Princípio de Fermat

princípio de fermat - Wikilingue - Encydia

Dos três raios luminosos que saem do ponto morado só os que façam o caminho óptico um extremal (máximo ou mínimo) serão trajectórias reais da luz.

O princípio de Fermat em óptica é um princípio de tipo extremal e que estabelece:

O trajecto seguido pela luz ao propagar de um ponto a outro é tal que o tempo empregado no percorrer é um mínimo.

O princípio foi enunciado desta forma no século XVII pelo matemático francês Pierre de Fermat. Este enunciado não é completo e não cobre todos os casos, pelo que existe uma forma moderna do princípio de Fermat. Esta diz que:

O trajecto seguido pela luz ao propagar de um ponto a outro é tal que o tempo empregado no percorrer é estacionário com respeito a possíveis variações da trajectória.

Isto quer dizer que, se se expressa o trajecto percorrido pela luz entre dois pontos $O_1$ e $O_2$ por médio de uma funcional chamada caminho óptico definida como $\mathcal{L}_{O_1 O_2}[n(\vec{r})]$ a trajectória real da luz seguirá um caminho extremal respecto desta funcional:

$\delta\mathcal{L}_{O_1 O_2}[n(\vec{r})]=\delta\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})ds}= 0.$

A característica importante, como diz o enunciado, é que os trajectos próximos ao verdadeiro requerem tempos aproximadamente iguais. Nesta forma, o princípio de Fermat recorda ao princípio de Hamilton ou às equações de Euler-Lagrange.

Vejamos agora alguns exemplos da aplicação do princípio para deduzir as leis da óptica geométrica.

Conteúdo

1 Equação da trajectória de um raio luminoso
2 Teorema de Malus-Dupin
3 Lei da Reflexão
4 Lei da Refração

Equação da trajectória de um raio luminoso

A equação da trajectória um raio luminoso real de um sistema óptico é:

$\vec\nabla n(\vec{r})-\frac{d}{ds}\left [ n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right ] =0$

e deduze-se a partir do princípio de Fermat.

Dedução da equação

Aplicando o princípio de Fermat, toda a variação sobre uma trajectória de um raio luminosos real deve ser nula. Por tanto;

$\delta\mathcal{L}_{O_1 O_2}[n(\vec{r})]=\delta\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})ds}=\int_{O_1}^{O_2}{\delta (n(\vec{r}))ds}+\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})\delta (ds)}=$

= $\int_{O_1}^{O_2}{\vec\nabla n(\vec{r})\cdot\delta\vec r ds}+\int_{O_1}^{O_2}{n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\cdot\frac{d(\delta\vec r)}{ds}ds}=\int_{O_1}^{O_2}{\vec\nabla n(\vec{r})\cdot\delta\vec r ds}+\left [n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\cdot\delta\vec r\right ]_{O_1}^{O_2}-\int_{O_1}^{O_2}{\frac{d}{ds}\left [n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right ]\cdot\delta\vec r ds}=0.$

Quando a variação sobre os extremos não existe fica que:

$\int_{O_1}^{O_2}{\left [ \vec\nabla n(\vec{r}) -\frac{d}{ds}\left (n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right )\right ]\cdot\delta\vec r ds}=0 \qquad \forall \delta\vec r$

por tanto o integrando deve anular-se e fica a equação da trajectória.

A interpretação da equação é importante. A trajectória permanece no plano no que varia o índice de refração $n(\vec r)$ . Isso pode se observar escrevendo a equação em termo dos vetores unitários $\hat u_t$ e $\hat u_n$ :

$\vec\nabla n(\vec{r})=\frac{d}{ds}\left [ n(\vec{r})\frac{d\vec r}{ds}\right ] =\frac{dn(\vec{r})}{ds}\frac{d\vec r}{ds}+n(\vec{r})\frac{d^2\vec r}{ds^2}=\frac{dn(\vec{r})}{ds}\hat u_t+\frac{n (\vec r)}{\rho (\vec r)}\hat u_n$

sendo $\rho$ a rádio da circunferencia osculatriz no ponto $\vec r$ à trajectória.

Teorema de Malus-Dupin

Artigo principal: teorema de Malus-Dupin

Lei da Reflexão

Artigo principal: lei de Snell

Se supomos que um raio de luz sai do ponto A em direcção à superfície plana, que supomos reflectora, e viaja até o ponto B Qual será a trajectória seguida pela luz? Neste caso a luz viaja durante todo o caminho pelo mesmo médio, com o mesmo índice de refração e, por tanto, à mesma velocidade. Assim, o tempo necessário para percorrer o caminho entre A e B (passando pela superfície P) será a distância APB dividida pela velocidade da luz no médio. Como a velocidade é uma constante, a trajectória real, segundo o princípio de Fermat, será a mais curta.

É fácil ver que a distância APB é a mesma que a distância A'PB, onde A' é a imagem de A. A' está sobre a recta perpendicular ao espelho que passa por A, à mesma distância do espelho que A e ao outro lado do mesmo. A distância mínima A'PB é, obviamente, a linha recta A'P2B, com o que a trajectória real é AP2B. A análise completa da situação mostra que P2 é tal que os ângulos de incidencia e de reflexão no ponto são iguais, do que se deduze a fórmula da lei da reflexão: $\theta_{i} = \theta_{t}$

Lei da Refração

Artigo principal: lei de Snell

Arquivo:Snell by fermat.jpg

O raio de luz propaga-se da a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcisas.

Com o princípio de Fermat pode-se deduzir a lei de Snell, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro médio de propagación com o seio do ângulo de incidencia é equivalente ao produto do índice de propagación do segundo médio com o seio do ângulo refractado.

$n_1\ \sin{\alpha_1} = n_2\ \sin{\alpha_2}$

Proponhamos o fenomeno analiticamente, sobre um plano cartesiano.

Seja um médio de propagación com índice de refração $n_1\$ e um segundo médio de propagación com índice de refração $n_2\$ tais que situamos a superfície que separa os dois meios de maneira que coincida com o eixo das abcisas.

Sejam $A = (x_A ,\; y_A )$ e $B = (x_B ,\; y_B )$ dois pontos fixos situados do plano, de maneira que A está situado no primeiro médio, e B no segundo médio.

Seja um raio de luz que se propaga da a B atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto $P = (x,\; 0 )$ .

O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio em percorrer $\overline{AP}$ e $\overline{PB}$ .

Sejam $v_1$ e $v_2$ a velocidade de propagación da luz no primeiro i segundo médio respectivamente.

$t_1 = \frac{\overline{AP}}{v_1} = \frac{\sqrt{(x_A\ - x)^2\ + {y_A}^2}}{v_1}$ ; $t_2 = \frac{\overline{PB}}{v_2} = \frac{\sqrt{(x - x_B)^2\ + {y_B}^2}}{v_2}$