Princípio de covariancia

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O princípio de covariancia ou princípio geral de relatividad estabelece que as leis da física devem tomar a mesma forma em todos os marcos de referência. Isto é uma extensão do princípio de relatividad especial. O princípio de covariancia é uma das motivações principais que levaram a Einstein a generalizar a teoria da relatividad especial.

Introdução

As equações da mecânica newtoniana presuponían que o espaço e o tempo eram magnitudes absolutas, de carácter universal. No entanto, este esquema era incompatível com a relatividad especial, cujo axioma principal afirmava que a cada observador, dependendo de sua velocidade, tinha um tempo local e um marco espacial diferente.

Daí que a equação gravitatoria de Poisson tivesse que ser reformulada, já que a densidade de massa é um conceito que depende de duas magnitudes fundamentais: A primeira delas é a massa, que é uma magnitude cuja medida depende do sistema de coordenadas que escolhamos e que tem de ser substituída pela única magnitude conservada e invariante ante as transformações de Lorentz, o tetramomentum. A segunda destas magnitudes é o espaço, que experimenta uma contracção sensível naqueles marcos que se movam a grandes velocidades. Por este motivo, a densidade de massa não é um parámetro invariante, senão que sua medida dá resultados diferentes conforme se modifica a velocidade do observador.

O problema propõe-se assim mesmo no marco das equações de Maxwell, que também contêm gradientes e derivadas temporárias, e portanto não são transformables.

Faz-se necessário por tanto, reformular as principais equações da mecânica clássica e a teoria electromagnética para que sejam válidas para todos os sistemas de referência. Para isso ditas leis têm de se expressar tensorialmente: Seus "ingredientes" têm de vir constituídos por elementos que permaneçam invariantes ante as transformações de Lorentz, como as constantes ou os escalares, ou que sejam transformables de acordo a elas (é o caso dos tensores).

**Reformulación das leis físicas de acordo com o princípio de covariancia geral**
Lei física	Formulación newtoniana (não covariante)	Formulación relativista (covariante)
Segunda lei de Newton	$\ F = ma$	$f^\alpha = m \left(\frac{du^\alpha}{d\tau} + \Gamma^\alpha_{\beta\mu}u^\beta u^\mu \right)$
Equação de Poisson (caso gravitatorio)	$\nabla^2 \Phi_g = -4 \pi G \rho_m$	$R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}R = kT^{\alpha\beta}$
Equação de Poisson (caso electromagnético)	$\nabla^2 \Phi_e = \frac{ \rho_e}{\epsilon_0}$ $\nabla^2 \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{j}$	$\partial_\mu \partial^\mu A^\alpha=\mu _0 J^\alpha$
Força de Lorentz	$\ F = q(E + v \times B)$	$f^\alpha = qF^{\alpha}_{\beta}u^\beta$

Formulación

O princípio de covarianza geral afirma que as leis ou equações fundamentais da física devem ter a mesma forma para qualquer observador seja qual seja o estado de movimento deste. A objetividad do mundo material requer que as medidas feitas por diversos observadores sejam relacionables mediante leis de transformação fixas:

Matematicamente o princípio de covariancia implica que as leis da física devem ser leis tensoriales no que as magnitudes medidas por diferentes observadores sejam relacionables de acordo à transformação de coordenadas da cada observador.
Fisicamente o princípio de covariancia depende de que pára diversos sistemas de referência coordenados não exista procedimento físico para distinguir entre eles. Influído pelo princípio de equivalencia e outras observações, Einstein e outros chegaram a teorizar que era possível construir uma teoria onde todas as equações pudessem ser escritas em uma forma suficientemente geral como para ter a mesma forma em qualquer sistema de coordenadas.

Exemplo de aplicação

Um exemplo dos requerimientos do princípio de covarianza é o equivalente relativista da segunda lei de Newton que se escreve para qualquer sistema de coordenadas xⁱ, em termos do tempo próprio (τ), os símbolos de Christoffel (Γ) do sistema de coordenadas e as componentes da cuadrifuerza (F) como:

$m \left(\frac{d^2x^i}{d\tau^2} + \Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{d\tau}\frac{dx^k}{d\tau} \right) = F^i$

Assim a distinção aparente entre sistemas inerciales e não inerciales da mecânica newtoniana era ilusoria e desaparece em relatividad geral, já que estes não são mais que sistemas nos que os símbolos de Christoffel que aparecem na expressão anterior se anulam, e por tanto, os sistemas inerciales são só um caso particular de sistema de referência, mas não um tipo privilegiado ou de nenhum modo destacado de sistema de referência, uma vez as leis se formulam na forma covariante adequada.