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Quantidade de movimento

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A quantidade de movimento, momento linear, impulso ou moméntum é uma magnitude vectorial, unidade SE: (kg m/s) que, em mecânica clássica, se define como o produto da massa do corpo e sua velocidade em um instante determinado. Quanto ao nome, Galileo Galilei em seus Discursos sobre duas novas ciências usa o termo italiano impeto, enquanto Isaac Newton usa em Principia Mathematica o termo latino motus[1] (movimento) e vis (força). Moméntum é uma palavra directamente tomada do latín mōmentum, derivado do verbo mŏvĕre 'mover'

Em Mecânica Clássica a forma mais usual de introduzir a quantidade de movimento é mediante definição como o produto da massa (kg) de um corpo material por sua velocidade (m/s), para depois analisar sua relação com a lei de Newton através do teorema do impulso e a variação da quantidade de movimento. Não obstante, após o desenvolvimento da Física Moderna, esta maneira de fazê-lo não resultou a mais conveniente para abordar esta magnitude fundamental.

O defeito principal é que esta forma esconde o conceito inherente à magnitude, que resulta ser uma propriedade de qualquer ente físico com ou sem massa, necessária para descrever as interacções. Os modelos actuais consideram que não só os corpos em massa possuem quantidade de movimento, também resulta ser um atributo dos campos e os fotones.

A quantidade de movimento obedece a uma lei de conservação, o qual significa que a quantidade de movimento total de todo sistema fechado (ou seja um que não é afectado por forças exteriores, e cujas forças internas não são disipadoras) não pode ser mudada e permanece constante no tempo.

No enfoque geométrico da mecânica relativista a definição é algo diferente. Ademais, o conceito por enquanto linear pode definir-se para entidades físicas como os fotones ou os campos electromagnéticos, que carecem de massa em repouso. Não se deve confundir o conceito por enquanto linear com outro conceito básico da mecânica newtoniana, denominado momento angular, que é uma magnitude diferente.

Finalmente, define-se o impulso recebido por uma partícula ou um corpo como a variação da quantidade de movimento durante um período dado:


\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_0


sendo pf a quantidade de movimento ao final do intervalo e p0 ao início do intervalo.

Conteúdo

Quantidade de movimento em mecânica clássica

Mecânica newtoniana

Historicamente o conceito de quantidade de movimento surgiu no contexto da mecânica newtoniana em estreita relação com o conceito de velocidade e o de massa. Em mecânica newtoniana define-se a quantidade de movimento linear como o produto da massa pela velocidade:


 \vec{p} = m \vec{v}


A ideia intuitiva depois desta definição está em que a "quantidade de movimento" dependia tanto da massa como da velocidade: se imagina-se uma mosca e um camião, ambos se movendo a 40 km/h, a experiência quotidiana diz que a mosca é fácil de deter com a mão enquanto o camião não, ainda que os dois vão à mesma velocidade. Esta intuición levou a definir uma magnitude que fosse proporcional tanto à massa do objecto móvel como a sua velocidade.

Mecânica lagrangiana e hamiltoniana

Nas formulaciones mais abstratas da mecânica clássica, como a mecânica lagrangiana e a mecânica hamiltoniana, além do momento linear e do momento angular se podem definir outros momentos, chamados momentos generalizados ou momentos conjugados, associados a qualquer tipo de coordenada generalizada. Generaliza-se assim a noção por enquanto.

Se tem-se um sistema mecânico definido por seu lagrangiano L definido em termos das coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) e as velocidades generalizadas, então o momento conjugado da coordenada qi vem dado por:


p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}


Quando a coordenada qi é uma das coordenadas de um sistema de coordenadas cartesianas, o momento conjugado coincide com uma das componentes do momento linear, e, quando a coordenada generalizada representa uma coordenada angular ou a medida de um ângulo, o momento conjugado correspondente resulta ser uma das componentes do momento angular.

Quantidade de movimento de um médio contínuo

Se estamos interessados em averiguar a quantidade de movimento de, por exemplo, um fluído que se move segundo um campo de velocidades é necessário somar a quantidade de movimento da cada partícula do fluído, isto é, da cada diferencial de massa ou elemento infinitesimal, isto é

\vec{p}=\int_{m} \vec{v} dm

Quantidade de movimento em mecânica relativista

A constancia da velocidade da luz em todos os sistemas inerciales tem como consequência que a força aplicada e a aceleração adquirida por um corpo material não sejam colineares em general, pelo qual a lei de Newton expressada como F=ma não é a mais adequada. A lei fundamental da mecânica relativista aceitada é F=dp/dt.

O Princípio de Relatividad estabelece que as leis da Física conservem sua forma nos sistemas inerciales (os fenómenos seguem as mesmas leis). Aplicando este Princípio na lei F=dp/dt obtém-se o conceito de massa relativista, variável com a velocidade do corpo, se mantém-se a definição clássica (newtoniana) da quantidade de movimento.

No enfoque geométrico da mecânica relativista, já que o intervalo de tempo efectivo percebido por uma partícula que se move com respeito a um observador difere do tempo medido pelo observador. Isso faz que a derivada temporária do momento linear com respeito à coordenada temporária do observador inercial e a força medida por ele não coincidam. Para que a força seja a derivada temporária do momento é necessário empregar a derivada temporária com respeito ao tempo próprio da partícula. Isso conduz a redefinir a quantidade de movimento em termos da massa e a velocidade medida pelo observador com a correcção associada à dilatación de tempo experimentada pela partícula. Assim, a expressão relativista da quantidade de movimento de uma partícula medida por um observador inercial vem dada por:

\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{ \sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}} } = \gamma m\vec{v}

onde v^2, c^2 são respectivamente o módulo ao quadrado da velocidade da partícula e a velocidade da luz ao quadrado e \gamma é o factor de Lorentz.

Ademais, em mecânica relativista, quando se consideram diferentes observadores em diversos estados de movimento surge o problema de relacionar os valores das medidas realizadas por ambos. Isso só é possível se em lugar de considerar vetores tridimensionais se consideram cuadrivectores que incluam coordenadas espaciais e temporários. Assim, o momento linear definido anteriormente junto com a energia constitui o cuadrivector momento-energia ou cuadrimomento P:


\mathbf{P} = (P^0, P^1, P^2, P^3) = \left(\frac{E}{c},p_x, p_y, p_z\right)


Os cuadrimomentos definidos como na última expressão medidos por dois observadores inerciales relacionar-se-ão mediante as equações fornecidas pelas transformações de Lorentz.

Quantidade de movimento em mecânica cuántica

A mecânica cuántica postula que à cada magnitude física observable m \, lhe corresponde um operador linear autoadjunto \hat{m}, chamado simplesmente "observable", definido sobre um domínio de espaço de Hilbert abstrato. Este espaço de Hilbert representa a cada um dos possíveis estados físicos que pode apresentar um determinado sistema cuántico.

Ainda que existem diversas maneiras de construir um operador associado à quantidade de movimento, a forma mais frequente é usar como espaço de Hilbert para uma partícula o espaço de Hilbert L^2(\R^3) e usar uma representação dos estados cuánticos como funções de onda. Nesse caso, as componentes cartesianas do momento linear definem-se como:


\hat{p}_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \qquad 
\hat{p}_y = -i\hbar\frac{\partial}{\partial y} \qquad 
\hat{p}_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial z}


Resulta interessante advertir que ditos operadores são autoadjuntos só sobre o espaço de funções absolutamente contínuas de que L^2(\R^3) constituem um domínio denso de dito espaço. Cuidado com isto, pois os autovalores do operador momento, salvo que nos limitemos a , L^2(\R^3)não têm por que ser reais. De facto, em general podem ser complexos.

Conservação

Mecânica newtoniana

Em um sistema mecânico de partículas isolado (fechado) no qual as forças externas são zero, o momento linear total se conserva se as partículas materiais exercem forças paralelas à recta que as une, já que nesse caso dentro da dinâmica newtoniana do sistema de partículas pode se provar que existe uma integral do movimento dada por:

\mathbf{P}(\mathbf{r}_i,\dot\mathbf{r}_i) = \sum_{i=1}^N  m_i\dot\mathbf{r}_i


Onde \mathbf{r}_i,\dot\mathbf{r}_i são respectivamente os vetores de posição e as velocidades para a partícula i-ésima medidas por um observador inercial.

Mecânica lagrangiana e hamiltoniana

Em mecânica lagrangiana «se o lagrangiano não depende explicitamente de alguma das coordenadas generalizadas então existe um momento generalizado que se mantém constante ao longo do tempo», resultando por tanto essa quantidade uma integral do movimento, isto é, existe uma lei de conservação para dita magnitude. Ponhamos por caso que um sistema mecânico tem um lagrangiano tem n graus de liberdade e seu lagrangiano não depende uma delas, por exemplo a primeira delas, isto é:

L:U\subset \R^{2n} \to \R, \qquad (\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) \mapsto L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = \sum_{i,j} \dot{q}_i\frac{g_{ij}(q_2,...,q_n)}{2}\dot{q}_j \ - \   V(q_2,...,q_n)


Nesse caso, em virtude das equações de Euler-Lagrange existe uma magnitude conservada p_1\, que vem dada por:

 0 = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_1} = \frac{d}{dt}\left(\sum_j g_{ij}\dot{q}_j\right) \ - \ 0 \Rightarrow 
p_1 = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} = \sum_j g_{ij}\dot{q}_j = \mbox{constante}


Se o conjunto de coordenadas generalizadas usado é cartesiano então o tensor métrico é o delta de Kronecker g_{ij}(q_2,...,q_n) = \delta_{ij} e a quantidade p_1\, coincide com o momento linear na direcção dada pela primeira coordenada.

Em mecânica hamiltoniana existe uma forma muito singela de ver determinar se uma função que depende das coordenadas e momentos generalizados dá lugar ou não a uma lei de conservação em termos do parêntese de Poisson. Para determinar essa expressão calculemos a derivada ao longo da trajectória de uma magnitude:

 \frac{df(\mathbf{p},\mathbf{q})}{dt} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right) = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} + \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = \{f,H\}_{pq}


A partir dessa expressão podemos ver que para «um momento generalizado conservar-se-á constante no tempo, se e só se, o hamiltoniano não depende explicitamente da coordenada generalizada conjugada» como se pode ver:

0 = \frac{dp_j}{dt} = \{p_j,H\}_{pq} = \sum_i\left( 0 \cdot \frac{\partial H}{\partial p_i} + \delta_{ij}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = \frac{\partial H}{\partial q_j}


Mecânica relativista

Em teoria da relatividad a quantidade de movimento ou cuadrimomento define-se como um vetor P o produto da cuadrivelocidad Ou pela massa (em repouso) de uma partícula:

P^\alpha = mU^\alpha\ = m\frac{dx^\alpha}{d\tau}

Em relatividad geral esta quantidade conserva-se se sobre ela não actuam forças exteriores. Em relatividad geral a situação é algo mais complexa e se pode ver que a quantidade de movimento se conserva para uma partícula se esta se move ao longo de uma linha geodésica. Para ver isto basta comprovar que a derivada com respeito ao tempo próprio se reduz à equação das geodésicas, e esta derivada se anula se e só se a partícula se move ao longo de uma linha de universo que seja geodésica:

\frac{dP^\alpha}{d\tau} = U^\beta\nabla_\beta P^\alpha =
U^\beta\left[m\frac{dU^\alpha}{dx^\beta}+ m\Gamma^\alpha_{\gamma\beta}U^\gamma \right] = m\left[ \frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2}+ \Gamma^\alpha_{\gamma\beta} \frac{dx^\gamma}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} \right]

Em general para um corpo macroscópico sólido de verdadeiro tamanho em um campo gravitatorio que apresenta variações importantes de um ponto a outro do corpo não é possível que a cada uma das partículas siga uma linha geodésica sem que o corpo se fragmente ou perdendo sua integridade. Isto sucede por exemplo em regiões do espaço tempo onde existem fortes variações de curvatura. Por exemplo na queda dentro de um buraco negro, as forças de maré resultantes da diferente curvatura do espaço tempo de um ponto a outro despedaçariam um corpo sólido caindo dentro de um buraco negro.

Mecânica cuántica

Como é sabido em mecânica cuántica uma quantidade se conserva se o operador autoadjunto que representa a dita magnitude ou observable comuta com o hamiltoniano, de modo similar a como em mecânica hamiltoniana uma magnitude se conserva se o parêntese de Poisson com o hamiltoniano se anula. Tomando como espaço de Hilbert do sistema de uma partícula dentro de um potencial uma representação de tipo L^2(\R^3). Tem-se que:

\frac{d \hat{p}_i}{d t} = -\frac{i}{\hbar}[\hat{p}_i, \hat{H}] =
- \boldsymbol{\nabla} V(x_i)

Por tanto, se o potencial não depende das coordenadas x_i , então a quantidade de movimento da partícula se conserva. Ademais, a última expressão é formalmente equivalente à do caso clássico em termos do parêntese de Poisson. Tendo em conta claro está, que este é o hamiltoniano cuántico, e que as quantidades físicas, não são as mesmas que na mecânica clássica, senão operadores que representam as quantidades clássicas (observables).

Veja-se também

Referência

  1. Em época clássico mōtĭou e mōteus eram sinónimos ambos derivados do verbo mŏvĕre 'mover'.

Bibliografía

Enlaces externos

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"