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Relação de equivalencia

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Seja K um conjunto dado não vazio e R uma relação binária definida sobre K. Diz-se que R é uma relação de equivalencia se cumpre as seguintes propriedades:

\forall x\in K, \; xRx.
\forall x,y\in K, \; xRy \; \Rightarrow \; yRx
\forall x,y,z\in K, \; xRy , yRz \; \Rightarrow \; xRz

Uma relação de equivalencia R sobre um conjunto K pode denotar com o par ordenado (K,\sim)\,.

Conteúdo

Classes de equivalencia

A relação de equivalencia \sim define subconjuntos disjuntos em chamados K classes de equivalencia da seguinte maneira: Dado um elemento a\in K, ao conjunto dado por todos os elementos relacionados com a

[a] = \{b\in K\,|\,b\sim a\}

chama-se-lhe a classe de equivalencia sócia ao elemento a. Ao elemento a chama-se-lhe representante da classe.

Chama-se ordem ao número de classes que gera uma relação de equivalencia; se este é finito, se diz que a relação é de ordem finito.

O conceito de classe de equivalencia tem importância em ciência, dado um conjunto de objectos ou entidades abstratas (potencialmente infinitas), podem estabelecer-se relações de equivalencia em base a algum critério, as classes resultantes são os "tipos" nos que se pode classificar toda a faixa de objectos.

Conjunto cociente

O conjunto de todas as classes de equivalencia se denomina conjunto cociente e lho costuma denotar como:

K/\sim\, \qquad \qquad K/\sim = \{[a]\in \mathcal{P}(K)|\ 
([a]\cap[b]\ne 0) \iff \left( \exists a\in [a] \land \iff \exists b\in [b]: a\sim b \right) \}

Tal como mostra a definição anterior o conjunto cociente é um subconjunto do conjunto de partes de K.

Lema de abstracção

Este conjunto é uma partição de K, isto é que está formado pelas diferentes classes de equivalencia {a de} a relação, que são conjuntos disjuntos entre si:

  1. para qualquer dois a_i,a_j não relacionados temos: [a_i]\cap[a_j]=\emptyset;
  2. a união de todos integra ao total: \bigcup_s[a_s]=K

O reciproco também é verdadeiro: Dada uma partição de um conjunto existe uma relação de equivalencia nele de tal maneira que as classes de equivalencia coincidem com os componentes da partição

As ideias enunciadas nos dois parágrafos prévios constituem o lema denominado como Lema de abstracção, pilar primeiramente ao método abstrato matemático.

É também conhecido com o calificaivo teorema fundamental das relações de equivalencia

Exemplos

Esta relação é de equivalencia porque:
  • É reflexiva: a - a = 0, que é múltiplo de M.
  • É simétrica: se a - b é múltiplo de M, então b - a = -(a - b) também é múltiplo de M.
  • É transitiva: sejam k e l números inteiros tais que a - b = M k e b - c = M l. Então, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) e por tanto um múltiplo de M. Em particular, se M = 2 temos a tradicional classificação dos números inteiros em pares e ímpares.

Veja-se também

Esquema de temas relacionados

Conjunto bem ordenado
Ordem total
Conjunto parcialmente ordenado
Conjunto preordenado
Relação reflexiva
Relação transitiva
Relação antisimétrica
Relação total
Ordem bem fundamentada
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