Princípio de mínima acção

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Na imagem aparecem um ónus positivo fixa (em vermelho) e um elétron livre (em azul). De todas as trajectórias possíveis, qual escolherá o elétron? O princípio de acção mínima determina que a trajectória 1 será a eleita.

O princípio de mínima ou menor acção ou princípio de Hamilton é um orçamento básico da mecânica clássica e a mecânica relativista para descrever a evolução ao longo do tempo do estado de movimento de uma partícula como de um campo físico. Também em mecânica cuántica Feynman e Kac tentaram formulaciones inspiradas no princípio.^[1]

Conteúdo

1 História
2 Formulación
3 Princípio de mínima acção e leis de Newton
- 3.1 Princípio de d'Alembert e segunda lei de Newton
- 3.2 Primeira lei de Newton e partícula livre
4 Princípio de mínima acção e mecânica cuántica
5 Referência
6 Veja-se também
7 Enlaces externos

História

A primeira formulación do princípio deve-se a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1744), que disse que a "natureza é económica em todas suas acções" (D'Alembert tinha formulado em um ano dantes o princípio de d'Alembert que generalizava as leis de Newton). Entre os que desenvolveram a ideia se incluem Euler e Leibniz. Deve ser dito que, desde o ponto de vista do cálculo de variações, falar de princípio de acção estacionária é mais exacto. Anteriormente, Pierre de Fermat tinha introduzido a ideia de que os raios da luz, em situações ópticas tais como a refração e a reflexão, seguiam um princípio de menor tempo (ver princípio de Fermat).

O princípio de menor acção conduziu ao desenvolvimento das formulaciones lagrangiana e hamiltoniana da mecânica clássica. Ainda que sejam ao princípio mais difíceis de captar, têm a vantagem que sua cosmovisión é mais transferible aos marcos da Teoria da Relatividad e a mecânica cuántica que a das leis de Newton. Isto tem feito pensar a alguma gente que este princípio é um princípio "profundo" da física.

Formulación

A integral de acção para partículas

A formulación do princípio para um sistema lagrangiano é fixado um sistema de coordenadas generalizadas sobre o espaço de configuração (ou uma parte do mesmo, chamada carta local), de todas as trajectórias possíveis que decorrem entre o instante t₁ e t₂, o sistema escolherá aquela que minimize a acção S. A magnitude acção vem dada para a cada trajectória pela integral:

$S\left[q_i,\dot{q}_i\right] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q_i(t), \dot{q}_i(t),t) dt$

Onde:

$q_i(t) \,$ são as coordenadas paramétricas de uma trajectória possível.

$L(q_i,\dot{q}_i,t) \,$ é a função lagrangiana do sistema.

Equações de Euler-Lagrange para partículas

Pode provar-se mediante princípios variacionais, que de todas as trajectórias possíveis, a que faz mínima (ou, mais bem, estacionária) a anterior expressão é a que corresponde para todo i a seguinte equação:

$0 = \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q_i(t), \dot{q}_i(t),t) dt$

Isto é, a variação da integral temporária da função lagrangiana tanto faz a zero. Desta equação deduzem-se assim mesmo as equações de Euler-Lagrange:

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i} \right ) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

A integral de acção para campos

A formulación anterior é adequada para partículas pontuas, ou inclusive sistemas mecânicos com um número finito de graus de liberdade ainda que não sejam pontuas como um sólido rígido. No entanto para campos físicos que têm uma variação espacial ou para a mecânica de meios contínuos a formulación anterior não é adequada e deve se generalizar.

A generalização mais óbvia é definir a acção como a integral de uma função escalar, denominada densidade lagrangiana integrada sobre o volume onde existe o campo ou médio contínuo:

$S[\phi,\partial_t\phi,\partial_\mathbf{x}\phi] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} dt \int_V \mathcal{L} (\phi(\mathbf{x},t), \partial_t\phi(\mathbf{x},t), \partial_\mathbf{x}\phi(\mathbf{x},t),\mathbf{x},t)\ d^3\mathbf{x}$

Em teoria clássica de campos é frequente escrever a equação anterior de forma totalmente covariante:

$\mathcal{S} [\phi_r^\alpha] = \int_R {\mathcal{L}(\mathbf{x}, \phi_r^\alpha, \partial_\mu \phi_r^\alpha) \ \mathrm{d}^4x}.$

E nesse caso as equações de Euler-Lagrange resultam ser:

$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta\phi_r^\alpha} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_r^\alpha} - \partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_r^\alpha)}\right)=0.$

Princípio de mínima acção e leis de Newton

A partir das leis de Newton pode provar-se o princípio de mínima acção para partículas da mecânica Newtoniana. Esta derivação pode fazer-se a partir do princípio de D'Alambert que é essencialmente equivalente às leis de Newton. No entanto, o princípio de mínima acção é mais geral já que, a diferença das equações de Newton, é aplicável também a sistemas de referência não inerciales.

Por outro lado admitindo o princípio de mínima acção de uma sozinha partícula e certos princípios de simetría podem derivar-se as equações de Newton. A seguir apresentam-se várias deduções e exemplos ilustrativos que mostram a equivalencia parcial da mecânica newtoniana e o princípio de mínima acção.

Princípio de d'Alembert e segunda lei de Newton

Nesta secção provaremos como a partir da segunda lei de Newton ou equivalentemente o princípio de D'Alembert pode se derivar que para uma partícula que obedece esse princípio se cumpre também o princípio de mínima acção. Partindo da segunda lei tem-se que:

$F \,= ma \qquad \Rightarrow \qquad F - ma\, = 0$

Esta forma é totalmente equivalente ao princípio de D'Alembert que estabelece que baixo qualquer deslocação virtual compatível com as equações de movimento:

$(F - ma)\cdot \delta{\mathbf r}_{i} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \int_{t_{1}}^{t_{2}} (F\cdot \delta{\mathbf r}_{i}) dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} ma\cdot \delta{\mathbf r}_{i} dt \, = 0$

Como é bem sabido para uma força conservativa que deriva de um potencial se tem que $\delta{\mathbf U}_{i} \, = -(F\cdot \delta{\mathbf r}_{i})$ , isto é, a energia potencial $U\,$ tanto faz ao negativo do produto escalar da força pela deslocação do corpo. Reescribiendo a última equação introduzindo a definição da aceleração:

$- \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta{\mathbf U}_{i} dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} m \frac{d}{dt} ( {v_i} )\cdot \delta{\mathbf r}_{i} dt \, = 0$

Procedemos a integrar por partes o segundo termo do lado esquerdo da equação: 1) aplicando a derivada temporária à variação da distância $(\frac{d}{dt}\delta{\mathbf r}_{i})$ , em lugar de fazer à velocidade $(\frac{d}{dt} ( v ))$ , e 2) introduzindo um termo limite, que faz referência à diferença do valor da função $\left[mv \cdot \delta{\mathbf r}_{i} \right]_{t_{1}}^{t_{2}}$ entre os pontos $t_{2}$ e $t_{1}$ :

$- \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta{\mathbf U}_{i} dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} m{v_i} \cdot \frac{d}{dt}\delta{\mathbf r}_{i} dt \, - \left[m{v_i} \cdot \delta{\mathbf r}_{i} \right]_{t_{1}}^{t_{2}} = 0$

Todas as trajectórias, quaisquer que sejam, têm os mesmos pontos de partida ( $t_{1}$ ) e de chegada( $t_{2}$ ). Por esse motivo, neles a variação se faz zero $(\delta{\mathbf r}_{i} \, = 0)$ . Daí deduze-se que $\left[m{v_i} \cdot \delta{\mathbf r}_{i} \right]_{t_{1}}^{t_{2}}\, = 0$

Os pontos de partida e de chegada de todas as trajectórias são os mesmos, e por isso nesses lugares a variação é zero $(\delta{\mathbf r}_{i} \, = 0)$ . Isso implica que a condição limite $\left[m{v_i} \cdot \delta{\mathbf r}_{i} \right]_{t_{1}}^{t_{2}}$ seja assim mesmo igual a zero em ditos lugares. Por isso, desaparece da equação:

$- \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta{\mathbf U}_{i} dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} mv \cdot \delta{\mathbf v}_{i} dt \, = 0$

Procedemos à integração de em $v_{i} \$ o segundo termo:

$- \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta{\mathbf U}_{i} dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{m}{2} \delta{\mathbf v}_{i}^2 dt \, = 0$

As regras do cálculo permitem-nos transladar os símbolos da variação fora das duas integrales:

$- \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\mathbf U}_{i} dt + \delta\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{m{\mathbf v}_{i}^2}{2} dt \, = 0$

Nesta equação estão presentes as expressões da energia potencial $(U \,)$ e a energia cinética $(T \, = \frac{m{\mathbf v}_{i}^2}{2})$ . Portanto, pode reformular-se da seguinte maneira:

$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}} (T - V) dt \,= 0$

Onde a diferença $T - V\,$ recebe o nome de função lagrangiana e se representa com a letra $L \,$ :

$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}} L dt \,= 0$

Primeira lei de Newton e partícula livre

A primeira lei de Newton pode deduzir-se a partir do princípio de mínima acção das propriedades de homogeneidad e isotropía do espaço euclídeo tridimensional. Para uma partícula livre a função lagrangiana devido às propriedades de homogeneidad do espaço não depende explicitamente das coordenadas de posição. Igualmente devido à isotropía, a dependência na velocidade da partícula só pode depender do módulo ao quadrado da velocidade. Isso nos leva a que o lagrangiano deve ser da forma:^[2]

$L(x,y,z;v_x,v_y,v_z) = \tilde{L}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$

Se tomamos um sistema de referência inercial K' que se move com respeito ao sistema anterior a uma velocidade muito pequena V, temos que a velocidade e o lagrangiano se transformam de acordo com as seguintes leis:

$\mathbf{v}' = \mathbf{v} + \mathbf{V}$

$L'(x',y',z';v'_x,v'_y,v'_z) = \tilde{L}(\|v\|^2+2\mathbf{v \cdot V}+\|V\|^2)$

Por tanto teremos que para velocidades V pequenas as formas funcionais dos dois lagrangianos estão relacionadas por:

$\tilde{L}(\|v'\|^2) \approx \tilde{L}(\|v\|^2) + 2\frac{\partial\tilde{L}}{\partial v^2}\mathbf{v \cdot V}$

Como as trajectórias só podem ser iguais se as duas funções anteriores só diferem em uma derivada total do tempo, é necessário que exista uma função das coordenadas e do tempo, tal que sua derivada coincida com esse somando. Isso só pode ocorrer se o segundo termo é uma função linear da velocidade costure que só sucede se a derivada do segundo termo se anula. Isso último a sua vez requer que:

$\tilde{L}(\|v\|^2) = a\|v\|^2 = a(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$

Se introduzimos essa forma do lagrangiano nas equações de Euler-Lagrange temos a primeira lei de Newton:

$0 = \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial v_i} \right ) - \frac{\partial L}{\partial x_i} = a \frac{d}{dt} \left ( v_i \right )$

Esta última equação diz que uma partícula livre mantém sua velocidade constante.

Princípio de mínima acção e mecânica cuántica

"o movimento do sistema entre os tempos $t_{1}$ e $t_{2}$ é tal que o valor da integral curvilínea. $I=\int^{t_{1}}_{t_{2}}{Ldt}$

onde L=T-Ou é a lagrangiana, tem um valor estacionário para o movimento correcto".

À integral J chama-se-lhe integral de acção.

Por valor estacionário entendemos que é aquele para o qual δJ=0, isto é, que o valor da integral curvilínea quando percorre o caminho correcto não varia respecto dos caminhos vizinhos infinitesimalmente próximos (ao menos, quando estes infinitésimos são de primeira ordem).

Referência

↑ R.P. Feynmann (1948): Review of Modern Physics, 20, p. 367.
↑ Landau e Lifshitz, p. 7

Landau & Lifschitz: Mecânica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991 (pp. 2-7) ISBN 84-291-4081-6.

Veja-se também

Cálculo de variações
Integração funcional
Acção

Enlaces externos

http://www.eftaylor.com/leastaction.html

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"

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Princípio de mínima acção e leis de Newton

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Primeira lei de Newton e partícula livre

Princípio de mínima acção e mecânica cuántica

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