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Princípio de Bernoulli

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Para o teorema matemático enunciado por Jakob Bernoulli, veja-se Teorema de Bernoulli.
Esquema do Princípio de Bernoulli.

O princípio de Bernoulli, também denominado equação de Bernoulli ou Trinomio de Bernoulli, descreve o comportamento de um fluído se movendo ao longo de uma linha de corrente. Foi exposto por Daniel Bernoulli em sua obra Hidrodinâmica (1738) e expressa que em um fluído ideal (sem viscosidade nem rozamiento) em regime de circulação por um conduto fechado, a energia que possui o fluído permanece constante ao longo de seu percurso. A energia de um fluído em qualquer momento consta de três componentes:

  1. Cinética: é a energia devida à velocidade que possua o fluído.
  2. Potencial gravitacional: é a energia devido à altitude que um fluído possua.
  3. Energia de fluxo: é a energia que um fluído contém devido à pressão que possui.

A seguinte equação conhecida como "Equação de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta destes mesmos termos.


\frac{V^2 \rho}{2}+{P}+{\rho g z}=constante

onde:

Para aplicar a equação devem-se realizar os seguintes supostos:

Ainda que o nome da equação deve-se a Bernoulli , a forma acima exposta foi apresentada em primeiro lugar por Leonhard Euler.

Um exemplo de aplicação do princípio encontramo-lo no fluxo de água em encanamento.

Conteúdo

Características e consequências

A cada um dos termos desta equação têm unidades de longitude, e ao mesmo tempo representam formas diferentes de energia; em hidráulica é comum expressar a energia em termos de longitude, e fala-se de altura ou cabeça, esta última tradução do inglês head. Assim na equação de Bernoulli os termos costumam se chamar alturas ou cabeças de velocidade, de pressão e cabeça hidráulica, do inglês hydraulic head; o termo z costuma-se agrupar com P/\gamma para dar lugar à chamada altura piezométrica ou também carrega piezométrica.

Não se pôde entender (A conversão a PNG tem sido errónea): \overbrace{{V^2 \over 2 g}}^{\mbox{cabeça de velocidade}}+\overbrace{\underbrace{\frac{P}{\gama}}_{\mbox{cabeça de pressão}} + z}^{\mbox{altura ou ónus piezométrica}} = \overbrace{H}^{\mbox{Cabeça ou Altura hidráulica}}


Também podemos reescribir este princípio em forma de soma de pressões multiplicando toda a equação por , \gammadesta forma o termo relativo à velocidade chamar-se-á pressão dinâmica, os termos de pressão e altura se agrupam na pressão estática.

Esquema do efeito Venturi.
Não se pôde entender (A conversão a PNG tem sido errónea): \underbrace{\frac{\rho V^2}{2}}_{\mbox{pressão dinâmica}}+\overbrace{P+ \gama z}^{\mbox{pressão estática}}=constante


ou escrita de outra maneira mais singela:

q+p=p_0

onde

Igualmente podemos escrever a mesma equação como a soma da energia cinética, a energia de fluxo e a energia potencial gravitatoria por unidade de massa:

Não se pôde entender (A conversão a PNG tem sido errónea): \overbrace{\frac{{V}^2}{2}}^{\mbox{energia cinética}}+\underbrace{\frac{P}{\rho}}_{\mbox{energia de fluxo}}+\overbrace{g z}^{\mbox{energia potencial}} = constante


Assim o princípio de bernoulli pode ser visto como outra forma da lei da conservação da energia, isto é, em uma linha de corrente a cada tipo de energia pode subir ou diminuir em virtude da diminuição ou o aumento das outras duas.

Esta equação permite explicar fenómenos como o efeito Venturi, já que a aceleração de qualquer fluído em um caminho equipotencial (com igual energia potencial) implicaria uma diminuição da pressão. Este efeito explica porqué as coisas ligeiras muitas vezes tendem a sair de um automóvel em movimento quando se abrem as janelas. A pressão do ar é menor fosse como está em movimento com respeito àquele que se encontra dentro, onde a pressão é necessariamente maior. De forma, aparentemente, contradictoria o ar entra ao veículo mas isto ocorre por fenómenos de turbulência e capa limite.

Equação de Bernoulli e a Primeira Lei da Termodinámica

Da primeira lei da termodinámica pode-se concluir uma equação esteticamente parecida à equação de Bernouilli anteriormente assinalada, mas conceitualmente diferente. A diferença fundamental jaz nos limites de funcionamento e na formulación da cada fórmula. A equação de Bernoulli é um balanço de forças sobre uma partícula de fluído que se move através de uma linha de corrente, enquanto a primeira lei da termodinámica consiste em um balanço de energia entre os limites de um volume de controle dado, pelo qual é mais geral já que permite expressar os intercâmbios energéticos ao longo de uma corrente de fluído, como o são as perdas por atrito que restam energia, e as bombas ou ventiladores que somam energia ao fluído. A forma geral desta, a chamemos, "forma energética da equação de Bernoulli" é:


\frac{{V_1}^2}{2 g}+\frac{P_1}{\gamma}+z_1\frac{g}{g_c}+ W = h_f + \frac{{V_2}^2}{2 g}+\frac{P_2}{\gamma}+z_2\frac{g}{g_c}

onde:

Suposições

A equação acima escrita é um derivado da primeira lei da termodinámica para fluxos de fluído com as seguintes características .

Demonstração

Escrevamos a primeira lei da termodinámica com um critério de signos termodinámico conveniente:


w + q = \Delta h + \Delta \frac{V^2}{2} + g \Delta z

Recordando a definição da entalpía h=u + Pv, onde u é a energia interna e v se conhece como volume específico v=1/\rho. Podemos escrever:


w + q = \Delta u + \Delta \frac{P}{\rho} + \Delta \frac{V^2}{2} + g \Delta z

que pelas suposições declaradas mais acima se pode reescribir como:


w + q = \frac{P_2}{\rho} - \frac{P_1}{\rho} + \frac{{V_2}^2}{2} - \frac{{V_1}^2}{2} + g (z_2 - z_1)

dividamos tudo entre o termo da aceleração de gravidade


\frac{w}{g} + \frac{q}{g} = \frac{P_2}{\gamma} - \frac{P_1}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2 g} - \frac{{V_1}^2}{2 g} + z_2 - z_1

Os termos do lado esquerdo da igualdade são relativos aos fluxos de energia através do volume de controle considerado, isto é, são as entradas e saídas de energia do fluído de trabalho em formas de trabalho (w) e calor (q). O termo relativo ao trabalho w/g consideraremos que entra ao sistema, chamá-lo-emos h e tem unidades de longitude, ao igual que q/g, que chamaremos h_f quem sai do sistema, já que consideraremos que só se troca calor por via do atrito entre o fluído de trabalho e as paredes do conduto que o contém. Assim a equação nos fica:


h -h_f= \frac{P_2}{\gamma} - \frac{P_1}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2 g} - \frac{{V_1}^2}{2 g} + z_2 - z_1

ou como a escrevemos originalmente:


\frac{{V_1}^2}{2 g}+\frac{P_1}{\gamma}+z_1 + h = h_f + \frac{{V_2}^2}{2 g}+\frac{P_2}{\gamma}+z_2

Assim, podemos observar que o princípio de bernoulli é uma consequência directa da primeira lei da termodinámica, ou se se quer, outra forma desta lei. Na primeira equação apresentada neste artigo o volume de controle tinha-se reduzido a tão só uma linha de corrente sobre a qual não tinham intercâmbios de energia com o resto do sistema, de aqui a suposição de que o fluído deveria ser ideal, isto é, sem viscosidade nem atrito interno, já que não existe um termo h_f entre as diferentes linhas de corrente.

Aplicações do Princípio de Bernoulli

Airsoft
As réplicas usadas neste jogo costumam incluir um sistema chamado HopUp que provoca que a bola seja projectada realizando um efeito circular, o que aumenta o alcance efectivo da réplica. Este efeito é conhecido como efeito Magnus, a rotação da bola provoca que a velocidade do fluxo acima dela seja maior que por embaixo, e com isso o aparecimento de uma diferença de pressões que cria a força sustentadora, que faz que a bola tarde mais tempo em cair.

Lareira
As lareiras são altas para aproveitar que a velocidade do vento é mais constante e elevada a maiores alturas. Quanto mais rapidamente sopra o vento sobre a boca de uma lareira, mais baixa é a pressão e maior é a diferença de pressão entre a base e a boca da lareira, em consequência, os gases de combustão extraem-se melhor.

Encanamento
A equação de Bernoulli e a equação de continuidade também nos dizem que se reduzimos a área transversal de um encanamento para que aumente a velocidade do fluído que passa por ela, reduzir-se-á a pressão.

Natación
A aplicação dentro deste desporto vê-se refletido directamente quando as mãos do nadador cortam a água gerando uma menor pressão e maior propulsão.

Sustentação de aviões
O efeito Bernoulli é também em parte a origem da sustentação dos aviões. Graças à forma e orientação dos perfis aerodinámicos, a asa é curva em sua cara superior e está angulada com respeito às linhas de corrente incidentes. Por isso, as linhas de corrente acima da asa estão mas juntas que abaixo, pelo que a velocidade do ar é maior e a pressão é menor acima da asa; ao ser maior a pressão abaixo da asa, gera-se uma força neta para acima chamada sustentação.

Movimento de uma pelota ou bola com efeito
Se lançamos uma pelota ou uma bola com efeito, isto é rotacionando sobre si mesmo, se desvia para um lado. Também pelo conhecido efeito Magnus, típico é a bola picada, quando o jogador mete o empeine por embaixo da bola lhe causando um efeito rotatório de forma que este traça uma trajectória parabólica. É o que conhecemos como vaselina.

Carburador de automóvel
Em um carburador de automóvel, a pressão do ar que passa através do corpo do carburador, diminui quando passa por um estrangulamiento. Ao diminuir a pressão, a gasolina flui, se vaporiza e mistura-se com a corrente de ar.

Fluxo de fluído desde um tanque
A taxa de fluxo está dada pela equação de Bernoulli.

Dispositivos de Venturi
Em oxigenoterapia, a maior parte de sistemas de fornecimento de débito alto utilizam dispositivos de tipo Venturi, o qual este baseado no princípio de Bernoulli.

Veja-se também

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/c/ou/m/Comunicações_de_Andorra_46cf.html"