre a mesma direcção que o momento aplicado M (do mesmo modo que a mudança na quantidade de movimento tem sempre a mesma direcção que a força). Como o momento M é perpendicular ao momento angular L, a mudança dL no momento angular também é perpendicular a L . Portanto, o vetor momento angular muda de direcção, mas seu módulo permanece constante (Figura 2). Naturalmente, já que o momento angular tem sempre a direcção do eixo de rotação este mudará também sua orientação no espaço em decorrência do tempo.

O extremo do momento angular L descreve uma circunferencia, de rádio \,L\sin\phi, ao redor do eixo fixo Z e em um tempo dt dito rádio experimenta uma deslocação angular dψ. A velocidade angular de precesión Ω define-se como a velocidade angular com a que gira o eixo z em torno do eixo fixo Z. Isto é

(5) \Omega=\frac{d\psi}{dt}

e está representado por um vetor situado sobre eixo Z.

Já que L é um vetor de módulo constante que precesa ao redor do eixo Z com uma velocidade angular Ω, podemos escrever a ec. dif. do movimento de rotação na forma

(6) \mathbf M=\frac{d\mathbf L}{dt}=\boldsymbol\Omega\times\boldsymbol\omega

obtendo para o módulo do momento

(7) M=\Omega L \sin\phi\,

expressão da que despejaremos Ω para ter

(8) \Omega=\frac{M}{L\sin\phi}=\frac{mgh}{L}=\frac{mgh}{I_{zz}\omega}

onde temos substituído as expressões (1) e (2) para o momento angular e o momento, respectivamente. A velocidade angular de precesión, Ω, resulta ser inversamente proporcional ao momento angular (L) ou à velocidade angular intrínseca (ω), de maneira que se este ou esta é grande, aquela será pequena.

Observe-se que a velocidade angular de precesión não depende do ângulo de inclinação do trompo. Esta propriedade é muito importante no fundamento da ressonância magnética nuclear e de suas aplicações.


Mas, por que não cai o trompo? A resposta é que a força vertical exercida sobre ele pelo solo (no extremo Ou da púa) é exactamente igual ao peso do trompo, de modo que a força resultante vertical é nula. A componente vertical da quantidade de movimento permanecerá constante mas, como o momento não é nulo, o momento angular muda com o tempo. Se o trompo não estivesse em rotação, ao o abandonar não teria momento angular e ao cabo de um intervalo de tempo infinitesimal, dt, o momento angular dL adquirido, em virtude do par de forças que actua sobre ele, teria a mesma direcção que o vetor M; isto é, que cairia. Mas se o trompo encontra-se inicialmente em rotação, a variação do momento angular, dL, produzida pelo par, soma-se vectorialmente ao momento angular que já tem, e já que dL é horizontal e perpendicular a L , o resultado é o movimento de precesión anteriormente descrito.

Arquivo:Precession-nutation-xyz-É.svg
Figura 3.

Os resultados obtidos em nossa discussão do movimento do trompo são somente aproximados. São correctos se ω é muito grande em comparação com Ω (situação compatível com a ec. [7]). A razão é que se o trompo está precesando em torno do eixo fixo vertical Z terá um momento angular com respeito a dito eixo, de modo que o momento angular total não será simplesmente Izzω, como supusemos. No entanto, se a precesión é muito lenta, o momento angular correspondente a essa precesión pode desprezar-se, como implicitamente temos feito em nossos cálculos anteriores.

Por outra parte, uma discussão mais detalhada mostrar-nos-ia que em general o ângulo de nutación \,\phi não permanece constante, senão que oscila entre dois valores fixos, de modo que o extremo do vetor L, ao mesmo tempo que precesa ao redor de Z , oscila entre dois círculos, como se mostra na Figura 3, descrevendo a trajectória indicada.

Para compreender o porqué destas oscilações deveremos considerar o modo em que se origina o movimento de precesión. Se inicialmente mantemos fixa a orientação do eixo de rotação z (apoiando seu extremo superior) o peso do trompo estará compensado pela reacção normal N no ponto Ou mais a reacção normal no apoio do extremo superior do eixo, de maneira que resultará ser N < mg. Se uma vez que o trompo tem adquirido um rápido movimento de rotação, abandonamos o eixo, então, ainda um instante depois será N < mg, de maneira que temos uma força resultante vertical e dirigida para abaixo. O trompo começa a cair, mas nesse instante começa a precesión. Como consequência do movimento de queda, a púa do trompo se apoia no solo com mais força, de maneira que aumenta a força de reacção vertical N, que finalmente chegará a ser maior que o peso. Quando isto sucede, o centro de massa do trompo começa a acelerar para acima. O processo repete-se, e o movimento compõe-se de uma precesión acompanhada de uma oscilação do eixo de rotação para abaixo e para acima, que recebe o nome de nutación. A nutación, ao igual que a precesión, contribui ao momento angular total, mas em general sua contribuição é ainda menor que a da precesión.

Veja-se também

Referências

  1. ↑ A representação gráfica das posições do pólo com respeito à Terra.
  2. ↑ Polhode story

Bibliografía

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/t/Encydia-Wikilingue%7EArt%C3%ADculos_solicitados_2358.html"
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