Relatividad geral

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Algumas partes deste artigo podem resultar complicadas, nesse caso recomenda-se Introdução à relatividad geral

Representação artística da explosão da supernova SN 2006gy, situada a 238 milhões de anos luz. De ser válido o princípio de acção a distância, as perturbaciones de origem gravitatorio deste estallido afectar-nos-iam imediatamente, mais tarde chegar-nos-iam as de origem electromagnético, que se transmitem à velocidade da luz.

A teoria geral da relatividad ou relatividad geral é uma teoria do campo gravitatorio e dos sistemas de referência gerais, publicada por Albert Einstein em 1915 e 1916.

O nome da teoria deve-se a que generaliza a chamada teoria especial da relatividad. Os princípios fundamentais introduzidos nesta generalização são o Princípio de equivalencia, que descreve a aceleração e a gravidade como aspectos diferentes da mesma realidade, a noção da curvatura do espaço tempo e o princípio de covariancia generalizado.

A intuición básica de Einstein foi postular que em um ponto concreto não se pode distinguir experimentalmente entre um corpo acelerado uniformemente e um campo gravitatorio uniforme. A teoria geral da relatividad permitiu também reformular o campo da cosmología.

Conteúdo

1 Por que é necessária a teoria de relatividad geral?
2 Princípios gerais
3 Os diferentes tensores e escalares da relatividad geral
4 Soluções das equações de campo de Einstein
5 Predições da relatividad geral
6 Relação com outras teorias físicas
7 Transição da relatividad especial à relatividad geral
8 Veja-se também
9 Referências
- 9.1 Bibliografía
- 9.2 Enlaces externos

Por que é necessária a teoria de relatividad geral?

Os sucessos explicativos da teoria da relatividad especial conduziram à aceitação da teoria pela prática totalidade dos físicos. Isso levou a que dantes da formulación da relatividad geral existissem duas teorias físicas incompatíveis:

A teoria especial da relatividad, covariante no sentido de Lorentz, que integrava adequadamente o electromagnetismo, e que descarta explicitamente as acções instantâneas a distância.
A teoria da gravitación de Newton , explicitamente não-covariante, que explicava de maneira adequada a gravidade mediante acções instantâneas a distância (conceito de força a distância).

A necessidade de procurar uma teoria que integrasse, como casos limites particulares, as duas anteriores requeria a busca de uma teoria da gravidade que fosse compatível com os novos princípios relativistas introduzidos por Einstein . Além de incluir a gravitación em uma teoria de formulación covariante, teve outra razão adicional. Einstein tinha concebido a teoria especial da relatividad como uma teoria aplicável só a sistemas de referência inerciales, ainda que realmente pode se generalizar a sistemas acelerados sem necessidade de introduzir todo o aparelho da relatividad geral. A insatisfacción de Einstein com sua crença de que a teoria era aplicável só a sistemas inerciales lhe levou a procurar uma teoria que proporcionasse descrições físicas adequadas para um sistema de referência totalmente geral.

Esta busca era necessária, já que segundo a relatividad especial nenhuma informação pode viajar a maior velocidade que a luz, e portanto não pode existir relação de causalidad entre dois eventos unidos por um intervalo espacial. No entanto, um dos pilares fundamentais da gravidade newtoniana, o princípio de acção a distância, supõe que as alterações produzidas no campo gravitatorio se transmitem instantaneamente através do espaço. A contradição entre ambas teorias é evidente, já que assumir as teses de Newton levaria implícita a possibilidade de que um observador fosse afectado pelas perturbaciones gravitatorias produzidas fora de seu cone de luz.

Einstein resolveu este problema interpretando os fenómenos gravitatorios como simples alterações da curvatura do espaço tempo produzidas pela presença de massas. Disso se deduze que o campo gravitatorio, ao igual que o campo electromagnético, tem uma entidade física independente e suas variações se transmitem a uma velocidade finita em forma de ondas gravitacionales. A presença de massa, energia ou momentum em uma determinada região da variedade tetradimensional, provoca a alteração dos coeficientes da métrica, em uma forma cujos detalhes pormenorizados analisaremos nas secções seguintes.

Nesta visão, a gravitación só seria uma pseudo-força (equivalente à força de Coriolis, ou à força centrífuga) efeito de ter escolhido um sistema de referência não-inercial.

Princípios gerais

As características essenciais da teoria da relatividad geral são as seguintes:

O princípio geral de covariancia: as leis da física devem tomar a mesma forma matemática em todos os sistemas de coordenadas.
O movimento livre inercial de uma partícula em um campo gravitatorio realiza-se através de trajectórias geodésicas.
O princípio de equivalencia ou de invariancia local de Lorentz: as leis da relatividad especial (espaço plano de Minkowski ) aplicam-se localmente para todos os observadores inerciales.

Princípio de covariancia

Artigo principal: Princípio de covariancia

O princípio de covariancia é a generalização da teoria da relatividad especial, onde se procura que as leis físicas tenham a mesma forma em todos os sistemas de referência. Isto último equivale a que todos os sistemas de referência sejam indistinguibles, e desde o ponto de vista físico equivalentes. Em outras palavras, que qualquer que seja o movimento dos observadores, as equações terão a mesma forma matemática e conterão os mesmos termos. Esta foi a principal motivação de Einstein para que estudasse e postulara a relatividad geral.

O princípio de covariancia sugeria que as leis deviam se escrever em termos de tensores , cujas leis de transformação covariantes e contravariantes podiam proporcionar a "invariancia" de forma procurada, se satisfazendo o princípio físico de covariancia.

O princípio de equivalencia

Os dois astronautas da imagem encontram-se em uma nave em queda livre. Por isso não experimentam gravidade alguma (seu estado se descreve coloquialmente como de gravidade zero"). Diz-se por isso que são observadores inerciales.

Uma meta fundamental no desenvolvimento da teoria da relatividad geral constituiu-o o princípio enunciado por Albert Einstein no ano 1912: princípio de equivalencia, ao que seu autor qualificou como «a ideia mais feliz de minha vida». Dito princípio supõe que um sistema que se encontra em queda livre e outro que se move em uma região do espaço tempo sem gravidade se encontram em um estado físico substancialmente similar: em ambos casos se trata de sistemas inerciales.

A mecânica clássica distinguia entre corpos de movimento inercial (em repouso ou movendo-se a velocidade constante) ou corpos de movimento não inercial (aqueles submetidos a um movimento acelerado). Em virtude da segunda lei de Newton, toda a aceleração estava causada pela aplicação de uma força exterior. A relação entre força e aceleração expressava-se mediante esta fórmula:

$m = \frac{F}{a}$

Onde a a aceleração, F a força e m a massa. A força podia ser de origem mecânico, electromagnético ou, como não, gravitatorio. Segundo os cálculos de Galieo e de Newton, a aceleração gravitatoria dos corpos era constante e equivalia a 9,8 m/s² sobre a superfície terrestre. A força com a que um corpo era atraído para o centro da Terra se denominava peso. Evidentemente, segundo os princípios da mecânica clássica um corpo em queda livre não é um sistema inercial, já que se move aceleradamente dentro do campo gravitatorio em que se encontra.

No entanto, a teoria da relatividad considera que os efeitos gravitatorios não são criados por força alguma, senão que encontram sua causa na curvatura do espaço tempo gerada pela presença de matéria. Por isso, um corpo em queda livre é um sistema (localmente) inercial, já que não está submetido a nenhuma força (porque a gravidade não é como tal em relatividad geral). Um observador situado em um sistema inercial (como uma nave em órbita) não experimenta nenhuma aceleração e é incapaz de discernir se está a atravessar ou não, um campo gravitatorio. Como consequência disso, as leis da física se comportam como se não existisse curvatura gravitatoria alguma. Daí que o princípio de equivalencia também receba o nome de Invariancia Local de Lorentz: Nos sistemas inerciales regem os princípios e axiomas da relatividad especial.

O princípio de equivalencia implica assim mesmo que os observadores situados em repouso sobre a superfície da terra não são sistemas inerciales (experimentam uma aceleração de origem gravitatorio de uns 9,8 metros por segundo ao quadrado, isto é, "sentem seu peso").

**Exemplos de sistemas inerciales segundo o Princípio de Equivalencia**
Sistema	É inercial? (Princípio de Equivalencia)	É inercial? (Mecânica newtoniana)
Corpo em queda livre	Sim	Não
Corpo em repouso sobre a superfície terrestre	Não	Sim
Planeta orbitando ao redor do sol	Sim	Não
Nave precipitando para a terra	Sim	Não
Foguete descolando desde uma base de lançamento	Sim	Não

Ainda que a mecânica clássica tem em conta a aceleração medida por um observador em repouso com respeito ao campo gravitatorio (p.e. um astrónomo); o Princípio de Equivalencia, contrariamente, tomada em consideração a aceleração experimentada por um observador situado no sistema em questão: qualquer corpo que se mova sem restrições por um campo gravitatorio pode ser considerado como um sistema inercial. É o caso dos planetas que orbitam em torno do Sol e dos satélites que orbitam ao redor dos primeiros: os habitantes da Terra não chegam a perceber se nos estamos a acercar ou afastando do Sol, nem se nos encontramos no afelio ou no perihelio, apesar das enormes diferenças da gravidade solar.

A gravidade converte-se, em virtude do Princípio de Equivalencia, em uma força aparente, como a força centrífuga e a força de Coriolis: nestes dois últimos supostos seu aparecimento é devida à eleição de um marco de referência acelerado (um observador situado na superfície de uma esfera em rotação). No caso da gravidade, unicamente percebemos a força aparente gravitatoria quando escolhemos um sistema de referência não inercial (em repouso sobre a superfície terrestre), mas não quando nos situamos em outro que sim o é (um corpo em queda livre).

Ainda que o princípio de equivalencia foi historicamente importante no desenvolvimento da teoria, não é um ingrediente necessário de uma teoria da gravidade, como prova o facto de que outras teorias métricas da gravidade, como a teoria relativista da gravitación prescindan do princípio de equivalencia. Ademais convém assinalar que o princípio de equivalencia não se cumpre em presença de campos electromagnéticos, por exemplo uma partícula carregada se movendo ao longo de uma geodésica de um espaço-tempo qualquer em general emitirá radiación, a diferença de uma partícula carregada se movendo ao longo de uma geodésica do espaço de Minkowski. Esse e outros factos sugerem que o princípio de equivalencia apesar de seu equivalencia histórica não é parte essencial de uma teoria relativista da gravitación.

Formulación e considerações gerais

Artigo principal: Introdução matemática à relatividad geral

Não te preocupes por teus problemas com as matemáticas; asseguro-te que os meus são muito maiores.

A. Einstein, em uma carta a uma menina de nove anos.

Matematicamente, Einstein renderizou a geometria do espaço tempo por uma variedade pseudoriemanniana e suas equações de campo estabelecem que a curvatura seccional desta variedade em um ponto está relacionada directamente com o tensor de energia em dito ponto.

Dito tensor é uma medida da densidade de matéria e energia. A curvatura diz-lhe à matéria como se mover, e de forma recíproca a matéria lhe diz ao espaço como se curvar. A equação de campo possível não é única, tendo possibilidade de outros modelos sem contradizer a observação. A relatividad geral distingue-se de outras teorias da gravidade pela simplicidad de acoplamento entre matéria e curvatura.

Ainda que ainda não existe uma teoria cuántica da gravidade que incorpore tanto à mecânica cuántica como à teoria da relatividad geral e que proponha uma equação de campo gravitatorio que substitua à de Einstein, poucos físicos duvidam que uma teoria cuántica da gravidade porá à relatividad geral no limite apropriado, bem como a relatividad geral prediz a lei da gravidade no limite não relativista.

A curvatura do espaço tempo

Artigo principal: Curvatura do espaço tempo

A aceitação do princípio de equivalencia por Albert Einstein levou-lhe a uma descoberta ulterior: a contracção ou curvatura do tempo como consequência da presença de um campo gravitatorio, que ficou expressar em seu artigo de 1911 "Sobre a influência da gravidade na propagación da luz".^[1]

Suponhamos que um fotón emitido por uma estrela próxima se aproxima à Terra. Em virtude da lei de conservação do tetramomentum a energia conservada do fotón permanece invariante. Por outro lado, o princípio de equivalencia implica que um observador situado no fotón (que é um sistema inercial, isto é, se acha em queda livre) não experimenta nenhum dos efeitos originados pelo campo gravitatorio terrestre. Disso se deduze que a energia conservada do fotón não se altera como consequência da acção da gravidade, e também não o faz a frequência da luz, já que, segundo a conhecida fórmula da física cuántica, a energia de um fotón tanto faz a sua frequência v multiplicado pela constante de Planck h: E = hν.

Na imagem reproduz-se o corrimiento gravitacional para o vermelho de um fotón que escapa do campo gravitatorio solar e se dirige para a Terra. Neste caso, a onda electromagnética perde progressivamente energia e sua frequência diminui conforme aumenta a distância ao Sol.

Agora bem, se as observações as realizasse um astrónomo situado na superfície da Terra, isto é, em repouso respecto seu campo gravitatorio, os resultados seriam muito diferentes: o astrónomo poderia comprovar como o fotón, por efeito de sua queda para a Terra, vai absorvendo progressivamente energia potencial gravitatoria e, como consequência disto último, sua frequência se corre para o azul.^[2] Os fenómenos de absorción de energia pelos fotones em queda livre e corrimiento para o azul expressam-se matematicamente mediante as seguintes equações:

$\ E_{obs}=E_{con} e^{-\Phi}$

$\ h \nu_{rec}=h \nu_{em} e^{-\Phi}$

$\nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}\,$

onde $E_{obs}\,$ é a energia medida por um observador em repouso com respeito ao campo gravitatorio (neste caso um astrónomo), $\ \Phi$ o potencial gravitatorio da região onde se encontra este, $\ E_{con}$ a energia conservada do fotón, $\nu_{em}$ a frequência de emissão, $\nu_{rec}$ é a frequência percebida pelo observador (e corrida para o azul) e $\ h$ a constante de Planck.

Agora bem, no parágrafo anterior temos demonstrado que a energia conservada do fotón permanece invariante. Por tanto, como é possível que exista esta divergência entre os resultados da medida da energia obtidos pelo astrónomo ( $E_{obs}$ ) e a energia conservada do fotón ( $E_{con}$ )? A única maneira de resolver esta contradição é considerando que o tempo se reduz como consequência da presença de um campo gravitatorio. Deste modo, a citada equação:

$\ \nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}$

pode escrever deste modo:

$\ \frac{\mbox{ciclos}}{\Delta t_{obs}}= \frac{\mbox{ciclos}}{\Delta t_{em}} e^{-\Phi}$

Isto é, a frequência tanto faz ao número de ciclos que têm lugar em um determinado período (geralmente, um segundo). Onde $\Delta t_{em}$ é o tempo medido por um observador situado a uma distância infinita do corpo em massa (e portanto não experimenta a atração gravitatoria deste), enquanto $\Delta t_{obs}$ é o tempo medido por um observador baixo a influência do campo gravitatorio e em repouso com respeito a este (como, por exemplo, uma pessoa situada sobre a superfície terrestre). Daí deduze-se que cerca de um corpo em massa o tempo se reduz, seguindo estas regras matemáticas:

$\Delta t_{em} = \Delta t_{obs} e^{-\Phi}\,$

$\Delta t_{obs} = \Delta t_{em} e^{\Phi}\,$

Em uma exclusividade espaço-temporária (como as que existem no interior dos buracos negros), a densidade de massa-matéria e o campo gravitatorio tendem ao infinito, o que provoca a congelación do tempo e portanto a eliminação de todo o tipo de processos dinâmicos:

$\lim_{r\to 0} \Delta t_{obs}= \Delta t_{em} e^{-\infty} \to \lim_{r\to 0} \Delta t_{obs}= 0$

Na imagem, duas partículas em repouso relativo, em um espaço-tempo plano.

Representam-se neste esquema duas partículas que se acercam entre si seguindo um movimento acelerado. A interpretação newtoniana supõe que o espaço-tempo é plano e que o que provoca a curvatura das linhas de universo é a força de interacção gravitatoria entre ambas partículas. Pelo contrário, a interpretação einsteiniana supõe que as linhas de universo destas partículas são geodésicas ("rectas"), e que é a própria curvatura do espaço tempo o provoca sua aproximação progressiva.

A contracção do tempo devido à presença de um campo gravitatorio foi confirmada experimentalmente no ano 1959 pelo experimento Pound-Rebka-Snider, levado a cabo na universidade de Harvard. Colocaram-se detectores electromagnéticos a uma verdadeira altura e procedeu-se a emitir radiación desde o solo. Todas as medidas que se realizaram confirmaram que os fotones tinham experimentado um corrimiento para o vermelho durante sua ascensão através do campo gravitatorio terrestre.

Hoje em dia, o fenómeno da contracção do tempo tem certa importância no marco do serviço localizador GPS, cujas exigências de exactidão requerem de uma precisão extrema: Basta apenas que produza-se um atraso de 0.04 microsegundos no sinal para que se produza um erro de posicionamento de uns 10 metros. Daí que as equações de Einstein tenham de ser tidas em conta ao calcular a situação exacta de um determinado objecto sobre a superfície terrestre.

Desde um ponto de vista teórico, o artigo de Einstein de 1911 teve uma importância ainda maior. Pois, a contracção do tempo implicava também, em virtude dos princípios da relatividad especial, a contracção do espaço. Daí que fosse inevitável a partir deste momento descartar a existência de um espaço-tempo plano, e fosse necessário assumir a curvatura da variedade espaço-temporária como consequência da presença de massas.

Na relatividad geral, fenómenos que a mecânica clássica atribui à acção da força de gravidade, tais como uma queda livre, a órbita de um planeta ou a trajectória de uma nave espacial, são interpretados como efeitos geométricos do movimento em um espaço-tempo curvado. Aliás uma partícula livre em um campo gravitatorio segue linhas de curvatura mínima através deste espaço tempo-curvado.

Finalmente, podemos fazer referência ao desvio dos raios da luz como consequência da presença de um corpo em massa, fenómeno que dá lugar a efeitos ópticos como as lentes gravitacionales ou os anéis de Einstein.

Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.

Os diferentes tensores e escalares da relatividad geral

Artigo principal: Introdução matemática à relatividad geral

A derivada covariante

Os corpos em queda livre (como as naves em órbita) são sistemas inerciales nos que a derivada covariante de sua velocidade é nula ( $\nabla_{\vec u} u^r = 0$ ). Por isso, não experimentam nenhum tipo de aceleração inercial provocada pela "força gravitatoria". No entanto, um observador externo, como um astrónomo situado na Terra, pode observar como dito corpo em queda livre se aproxima à Terra com uma aceleração crescente (daí que a derivada ordinária da velocidade neste caso seja diferente a zero - $\frac{d v^r}{dt} \not= 0$ -)

Diz a lenda apócrifa que foi a maçã de uma árvore a que provocou que Newton se desse conta que os objectos caem e portanto aceleram como consequência da gravitación universal. E é que os objectos em repouso sobre a superfície terrestre experimentam, como consequência da força aparente gravitatoria, uma aceleração inercial de (e $9,8 m/s^2$ portanto a derivada covariante de sua velocidade também tem esse valor $\nabla_{\vec u} u^r = 9,8$ ^[3]). No entanto, ditos objectos, já que estão em repouso, têm uma aceleração relativa nula com respeito a um observador terrestre (isto é, a derivada ordinária de sua velocidade é zero ( $\frac{d v^r}{dt} = 0$ )

Um dos conceitos essenciais sobre o que gira toda a teoria da relatividad geral é o de derivada covariante (às vezes impropiamene chamada conexão afín), que foi definida pela primeira vez pelo matemático italiano Tullio Levi-Civita e que pode ser considerada tanto desde uma perspectiva física como desde outra matemática. Desde um ponto de vista físico, a derivada ordinária da velocidade é a aceleração de um corpo medida por um observador externo em repouso com respeito a um campo gravitatorio (por exemplo, um astrónomo situado sobre a superfície terrestre). Neste caso o observador mantém-se a uma distancia r constante do centro de massas, mas não assim o objecto observado, que progressivamente se vai aproximando à origem do campo gravitatorio.

Pelo contrário, a derivada covariante da velocidade $\left(\frac{D \vec u}{d\tau}\right)$ ou $\nabla_{\vec u} \vec u$ ^[4] é a aceleração medida por um observador comóvil, isto é, que está em repouso com respeito ao corpo em queda livre (por exemplo, o piloto de um avião em queda livre ou os tripulantes de uma nave espacial com seus motores apagados).

Em resumidas contas, a derivada ordinária utiliza-se para computar a aceleração ordinária de um corpo, enquanto a derivada covariante é empregue para calcular sua aceleração inercial. Segundo a mecânica galileana e newtoniana estes dois tipos de aceleração são idênticos, e em base a este axioma desenvolveram-se novos princípios mecânicos como o Princípio de d'Alembert. No entanto, do princípio de equivalencia de Einstein deduze-se que quando um corpo está submetido a um campo gravitatorio, sua aceleração ordinária muda, mas não sua aceleração inercial. Daí que pára Einstein fosse absolutamente necessário introduzir em sua teoria o conceito de derivada covariante.

Desde um ponto de vista estritamente matemático, o cálculo da derivada covariante tem lugar através de um singelo procedimento. Procede-se em primeiro lugar ao cómputo da derivada parcial covariante e depois generaliza-se esta.

A derivada ordinária aplica-se exclusivamente sobre os componentes de um vetor, enquanto a derivada covariante aplica-se também sobre as bases do espaço vectorial:

$\nabla_\beta \vec u = \partial_\beta (u^\alpha \vec e_\alpha)$

Sobre esta equação procedemos a aplicar a regra do produto (ou de Leibniz),

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha (\partial_\beta \vec e_\alpha)$

Chegados a este ponto introduzimos uma nova anotação, os símbolos de Christoffel, que podem ser definidos como o componente $\ \mu$ da derivada parcial de com $\ e_\alpha$ respeito a : $\ \beta$ $\partial_\beta \vec e_\alpha = \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu$ . Deste modo:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu$

Realizamos um intercâmbio de índices ( $\ \mu$ por ) $\ \alpha$ no último termo do segundo membro da equação:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \vec e_\alpha$

E obtemos com isso os componentes da derivada parcial covariante da velocidade, que equivalem à expressão entre parêntese:

$\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu) \vec e_\alpha$

$\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu$

Generalizamos ditos componentes multiplicando pelo componente $\ \beta$ da tetravelocidad ( $\ u^\beta = \frac{du}{d \tau}$ ) e obtemos com isso a derivada covariante da velocidade:

$\frac{dx^\beta}{d \tau}\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a \frac{dx^\beta}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \frac{dx^\beta}{d \tau}$

$\nabla_\vec u u^a = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$

Já que para um observador inercial (p.e. um corpo em queda livre) $\nabla_\vec u u^a = 0$ , esta última equação toma a seguinte forma:

$0 = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$

$\frac{du^\alpha}{d \tau} = - \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta$

Estas fórmulas recebem o nome de equação das linhas geodésicas, e utilizam-se para calcular a aceleração gravitatoria de qualquer corpo.

Com ajuda da equação das linhas geodésicas podemos determinar a aceleração radial e angular da Terra com respeito ao Sol. Já que a curvatura gravitatoria os valores dos símbolos de Christoffel aumentam conforme acercamos-nos ao Sol, disso se deduze que a aceleração da Terra é máxima nas proximidades do perihelio, exactamente tal e como predizem as leis de Newton^[5] e Kepler.^[6]

Aos leitores principiantes pode chocar-lhes a própria definição dos símbolos de Christoffel. Afinal de contas, no espaço euclideo, a derivada de uma base (por exemplo $e_x$ ) com respeito a outra cordenada (ponhamos $y$ ) é sempre zero, pela simples razão de que as bases de ambas coordenadas são ortogonais. No entanto, isto não sucede assim nas variedades curvas, como por exemplo as superfícies de um cilindro ou de uma esfera: Em tais casos, os símbolos de Christoffel não são iguais a zero, senão que são funções das derivadas do tensor métrico. A relação matemática entre estas duas magnitudes matemáticas expressa-se mediante a seguinte equação:

$\ \Gamma^\alpha_{\beta\mu} = \frac{1}{2} g^{\alpha\sigma} (\partial_\mu g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\beta\mu})$

Os símbolos de Christoffel constituem o parámetro principal que determina cuán grande é o grau de curvatura existente em uma região determinada e com sua ajuda podemos conhecer qual vai ser a trajectória de uma geodésica em um espaço curvo. No caso da variedade espaço temporal, a Teoria da Relatividad afirma que a curvatura vem originada pela presença de tetramomentum e por isso, quanta maior seja a densidade de matéria existente em uma determinada região, maiores serão os valores dos símbolos de Christoffel.

Os princípios de general covariancia e de acoplamento mínimo

Artigo principal: Princípio de acoplamento mínimo

Em um espaço-tempo curvo, as leis da física modificam-se mediante o Princípio de acoplamento mínimo, que supõe que as equações matemáticas em cuja virtude se expressam aquelas experimentam as seguintes modificações:

A derivada ordinária é substituída pela derivada covariante.
A métrica de Minkowski é substituída por uma formulación geral do tensor métrico.

$\eta _{\mu \nu} \longrightarrow g_{\mu \nu}\left ( x \right )$

$\partial_\mu \longrightarrow \nabla_\mu \left ( x \right )$

Deste modo, a equação galileana dos sistemas inerciales transforma-se em virtude de dito princípio na equação relativista das linhas geodésicas:

$\partial_\beta u^\alpha = 0 \to \nabla_\beta u^\alpha = 0$

Lei de conservação da energia:

$\partial_\alpha T_{\alpha\beta} = 0 \to \nabla_\alpha T_{\alpha\beta} = 0$

No entanto, em virtude do princípio de simetría dos símbolos de Christoffel, as leis electromagnéticas em general não experimentam modificações devidas à curvatura gravitatoria:

$F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A^\beta - \partial_\beta A^\alpha$

$F_{\alpha \beta} = \nabla_\alpha A^\beta - \nabla_\beta A^\alpha$

$F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A^\beta + \Gamma^\mu_{\beta\alpha}A^\beta -\partial_\beta A^\alpha - \Gamma^\mu_{\alpha\beta}A^\alpha$

$\Gamma^\alpha_{\mu\beta} = \Gamma^\beta_{\mu\alpha}$

**Alteração das leis físicas produzida pela curvatura**
Objecto ou lei físico-matemática	Espaço tempo plano	Espaço tempo curvo	Produz-se alteração pela curvatura?
Lei de conservação da energia	$\partial_\alpha T_{\alpha\beta} = 0$	$\nabla_\alpha T_{\alpha\beta} = 0$	Sim
Tensor electromagnético	$F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i$	$F_{ij} = \nabla_i A_j - \nabla_j A_i = \partial_i A_j - \partial_j A_i$	Não
Equações de Maxwell			Não
Velocidade da luz	$\ c$	$\ c$	Não
Equação de um sistema inercial	$\frac{du_\alpha}{dt} = 0$	$\nabla_\vec u \vec u = \frac{du_\alpha}{dt} + \Gamma^\alpha_{\beta\nu}u_\beta u_\mu= 0$	Sim
Aceleração			Sim
Volume			Sim

Equação linhas geodésicas

O tensor de Riemann e a curvatura das linhas de universo

Vejam-se também: Tensor de curvatura, Transporte paralelo e Força de maré

Aproximação de duas geodésicas (em verde) em uma superfície esférica. Seu vetor de separação $\xi$ (primeiro rosa, depois azul) vai progressivamente contraindo-se conforme acercamos-nos ao Pólo Norte, seguindo as pautas marcadas pelo tensor de Riemann.

A medida da curvatura de qualquer variedade (já se trate do espaço tempo, de uma esfera ou de uma cadeira de montar) vem determinada pelo tensor de curvatura ou tensor de Riemann, que é uma função dos símbolos de Christoffel e suas derivadas de primeira ordem.

O tensor de Riemann tem uma importância fundamental à hora de calcular o desvio de duas linhas em origem paralelas quando se deslocam através de uma superfície curva. É bem sabido que em uma variedade plana as linhas paralelas jamais se cortam, mas no entanto esta regra não rege no caso das superfícies curvas de geometria elíptica. Suponhamos que dois viajantes saem do Equador em direcção norte. Em ambos casos, o ângulo que a trajectória de seu barco forma com o Equador é inicialmente de 90º, pelo que se trata de duas linhas paralelas. No entanto, conforme os viajantes vão-se deslocando para o norte, sua distância recíproca faz-se a cada vez mais pequena até que se faz nula no Pólo Norte, que é onde se cortam suas trajectórias de viagem. Para calcular a taxa de aproximação entre as duas geodésicas utilizamos a seguinte equação:

$d^2\xi^{\alpha} = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}dx^{\beta} \xi^{\mu} dx^{\nu}$

onde $\ dx^{\beta}$ e $\ dx^{\mu}$ representam o percurso desde o Equador de ambas linhas geodésicas e $\ \xi^{\mu}$ a distância de separação entre elas.

Aceleração recíproca de duas linhas de universo geodésicas. Como vemos, conforme se avança na coordenada temporária, o tensor de Riemann curva as geodésicas e provoca a aproximação recíproca das duas partículas.

No espaço-tempo, que também é uma variedade curva, as coisas funcionam de um modo parecido: o tensor de Riemann determina a aceleração recíproca entre as linhas de universo de dois sistemas inerciales (p.e. dois asteróides que se acercam progressivamente como consequência de sua mútua atração gravitatoria). Para calcular dita aceleração, aplicamos de novo a conhecida fórmula, modificando-a ligeiramente:

$\frac{d^2\xi^{\alpha}}{d\tau^2} = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}u^{\beta} \xi^{\mu} u^{\nu}$

onde $d\tau$ é um parámetro afín (o tempo local) e $u^\beta$ e $u^\mu$ são os vetores de cuadrivelocidad de ambos corpos que, segundo o esquema de Minkowski, equivalem geometricamente a campos vectoriais tangentes a ambas linhas de universo.

Forças de maré.

Tudo isto nos liga com o que em física newtoniana se denominam forças de maré, responsáveis por múltiplos fenómenos astronómicos e cuja base teorética repousa na proposta seguinte: Suponhamos que uma determinada nave espacial está a cair a um buraco negro. É evidente que a proa da nave experimenta uma força gravitatoria mais intensa que a popa, pelo simples facto de que a primeira está mais próxima que a segunda ao horizonte de acontecimentos. Se a diferença de acelerações entre a proa e a popa é o suficientemente intensa, a nave pode chegar a distorsionarse e avariar-se definitivamente.

O gradiente gravitatorio é também responsável pelo ciclo de marés: As zonas da terra mais próximas à Lua, experimentam uma maior atração gravitatoria que as mais longínquas a ela, o que provoca que a água do mar se acumule naquelas áreas da superfície terrestre que estão alinhadas com a Lua.

Em relatividad geral, a aceleração de maré vem originada pelo tensor de Riemann. Há uma correspondência quase natural entre as equações newtonianas e as relativistas. Efectivamente, a equação newtoniana utilizada para computar as forças de maré é a seguinte:

$a^i = \Phi_{,ii}\xi^i$

onde a é a aceleração de maré, $\Phi$ o potencial gravitatorio e $\xi$ a distância entre as duas partículas. As forças de maré vêm determinadas pelas derivadas de segunda ordem do potencial gravitatorio.

Desde o ponto de vista relativista, as forças de maré vêm determinadas pelo tensor de Riemann e se a região do espaço tem uma escassa densidade de cuadrimomento e uma distribuição uniforme da curvatura, os componentes aquele tomam aproximadamente os valores seguintes:

$R^i_{0i0} \approx \Phi_{, ii}$

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} \approx 0$ para o resto dos índices

Demonstração

As expressões que relacionam o tensor de Riemann com os símbolos de Christoffel são as seguintes:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu ,\mu} - \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu ,\nu} + \Gamma^{\sigma}_{\beta\nu}\Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu} -\Gamma^{\rho}_{\beta\mu}\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu}$

Em um marco de Lorentz, onde se fazem nulos os coeficientes dos símbolos de Christoffel mas não assim suas primeiras derivadas, a fórmula para o cálculo do tensor de curvatura fica simplificada:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu ,\mu} - \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu ,\nu}$

Se o espaço-tempo é newtoniano ou cuasinewtoniano (pouca densidade de cuadrimomento, fluídos não relativistas) os únicos coeficientes não nulos dos símbolos de Christoffel são os correspondentes a . $\Gamma^{i}_{00}$ Temos pois:

$\Gamma^{i}_{00} = \Phi_{,i}$ caso contrário $\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu} = 0$

$R^{i}_{0i0} = \Gamma^{i}_{00,i} - \Gamma^{i}_{0i,0}$

$R^{i}_{0i0} = \Gamma^{i}_{00,i}$

$R^{i}_{0i0} = \Phi_{,ii}$

Daí que seja muito simples deduzir a equação clássica partir da relativista:

$\frac{d^2\xi^{i}}{d\tau^2} = R^{i}_{0i0}u^{0} \xi^{i} u^{0} \to a^i = \Phi_{,ii}\xi^i$

Como se pode deduzir dos parágrafos anteriores, em relatividad geral as forças de maré estão determinadas pelo tensor de Riemann e as primeiras derivadas dos símbolos de Christoffel. Se estas magnitudes têm um valor não nulo, o diferencial dos símbolos de Christoffel provoca a dispersión das geodésicas correspondentes a partículas de um fluído determinado.

$\ \partial \Gamma^\alpha_{\beta\mu} \not = 0$

$\ \frac{du^\alpha}{d\tau} = -\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$

As geodésicas (trajectórias inerciales no espaço-tempo) vêm determinadas pelos valores dos símbolos de Christoffel. Se estes são constantes, as partículas de um fluído se movem uniformemente, a uma mesma velocidade e aceleração, e não se altera sua distância entre si. Mas se os componentes dos símbolos de Christoffel variam ao longo de uma determinada região, isso implica a divergência das linhas de universo e a distorsión do fluído, na medida em que a cada uma de suas partes constituintes acelera distintamente.

Nesta recreación artística reproduzem-se o planeta e os dois cintos de asteróides que orbitam ao redor da estrela Épsilon Eridani.

As forças de maré e o tensor de Riemann têm uma importância fundamental na formação e configuração dos sistemas planetarios, bem como em multidão de processos astrofísicos e cosmológicos. Sirva de exemplo nosso próprio Sistema Solar: Faz cerca de 4.500 milhões de anos, uma nuvem molecular atingiu a densidade e a compressão suficientes como para transformar em um sistema planetario. A maior parte do material da nuvem precipitou-se sobre em torno do núcleo, dando lugar ao Sol. No entanto, certas quantidades de gás e de pó continuaram rotacionando baixo a forma de um disco de acreción, e aglutinaram-se para dar origem a planetesimales e posteriormente a planetas.

O sistema planetario da estrela HD 69830 vem composto por um em massa cinto de asteróides e por três exoplanetas de massa neptuniana cujos efeitos gravitatorios dispersam as linhas de universo dos asteróides, impedindo que se agreguem para formar novos planetas.

No entanto, na zona situada entre Marte e Júpiter, os tensores de Riemann correspondentes às massas do Sol e de Júpiter geraram umas intensas forças de maré que dispersaram as linhas de universo dos planetesimales ali situados, impedindo que se agregassem entre si para dar lugar a um corpo em massa. Os planetesimales permanecessem dispersos baixo a forma de um cinto de asteróides. Este fenómeno que acaba de se descrever não é exclusivo de nosso Sistema Solar, senão que tem sido observado em multidão de sistemas exoplanetarios descobertos desde princípios dos anos noventa até a actualidade, como os mostrados nas ilustrações desta secção.

As forças de maré também possuem certa importância no desenvolvimento de outros fenómenos astronómicos como as supernovas de tipo II, deflagraciones cósmicas que costumam ter lugar no marco de sistemas estelares dobros. Efectivamente, nos sitemas binários é frequente que uma estrela em massa orbite ao redor de uma anã branca. Se o tamanho da primeira ultrapassa o limite de Roche, o tensor de Riemann $R^{i}_{0i0}$ gerado pela massa da anã branca extrai material das capas exteriores de sua colega e precipita-o sobre a anã branca, em torno da qual dito material orbita formando um disco de acreción. O plasma fica submetido a enormes temperaturas que provocam a emissão de raios X e o aparecimento de explosões periódicas conhecidas com o nome de supernovas de tipo II.

O significado físico do tensor de Ricci

Na ilustração reproduzem-se os efeitos do tensor de Ricci (concretamente seu componente $R^{00}$ ) sobre um volume tridimensional esférico: conforme aumenta o tempo, dito volume reduz-se. O autor da imagem permitiu-se a seguinte licença: Ainda que os eixos de coordenadas representam duas dimensões espaciais e uma temporária, o volume da esfera está definido por três dimensões espaciais.

Segundo a teoria da gravitación universal, uma massa esférica de gás reduz seu volume (como consequência da atração recíproca de suas moléculas) com uma aceleração equivalente a :. $4G\pi \rho\;$

$\Delta V =4\pi G \rho\;$

É evidente, que dita equação não é compatível com a relatividad especial, pelas razões reseñadas anteriormente:

O parámetro $\rho\,$ , que mede a densidade de massa, tem de ser substituído pelo tensor de energia-tensão $T^{\alpha \beta}\,$ , que permanece invariável ante as transformações de Lorentz e tem em conta os efeitos gravitatorios da energia e a pressão, e não só os da massa.
Por outro lado, segundo a teoria da relatividad geral, os efeitos gravitatorios não são causados por nenhum tipo de força misteriosa" senão pela curvatura do espaço tempo.

Neste sentido, cabe assinalar que em um espaço-tempo curvo a aceleração do volume vem quantificada por um objecto geométrico específico, o tensor de Ricci $R^{\alpha \beta}\,$ , que pode se definir como a aceleração coordenada do hipervolumen $\Pi_\beta$ , normal ao vetor unitário $e_\beta\,$ . Deste modo, o componente $R^{00}\,$ expressa a aceleração temporária do volume tridimensional:

$\ R^{00} = \frac{d^2 \Pi_0}{d(x^0)^2} \quad \Rightarrow \quad R^{00} = \nabla^2 V$

A relação entre o tensor métrico e o tensor de Ricci expressa-se através da chamada equação de fluxo de Ricci, que tem a forma seguinte:

$\part_t g_{\alpha\beta} = -2R_{\alpha\beta}\,$

Segundo esta equação, a existência de valores positivos do tensor de Ricci implica a diminuição ao longo do tempo dos coeficientes do tensor métrico, e como consequência disso a diminuição dos volumes nessa região da variedade. Pelo contrário, a presença de valores negativos no tensor de Ricci leva consigo uma expansão progressiva das distâncias, as superfícies e os volumes.

Por todo o dito, os tensores de energia-momentum e de Ricci permitiam expressar de maneira tensorial e covariante a fórmula de Poisson, e daí que originalmente Einstein propusesse as seguintes equações de universo:

$\ R^{\alpha\beta} = \frac{4G\pi}{c^2} T^{\alpha\beta}$

Em relatividad geral, o tensor de Ricci tem a particularidad de representar aqueles efeitos gravitatorios originados pela presença imediata de cuadrimomento, que são com grande diferença os mais importantes a grande escala.

O tensor de Ricci rege, pois, a maior parte dos processos astrofísicos que têm lugar a amplas escalas: constitui uma medida da contracção de nuvens moleculares que dão lugar ao nascimento de estrelas e planetas; quantifica o colapso dos grandes corpos estelares e sua conversão em anãs brancas, estrelas de neutrones e buracos negros; e proporciona uma medida da expansão do universo.

Do tensor de Ricci, particularmente da forma que toma nos campos gravitatorios esféricos (como as estrelas estáticas),^[7] se deriva a chamada Lei de equilíbrio hidrostático, que regula o equilíbrio entre a pressão do fluído estelar^[8] (que tende a expandir o volume da estrela) e a curvatura gravitatoria (que o contrai). Este equilíbrio mantém-se praticamente durante toda a vida da estrela e só se rompe em duas ocasiões diferentes: 1) Quando a estrela devém em uma gigante vermelha, em cujo caso os efeitos da pressão de radiación^[9] desbordan os do tensor de Ricci, e como resultado, o volume da estrela se expande até atingir uma nova situação de equilíbrio. 2) Quando a estrela esgota seu combustível. Produz-se então um descenso na pressão do fluído, e a estrela, bem se transforma em uma anã branca, em uma estrela de neutrones, ou bem colapsa definitivamente convertendo em um buraco negro.

As equações de Universo de Einstein

Einstein teve cedo que modificar ligeiramente suas equações de universo, pois estas não eram compatíveis com a lei da conservação da energia [Demonstração 1]. Isto constriñó a Einstein a modificar suas equações de Universo, que adquiriram sua forma definitiva depois da publicação em 1915 do artigo Aplicação da teoria da relatividad geral ao campo gravitatorio:^[10]

$R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\alpha \beta}$

Demonstração 1

Efectivamente, a derivada covariante do tensor de energia-momentum de qualquer fluído é zero:

$\ \nabla_\beta T^{\alpha \beta} = 0$

No entanto, das identidades de Bianchi deduze-se que a derivada covariante do tensor de Ricci é em general não nula:

$R^{\alpha}_{\beta ( \mu \nu \sigma )} = 0 \to R^{\alpha}_{\beta \mu \nu , \sigma} + R^{\alpha}_{\beta \sigma \mu , \nu} + R^{\alpha}_{\beta \nu \sigma , \mu} = 0$

$\ \nabla_\beta (R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha \beta}R) = 0 \to \nabla_\beta R^{\alpha \beta} \not = 0$

O que conduz ao descarte de qualquer tipo de relação de proporcionalidade entre o tensor de Ricci e o tensor de tensão energia:

$R^{\alpha \beta} \not = kT^{\alpha \beta}$

Onde $R^{\alpha \beta}\,$ é o tensor de Ricci, $g^{\alpha \beta}\,$ o tensor métrico, $R\,$ o escalar de Ricci, $G\,$ a constante de gravitación universal e $T^{\alpha \beta}\,$ o tensor de energia-impulsiono. O membro esquerdo da equação recebe o nome genérico de tensor de Einstein, representa-se com a anotação $G^{\alpha \beta}\,$ e satisfaz as mesmas relações de conservação que o tensor de tensão-energia:

$\nabla_{\beta}G^{\alpha \beta} = \nabla_{\beta} \left( R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R \right) = 0, \qquad \ G^{\alpha \beta} = kT^{\alpha \beta}$

Tendo em conta que o escalar de curvatura $R$ é proporcional à traça do tensor de Einstein $G^\alpha_\alpha\,$ , as equações de universo de Einstein podem reformular da maneira seguinte:

$\ -R = G^\alpha_\alpha = \frac{8\pi G}{c^4}T$

$\ R_{\alpha \beta} = \frac{8\pi G}{c^4} \left( T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T \right)$

Aplicação a fluído perfeito

Corrente de chorro emanando do centro de uma galaxia.

Em um fluído não relativista,^[11] como uma nebulosa ou uma estrela da sequência principal, todos os componentes do tensor de energia-impulsiono são nulos ou de muito pouca importância, salvo o elemento $T_{00} = \rho c^2\,$ , que corresponde à densidade de massa e que é o único que contribui sensivelmente à atração gravitatoria e à curvatura do espaço tempo. Se desejamos medir a contracção de volume produzida pela massa-energia presente a uma determinada região, temos de aplicar as equações de universo de Einstein:

$\ R_{00} = \frac{8\pi G}{c^2} \left(T_{00} - \frac{1}{2} g_{00}T \right)$

Se o observador está situado em repouso com respeito ao fluído em questão, podemos multiplicar ambos lados da equação por dois vetores temporários de coordenadas $(1,0,0,0)\,$ :

$R_{00}dx^0dx^0 = \frac{8\pi G}{c^2} \left(T_{00} - \frac{1}{2} g_{00}T \right)dx^0dx^0$

Depois disso obtemos:

$\nabla^2 V = \frac{8\pi G}{c^2} \left(\rho - \frac{\rho c^2 - 3P}{2c^2} \right) = 4\pi G \left(\rho - 3\frac{P}{c^2} \right)$

Onde $P\,$ é a pressão do fluído, que em general é muito pequena comparada com $\rho c^2\,$ , pelo que temos é uma ligeira correcção da anteriormente citada fórmula newtoniana. Como vemos, a atração gravitatoria vem determinada não só pela massa-energia senão também pela pressão, ainda que a contribuição desta é $c^2$ inferior à da primeira. Por isso, nas regiões do espaço tempo submetidas a baixas pressões e temperaturas, como as nebulosas ou nosso Sistema Solar, a massa é praticamente a única fonte de atração gravitatoria e por isso as equações da gravitación universal newtonianas constituem uma muito boa aproximação da realidade física. Em mudança, em fluídos submetidos a altas pressões, como as estrelas que se colapsan, a matéria que se precipita nos buracos negros ou os chorros que são expelidos dos centros das galaxias; em todos eles a pressão pode ter certa importância à hora de computar a atração gravitatoria e a curvatura do espaço tempo.

O tensor de Weyl

É importante notar que, posto em um espaço-tempo de quatro dimensões, o tensor pleno de curvatura contém mais informação que a curvatura de Ricci. Isso significa que as equações do de campo anteriores, com Λ = 0, não especificam completamente o tensor de curvatura senão uma parte do mesmo, o tensor de Ricci. A parte da curvatura não especificada pelas equações de Einstein, coincide precisamente com o tensor de Weyl.

A constante cosmológica

Veja-se também: Constante cosmológica

Desde o princípio Einstein apreciou que matematicamente o membro direito de sua equação de campo podia incluir um termo proporcional ao tensor métrico sem que se violasse o princípio de conservação da energia. Ainda que inicialmente não incluiu dito termo, já que não parecia ter uma interpretação física razoável; mais tarde incluiu-o. Isto se deveu a que em suas primeiras tentativas de encontrar soluções exactas às equações de campo considerou que o que hoje conhecemos como modelo estacionário de Einstein. Eintein apreciou que essa solução, explicava adequadamente os dados disponíveis em seu tempo, e correspondia a um universo estático similar aos dados observados. No entanto, dita solução era instável matematicamente o qual não parecia corresponder com a estabilidade física observable, e se deu conta de que com o termo proporcional à métrica a solução podia ser similar mas desta vez estável.

Por essa razão Einstein introduziu em suas equações um termo proporcional ao tensor métrico. Sendo a constante de proporcionalidade precisamente a constante cosmológica. O trabalho de vários cientistas (FLRW): Alexander Friedman, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson e Arthur Geoffrey Walker, provou que existiam soluções estáveis não estacionários sem o termo proporcional à constante cosmológica. E ainda que Einstein inicialmente tinha recusado o trabalho de Friedman por descrever um universo em expansão que não parecia ser descritivamente adequado a um universo que ele cria estacionário, os dados do corrimiento ao vermelho do astrónomo Edwin Hubble só pareciam explicables mediante um modelo de universo em expansão. Isto convenceu a Einstein de que a solução FLRW era aliás correcta e descritivamente adequada e por tanto a constante cosmológica desnecessária.

Recentemente a evidência da aceleração da expansão do Universo têm levado a reintroducir a constante cosmológica diferente de zero como uma das possíveis explicações do fenómeno.

Resumem

**Significado físico dos diferentes tensores da Relatividad geral**
Tensor	Anotação	Significado físico
Derivada ordinária	$\frac{du^\alpha}{d\tau}$	Aceleração medida por um observador externo em repouso
Derivada covariante	$\nabla_{\vec u} \vec u$	Aceleração inercial medida por um observador comóvil, situado na própria linha de universo do corpo observado
Tensor métrico	$\ g_{\alpha\beta}$	Distância (ou, se for o caso, intervalo) entre dois pontos (eventos) do espaço(-tempo)
Tensor de tensão energia	$\ T_{\mu\nu}$	Presença imediata de cuadrimomento em uma região do espaço tempo
Tensor de Riemann	${R^\alpha}_{\beta\mu\nu}$	Aceleração recíproca de duas linhas de universo
Tensor de Ricci	$\ R_{\mu\nu}$	Aceleração de um volume (3 dimensões) ou um hipervolumen (4 dimensões)
Escalar de Ricci	$\ R$	Aceleração da superfície que encerra dito volume ou hipervolumen
Tensor de Weyl	$\ C^\alpha_{\beta\mu\nu}$	Forças de maré geradas pelas ondas gravitatorias

**Principais equações da relatividad geral**
Denominação	Desenvolvimento	Significado físico
Equações de universo de Einstein		Contracção de um fluído como consequência da presença imediata de cuadrimomento
Equação das linhas geodésicas		Movimento de um sistema inercial no espaço-tempo
Desvio geodésica		Forças de maré entre duas partículas que caem em um mesmo campo gravitatorio

Soluções das equações de campo de Einstein

Matematicamente as equações de campo de Einstein são complicadas porque constituem um sistema de 10 equações diferenciais não lineares independentes. A complexidade de dito sistema de equações e as dificuldades associadas para propor o problema como um problema de valor inicial bem definido, fizeram que durante muito tempo só se contasse com um punhado de soluções exactas caracterizadas por um alto grau de simetría. Na actualidade conhecem-se algumas centenas de soluções exactas das equações de Einstein.

Historicamente a primeira solução importante foi obtida por Karl Schwarzschild em 1915, esta solução conhecida posteriormente como métrica de Schwarzschild, representa o campo criado por um astro estático e com simetría esférica. Dita solução constitui uma muito boa aproximação ao campo gravitatorio dentro do sistema solar, o qual permitiu submeter a confirmação experimental a teoria geral da relatividad se explicando feitos previamente não explicados como o avanço do perihelio de Mercurio e predizendo novos factos mais tarde observados como a deflexão dos raios de luz de um campo gravitatorio. Ademais as particularidades desta solução conduziram à descoberta teórica da possibilidade dos buracos negros, e abriu-se todo uma nova área da cosmología relacionada com eles. Lamentavelmente o estudo do colapso gravitatorio e os buracos negros conduziu à predição das exclusividades espaciotemporales, deficiência que revela que a teoria da relatividad geral é incompleta.

Algumas outras soluções fisicamente interessantes das equações de Einstein são:

A métrica de Kerr que descreve o campo gravitatorio de um astro em rotação. Esta solução baixo certas circunstâncias também contém um buraco negro de Kerr.
A métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, realmente é um conjunto paramétrico de soluções associadas à teoria do Big Bang que é capaz de explicar a estrutura do universo a grande escala e a expansão do mesmo.
O universo de Gödel, que em sua forma original não parece describrir um universo realista ou parecido ao nosso, mas cujas propriedades matematicamente interessante constituíram um estímulo para procurar soluções mais gerais das equações para ver se certos fenómenos eram ou não peculiares das soluções mais singelos.

Por outra parte, o espaço-tempo empregado na teoria especial da relatividad, chamado espaço de Minkowski é em si mesmo uma solução das equações de Einstein, que representa um espaço-tempo vazio totalmente de matéria.

Fora das soluções exactas e a efeitos comparativos com a teoria de campo gravitatorio também é interessante a aproximação para campos gravitatorios débis e as soluções em formadas de ondas gravitatorias.

Não linealidad

Quando Einstein formulou em 1915 as equações de universo da Relatividad geral, o científico alemão pensou, em um princípio, que ditas equações eram insolubles devido a seu carácter não linear, que se manifestava tanto desde um ponto de vista físico como desde outro matemático:

No plano estritamente físico, a não linealidad das equações de campo de Einstein se deriva do mútuo condicionamiento entre o tetramomentum e a curvatura do espaço tempo. Assim, a densidade de massa, contida no coeficiente $\ T^{00}$ , provoca uma contracção (parametrizada através de ) $\ R^{00}$ do volume tridimensional que de novo volta a alterar a densidade de massa, e assim sucessivamente. Este movimento cíclico recorda à autoinductancia o electromagnetismo e não costuma ter importância em campos gravitatorios de baixa intensidade, mas sim tem de se ter em conta no cálculo das perturbaciones gravitatorias originadas por uma alta concentração local de tetramomentum, como sucede no caso dos buracos negros ou os fluídos relativistas.

Desde um ponto de vista matemático, o membro esquerdo da igualdade $R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}Rg_{\alpha\beta} = kT_{\alpha\beta}$ contém tanto funções lineares como derivadas de primeiro e de segunda ordem do tensor métrico $\ g_{\alpha\beta}$ , o que faz impossível despejar os coeficientes deste último a partir dos valores do tensor de energia momentum $\ T_{\alpha\beta}$ . Não é possível, pois, construir uma função de tipo $f:T_{\alpha\beta} \to g_{\alpha\beta}$ .

Soluções para coordenadas esféricas: Campo exterior

Artigo principal: Métrica de Schwarzschild

Para surpresa de Albert Einstein, poucas semanas após a publicação de suas equações de campo chegou a seu despacho um correio de Karl Schwarzschild, um professor universitário que nesses momentos se encontrava na frente da I guerra mundial, realizando trabalhos de balística para as unidades de artilharia do exército alemão. Nessa histórica carta continham-se as primeiras soluções exactas das equações da relatividad geral, que seriam conhecidas pela posteridad com o nome genérico de Solução de Schwarzschild.

O princípio sobre o que girava dita solução era o seguinte: Dado que o Princípio da Covariancia Geral permitia fazer funcionar as equações de campo da relatividad geral em qualquer sistema de coordenadas, Schwarzschild procedeu a calcular os valores dos tensores de energia-momento e de Einstein em coordenadas espaço-temporários esféricas $\ (\theta,\phi,r,t)$ . O alto grau de simetría proporcionado por dito sistema de coordenadas, bem como o carácter estático da métrica, permitiram integrar directamente o conjunto de equações diferenciais. Sendo no caso geral o tensor métrico para um problema com simetría esférica da forma:

(SE) $ds^2 = -f(r)dt^2 + h(r)dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2d\phi^2)\,$

Para o espaço a parte exterior de um astro esférica mais concretamente tinha-se:

$f(r) = \frac{1}{h(r)} = \left(1 + \frac{2GM}{c^2 r} \right)$

As verificações experimentaqles mostraram que a métrica de Schwarzschild descreve com enorme precisão o que sucede em sistemas esféricos estáticos, similares ao sistema solar.

Soluções para coordenadas esféricas: Equilíbrio estelar

Artigo principal: Estrutura estelar

A massa do Sol, bem como seu volume e sua temperatura mantiveram-se estáveis durante milhões de anos.

As equações de um campo com simetría esférica (SE) permitem também estudar a curvatura no interior das estrelas em massa. O resultado dessa análise, é que para estrelas da sequência principal do diagrama de Hertzsprung-Russell, a curvatura originada pela gravidade é compensada pela pressão da matéria estelar. Essa compensação conduz a uma lei de equilíbrio hidrostático que faz que a estrela, ainda submetida a seu próprio campo gravitatorio, possa manter durante milhões de anos seu volume e sua densidade a níveis constantes. Matematicamente, o facto de que a métrica tenha um carácter estático implica os valores do tensor $\ T_{\alpha\beta}$ se mantenham estáveis no tempo. A lei de equilíbrio hidrostático que relaciona a densidade e a pressão em uma estrela esférica vem dada por equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff:

$\frac{dP}{dr} = -G \left(\frac{P+\rho c^2}{r}\right) \left(\frac{mc^2+4\pi r^3P}{c^2r-2Gm}\right)$

Onde:

$P(r), \rho(r)\,$ são a pressão e a densidade a uma distancia r do centro do astro.

$m(r) = \int_0^r \rho(\bar{r})\ 4\pi\bar{r}^2d\bar{r}$ é a massa encerrada em uma esfera de rádio r.

Soluções para coordenadas esféricas: Colapso gravitatorio

A solução de Schwarzschild permitiu aplicar os postulados da relatividad geral a disciplinas como a mecânica celeste e a astrofísica, o qual supôs uma verdadeira revolução no estudo da cosmología: Mal seis anos após a publicação dos trabalhos de Einstein, o físico russo Aleksander Fridman introduziu o conceito de exclusividade espaço temporal, definido como um ponto do espaço tempo no que confluyen todas as geodésicas das partículas que tinham atravessado o horizonte de acontecimentos de um buraco negro. Em condições normais, a curvatura produzida pela massa dos corpos e as partículas é compensada pela temperatura ou a pressão do fluído e por forças de tipo electromagnético, cujo estudo é objecto da física de fluídos e do estado sólido. No entanto, quando a matéria atinge certa densidade, a pressão das moléculas não é capaz de compensar a intensa atração gravitatoria. A curvatura do espaço tempo e a contracção do fluído aumentam a cada vez a maior velocidade: o final lógico deste processo é o surgimiento de uma exclusividade, um ponto do espaço tempo onde a curvatura e a densidade de tetramomentum são infinitas.

Agora bem, o físico Subrahmanyan Chandrasekhar foi o primeiro em se dar conta que a gravidade podia ser contida não só por forças de tipo mecânico, senão também por um fenómeno de origem cuántico ao que chamou pressão de degeneração, derivado do princípio de exclusão de Pauli e que era capaz de sustentar a estrelas cuja massa não superasse o limite de Chandrasekhar. Estas ideias tão audazes custaram-lhe caras a seu autor, que foi ridiculizado em público por Sir Arthur Eddington durante um congresso de astrónomos. No entanto, os cálculos de Chandrasekhar revelaram-se certeros, e serviram de base para o entendimento de um tipo estelar cuja natureza física até então era desconhecida: a anã branca.

Aproximações em coordenadas harmônicas

Dado que pára muitos sistemas físicos não resulta singelo obter as expressões exactas das soluções das equações de Einstein, os físicos teóricos têm desenvolvido aproximações bastante precisas empregando séries de potências. Dentre elas as mais importantes funcionam em coordenadas harmônicas e recebem os nomes de aproximação posnewtoniana e aproximação para campos gravitatorios débis.

Em virtude do princípio da covariancia geral, já examinado em secções anteriores, é possível fazer funcionar às equações de universo de Einstein em qualquer tipo de coordenadas, incluídas as harmônicas, que são aquelas nas que se cumpre a relação $\Gamma^{\lambda} = g_{\alpha\beta}\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta} = 0$ (como, por exemplo, no caso das coordenadas cartesianas). Faz-se necessário neste ponto distinguir com clareza entre os conceitos de planitud do espaço tempo e armonicidad de um sistema de coordenadas: em uma espaço tempo de curvatura nula, como o espaço-tempo de Minkowski, é possível utilizar coordenadas não-harmônicas como as esféricas ou as cilíndricas, sem que isso implique que o espaço se curve, já que a curvatura é uma qualidade instrínseca de qualquer variedade e independente de nosso sistema de referência.

Ondas gravitatorias. A solução no vazio da aproximação para campos gravitatorios débis ( $\nabla^2 h_{\alpha\beta} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 h_{\alpha\beta}}{\partial t^2}$ ) tem uma estrutura similar à equação diferencial de ondas de d'Alembert, do que se deduze que as perturbaciones da métrica têm uma natureza ondulatoria e se transmitem através do espaço tempo à velocidade da luz.

Para campos gravitatorios pouco intensos, como os existentes no espaço interestelar, é recomendável utilizar a chamada aproximação para campos débis, que é, como veremos, muito similar em sua estrutura à fórmula de Poisson newtoniana, conquanto as diferenças com esta última são enormes.

A fórmula de Poisson afirma que o laplaciano do potencial gravitatorio $\Phi$ tanto faz $4G\pi$ :

$\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho \to \Phi (x,t) = \int_V \frac{G\rho (x',t)}{r}dV$

Na imagem reproduzem-se as ondas gravitatorias emitidas por uma estrela durante sua colapso.

Esta fórmula propõe um grave inconveniente, e é que presupone o princípio de acção a distância: Não tem em conta o retardo na medida do campo gravitatorio realizada por um determinado observador (ponhamos, um observador na terra) situado a certa distância à massa do corpo que gera dito campo gravitatorio (p.e. o Sol, situado a 8 minutos luz de nosso planeta).

Daí que um das primeiras tentativas de compatibilizar a teoria da Relatividad Especial e a Gravitación Universal consistisse em substituir o laplaciano da fórmula de Poisson por um d'Alembertiano, uma de cujas soluções é, precisamente, um potencial retardado:

$\Box^2 \Phi = 4\pi G\rho \to \Phi (x,t) = \int_V \frac{G\rho (x',t-\frac{r}{c})}{r}dV$

Como vemos, o potencial gravitatorio medido pelo observador no tempo t, é proporcional à densidade de massa que tem o corpo estelar observado no tempo t - r/c, onde c é a velocidade da luz, r é a distância entre o observador e o objecto e r/c é o retardo, isto é, o tempo que a luz demora em deslocar desde a estrela em questão até o observador.

Agora bem, a relatividad geral é uma teoria métrica da gravidade, e explica os fenómenos gravitatorios em termos de perturbaciones da métrica. É conveniente, por tanto, introduzir em nossa equação o pseudotensor $\ h_{\alpha\beta}$ , que representa o desvio dos coeficientes do tensor métrico com respeito à métrica de Minkowski $\ \eta_{\alpha\beta}$ . Aplicando o limite newtoniano, em cuja virtude $\ g_{\alpha\beta}$ tanto faz a , $\ 1 + 2\Phi$ obtemos o resultado seguinte:

$\ g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta} + h_{\alpha\beta}$

$h_{\alpha\beta} = 2\Phi \to \Box^2 h_{\alpha\beta} = 8\pi G\rho$

$\ \Box^2 h_{\alpha\beta} = 16\pi G (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)$

Fórmula de Poisson	$\ \nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho$
Aproximação para campos débis	$\ \Box^2 h_{\alpha\beta} = 16\pi G (T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T)$

A grandes rasgos, a substituição do laplaciano $\nabla^2$ pelo d'alembertiano $\Box^2$ vem exigida pela obrigada eliminação do princípio de acção a distância; o emprego do pseudotensor $\ h_{\alpha\beta}$ em lugar do potencial $\ \Phi$ como elemento definitorio do campo gravitatorio é uma consequência da do carácter métrico da teoria da relatividad geral; e finalmente, a eliminação, no lado direito da equação, do parámetro $\ \rho$ e sua substituição pela expressão tensorial $T_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}T$ vem exigida pelo princípio da covariancia geral.

A aproximação posnewtoniana permite aos astrónomos calcular com soma precisão a posição e o movimento dos planetas do Sistema Solar, tendo em conta os efeitos relativistas.

No entanto, na análise da evolução de sistemas astronómicos como o solar ou o formado por estrelas duplas ou tripoles, a aproximação para campos débis não é útil, já que o uso desta última se restringe a zonas do espaço tempo com pouca densidade de tetramomentum. Nestes casos é preferida a aproximação posnewtoniana que como seu próprio nome indica prescinde do emprego da complexa anotação do cálculo tensorial e descreve o movimento dos corpos celestes utilizando os conceitos matemáticos que empregou o próprio Newton à hora descrever as leis da mecânica e da gravitación universal (vetores, gradientes, etc.).

Nos séculos XVIII e XIX, astrónomos como Laplace e Lhe Verrier tinham aplicado os postulados da mecânica newtoniana ao estudo da evolução do Sistema Solar, obtendo uns resultados muito fructuosos: A precisão dos cálculos astronómicos obtidos tinha permitido inclusive prever a existência de um planeta até então nunca observado pelos astrónomos, Neptuno. Por este motivo não é de estranhar que quando a relatividad geral obteve pleno reconhecimento, se desenvolvesse por parte dos astrofísicos uma aproximação que seguisse em sua estrutura o modelo newtoniano e que fosse facilmente aplicável tanto pelos astrónomos como pelos computadores.

De acordo com a teoria clássica da gravitación, a aceleração de um corpo em queda livre é o gradiente negativo do potencial gravitatorio:

$a = -\nabla\phi$

Como já se avançou em secções anteriores, esta fórmula presupone a assunção do princípio newtoniano de acção a distância, contrário aos postulados da Relatividad Especial, e ademais não tem em conta os efeitos gravitatorios gerados pela energia e pelo momentum. A aproximação posnewtoniana soslaya estes inconvenientes introduzindo outros dois novos potenciais: o potencial $\ \psi$ , que constitui uma aproximação em segundo grau do potencial $\ \phi$ e o potencial $\ \zeta$ , derivado da presença de momentum no fluído.

**Potenciais da aproximação posnewtoniana**
Anotação	Expressão Algébrica	Significado físico
$\ \phi$	$\ \phi = -\int\frac{G\rho}{r}dV$	Potencial newtoniano (densidade de massa)
$\ \psi$	$\ \psi = [\frac{1}{4\pi}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + G(E_k + E_p) + G(E_k)]$	Retardo do potencial newtoniano, densidade de energia
$\ \zeta$	$\ \zeta = -4G\int\frac{P}{r}dV$	Potencial derivado do momentum

As equações de movimento ficariam reformuladas da seguinte forma:

$a = -\nabla(\phi +\frac{2\phi^2}{c^2} +\psi) - \frac{1}{c}\frac{\partial\zeta}{\partial t} + \frac{v}{c} \times (\nabla \times \zeta) + \frac{3}{c^2}v\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{4}{c^2}v(v\cdot\nabla)\phi -\frac{v^2}{c^2}\nabla\phi$

$a = -\nabla\phi + \eta$

$\eta = -\nabla(\frac{2\phi^2}{c^2} +\psi) - \frac{1}{c}\frac{\partial\zeta}{\partial t} + \frac{v}{c} \times (\nabla \times \zeta) + \frac{3}{c^2}v\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{4}{c^2}v(v\cdot\nabla)\phi -\frac{v^2}{c^2}\nabla\phi$

Soluções relacionadas com os modelos de Universo

Existem um verdadeiro número de soluções exactas das equações que descrevem um universo completo e por tanto podem ser consideradas modelos cosmológicos entre elas destacam:

Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, que descreve um tipo de universo homogéneo, isótropo e em expansão e pode se considerar uma primeira aproximação da forma de nosso universo a grande escala.
Universo de Gödel, obtida pelo matemático Kurt Gödel representa um universo homogéneo e isótropo com matéria em rotação. Ainda que não se considera que descreva um universo similar ao nosso tem a importante propriedade de conter curvas temporárias fechadas que representam um exemplo contraintuitivo onde um observador pode viajar a seu próprio passado sem violar nenhuma lei física conhecida.

Predições da relatividad geral

A mais famosa das primeiras verificações positivas da teoria da relatividad, ocorreu durante um eclipse solar de 1919, que se mostra na imagem tomada por Sir Arthur Eddington desse eclipse, que foi usada para confirmar que o campo gravitatorio do sol curvava os raios de luz de estrelas situadas depois dele.

Considera-se que a teoria da relatividad geral foi comprovada pela primeira vez na observação de um eclipse total de Sol em 1919 , realizada por Sir Arthur Eddington, na que se punha de manifesto que a luz proveniente de estrelas longínquas se curvava ao passar cerca do campo gravitatorio solar, alterando a posição aparente das estrelas próximas ao disco do Sol. Desde então muitos outros experimentos e aplicações têm demonstrado as predições da relatividad geral. Entre algumas das predições encontram-se:

Efeitos gravitacionales

Desvio gravitacional de luz para o vermelho em presença de campos com intensa gravidade: A frequência da luz decrece ao passar por uma região de elevada gravidade. Confirmado pelo experimento de Pound e Rebka (1959).
Dilatación gravitacional do tempo: Os relógios situados em condições de gravidade elevada marcam o tempo mais lentamente que relógios situados em um meio sem gravidade. Demonstrado experimentalmente com relógios atómicos situados sobre a superfície terrestre e os relógios em órbita do Sistema de Posicionamento Global (GPS por suas siglas em inglês). Também, ainda que se trata de intervalos de tempo muito pequenos, as diferentes provas realizadas com sondas planetarias têm dado valores muito próximos aos preditos pela relatividad geral.
Efeito Shapiro (dilatación gravitacional de deslocamentos temporários): Diferentes sinais atravessando um campo gravitacional intenso precisam maior tempo para atravessar dito campo.
Decaimiento orbital devido à emissão de radiación gravitacional. Observado em púlsares binários.
Precesión geodésica: Devido à curvatura do espaço tempo, a orientação de um giroscopio em rotação mudará com o tempo. Isto está a ser posto a prova pelo satélite Gravity Probe B.

Efeitos rotatórios

Isto implica o comportamento do espaço tempo ao redor de um objecto em massa rotante.

Atrito do marco de referência. Um objecto em plena rotação vai arrastar consigo ao espaço tempo, causando que a orientação de um giroscopio mude com o tempo. Para uma nave espacial em órbita polar, a direcção deste efeito é perpendicular à precisão geodésica.
O princípio de equivalencia forte: inclusive objectos que gravitan em torno deles mesmos vão responder a um campo gravitatorio externo na mesma maneira que uma partícula de prova fá-lo-ia.

Outros efeitos

Gravitones: De acordo com a teoria cuántica de campos, a radiación gravitacional deve ser composta por quantos chamados gravitones. A relatividad geral prediz que estes serão partículas de espín 2. Ainda não têm sido observados.

Verificações

A teoria da relatividad geral tem sido confirmada em numerosas formas desde seu aparecimento. Por exemplo, a teoria prediz que a linha do universo de um raio de luz se curva nas proximidades de um objecto em massa como o Sol. A primeira verificação empírica da teoria da relatividad foi a este respecto. Durante os eclipses de 1919 e 1922 organizaram-se expedições científicas para realizar essas observações. Depois compararam-se as posições aparentes das estrelas com suas posições aparentes em alguns meses mais tarde, quando apareciam de noite, longe do Sol. Einstein predisse uma deslocação aparente da posição de 1,745 segundos de arco para uma estrela situada justo na borda do Sol, e deslocações a cada vez menores das estrelas mais distantes. Demonstrou-se que seus cálculos sobre a curvatura da luz em presença de um campo gravitatorio eram exactos. Nos últimos anos levaram-se a cabo medidas semelhantes do desvio de ondas de rádio procedentes de quásares distantes, utilizando interferómetros de rádio. As medidas arrojaram uns resultados que coincidiam com uma precisão de 1% com os valores preditos pela relatividad geral.

Outra confirmação da relatividad geral está relacionada com o perihelio do planeta Mercurio. Fazia anos que se sabia que o perihelio (o ponto em que Mercurio se encontra mais próximo do Sol) gira em torno do Sol uma vez a cada três milhões de anos, e esse movimento não podia se explicar totalmente com as teorias clássicas. Em mudança, a teoria da relatividad sim prediz todos os aspectos do movimento, e as medidas com radar efectuadas recentemente têm confirmado a coincidência dos dados reais com a teoria com uma precisão de 0,5%.

Realizaram-se outras muitas verificações da teoria, e até agora todas parecem a confirmar.

Relação com outras teorias físicas

Nesta parte, a mecânica clássica e a relatividad especial estão entrelazadas como a relatividad geral em muitos modos é intermediária entre a relatividad especial e a mecânica cuántica.

Sujeito ao princípio de acoplamento mínimo, as equações físicas da relatividad especial podem ser convertidas a seu equivalente da relatividad geral ao substituir a métrica de Minkowski (η_ab) com a relevante métrica do espaço tempo (g_ab) e substituindo qualquer derivada normal com derivadas covariantes.

Inércia

Tanto em mecânica cuántica como em relatividad se assumia que o espaço, e mais tarde o espaço-tempo, eram planos. Na linguagem de cálculo tensorial, isto significava que R^{a bcd} = 0, onde R^{a bcd} é o tensor de curvatura de Riemann. Adicionalmente, assumia-se que o sistema de coordenadas era um sistema de coordenadas cartesianas. Estas restrições permitiam-lhe ao movimento inercial ser descrito matematicamente como:

$\ddot{x}^a = 0,$ onde

x^{a é} um vetor de posição,
$\dot{} = \partial / \partial\tau$ , e
τ é tempo próprio.

Há que notar que na mecânica clássica, x^{a é} tridimensional e τ ≡ t, onde t é uma coordenada de tempo.

Na relatividad geral, se estas restrições são usadas na forma de espaço-tempo e no sistema de coordenadas, estas perder-se-ão. Esta foi a principal razão pela qual se precisou uma definição diferente de movimento inercial. Em relatividad especial, o movimento inercial ocorre no espaço de Minkowski como parametrizada pelo tempo próprio. Isto se generaliza a espaços curvos matematicamente mediante a equação das geodésicas:

$\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \,\dot{x}^c = 0,$ onde

${\Gamma^a}_{bc}$ é um símbolo de Christoffel (de outro modo conhecido como conexão de Levi-Civita).

Como x é um tensor de faixa um, estas equações são quatro e a cada uma está a descrever a segunda derivada de uma coordenada com respeito ao tempo próprio. (Na métrica de Minkowski da relatividad especial, os valores de conexão são todos zeros. Isto é o que converte às equações geodésicas da relatividad geral em para $\ddot{x}^a = 0$ o espaço plano da relatividad especial).

Gravitación

Em gravitación, a relação entre a teoria da gravidade de Newton e a relatividad geral são governadas pelo princípio de correspondência: a relatividad geral tem que produzir os mesmos resultados, bem como a gravidade o faz nos casos onde a física newtoniana tem demonstrado ser certera.

Ao redor de objectos simetricamente esféricos, a teoria da gravidade de Newton prediz que os outros objectos serão acelerados para o centro pela lei:

$\mathbf{F} = -\frac{GM}{r^2}\mathbf{\hat{r}}$

Onde:

$M\,$ , é a massa do objecto atraído,

$r\,$ , é a distância ao objecto atraído, e

$\mathbf{\hat{r}}$ é um vetor de unidade identificando a direcção ao objecto em massa.

Na aproximação de campo débil da relatividad geral tem que existir uma aceleração em coordenadas idênticas. Na solução de Schwarzschild, a mesma aceleração da força de gravidade é obtida quando a constante de integração tanto faz a 2m (onde m = GM/c²).

Electromagnetismo

O electromagnetismo propôs um obstáculo fundamental para a mecânica clássica, como as equações de Maxwell não são invariantes segundo a relatividad galileana. Isto criava um dilema que foi resolvido pela chegada da relatividad especial. Em forma tensorial, as equações de Maxwell são:

$\partial_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}$ , e
$\partial^{a}\,F^{\,bc} + \partial^{b} \, F^{\,ca} + \partial^{c} \, F^{\,ab} = 0$

Onde:

$F_{ab}\,$ , é o tensor de campo electromagnético, e

$J_a\,$ , é uma cuadricorriente.

O efeito de um campo electromagnético em um objecto carregado de massa m é então:

$\frac{dP^a}{d\tau} = \frac{q}{m}P_bF^{ab}$

Onde

$P^a\,$ é o cuadrimomento do objecto carregado.

Na relatividad geral, as equações de Maxwell convertem-se em

$\nabla_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}$ and
$\nabla^a\,F^{\,bc} + \nabla^b \, F^{\,ca} + \nabla^c \, F^{\,ab} = 0$ .

A equação para o efeito do campo electromagnético segue sendo a mesma, ainda que a mudança de métrica modificará seus resultados. Notesé que ao integrar esta equação para ónus aceleradas as hipóteses habituais não são válidas (já que implicam que um ónus sujeito em um campo gravitato deve se comportar como se estivesse uniformemente acelerada, o que mostra que um ónus uniformemente acelerado não pode radiar).

Conservação de energia-momentum

Na mecânica clássica, a conservação da energia e o momentum são manejados separadamente. Na relatividad especial, a energia e o momentum estão unidos no cuadrimomento e os tensores de energia. Para qualquer interacção física, o tensor de energia-impulsiono ${T_a}^b$ satisfaz a lei local de conservação seguinte:

$\partial_b \, {T_a}^b = 0$

Na relatividad geral, esta relação é modificada para justificar a curvatura, convertendo-se em:

$\nabla_b \, {T_a}^b = \partial_b \, {T_a}^b + {\Gamma^b}_{cb} \, {T_a}^c + {\Gamma^c}_{ab} \, {T_c}^b = 0$

onde ∇ representa aqui a derivada covariante.

A diferença da mecânica clássica e a relatividad especial, na relatividad geral não é sempre possível definir claramente a energia total e o momentum. Isto com frequência causa confusão em espaço-tempos dependentes do tempo, nos que não existem vetores de Killing temporários, os quais não parecem conservar energia, ainda que a lei local sempre se satisfaça (Ver energia de Arnowitt, Deser e Misner).

Transição da relatividad especial à relatividad geral

Artigo principal: Transição da relatividad especial à relatividad geral

A teoria da relatividad especial apresenta covariancia de Lorentz isto significa que tal como foi formulada as leis da física se escrevem do mesmo modo para dois observadores que sejam inerciales. Einstein estimou, inspirado pelo princípio de equivalencia que era necessária uma teoria que apresentasse uma para a que valesse um princípio de covariancia generalizado, isto é, em que as leis da física se escrevessem da mesma forma para todos os possíveis observadores foram estes inerciales ou não, isso lhe levou a procurar uma teoria geral da relatividad. Ademais o facto de que a própria teoria da relatividad fosse incompatível com o princípio de acção a distância lhe fez compreender que precisava ademais que esta teoria geral incorporasse uma descrição adequada do campo gravitatorio.

Hoje sabemos que Einstein considerava que a teoria da relatividad só era aplicável a sistemas de referência inerciales estritamente, ainda que Logunov tem provado no marco da teoria relativista da gravitación que de facto fixado um observador inercial ou não, qualquer outro que se mova com velocidade uniforme com respeito ao primeiro escreverá as leis físicas da mesma forma. Provando de modo que a relatividad especial de facto é mais geral do que Einstein creu em seu momento. Ademais o trabalho de Logunov prova que sempre que o espaço-tempo seja plano pode se estabelecer para a cada observador existe um grupo decaparamétrico de transformações de coordenadas que generaliza as propriedades do grupo de Lorentz para observadores não inerciales.

O princípio de geometrización e o princípio de equivalencia foram as pedras angulares nas que Einstein baseou sua busca de uma nova teoria, depois de ter fracassado na tentativa de formular uma teoria relativista da gravitación a partir de um potencial gravitatorio. A teoria escalar da gravitación de Nordström^[12] e a interpretação geométrica que extraiu dela Adriaan Fokker (1914), o estudante de doctorado de Hendrik Lorentz, levaram a Einstein a poder relacionar o tensor de energia-impulsiono com a curvatura escalar de Ricci de um espaço-tempo com métrica:

$g_{\alpha \beta} = \phi\eta_{\alpha\beta}\,$

que envolvia a métrica do espaço tempo plano e um campo escalar relacionado com o campo gravitatorio. A superação das deficiências da teoria da gravitación escalar de Nordström levaram a Einstein a formular as equações correctas de campo.

Veja-se também

Referências

↑ Em alemão: "Über dêem Einfluß der Schwerkfraft auf die Ausbreitung dês Lichtes"
↑ Isso como consequência da fórmula de Planck, que supõe que quanto mais energéticos sejam os fotones, mais alta é sua frequência.
↑ Escolhemos um sistema de coordenadas esférico, composto de três graus de liberdade: Latitud $\theta$ , longitude $\phi$ e distância com respeito ao centro $r$ . Os componentes $\theta$ e $\phi$ da aceleração são iguais a zero. A aceleração gravitatoria tem lugar exclusivamente em direcção ao centro da Terra.
↑ Ambas anotações são alternativas.
↑ A gravitación universal newtoniana estabelece que a força (e portanto a aceleração radial) de atração exercida pelo Sol sobre a terra é inversamente proporcional ao quadrado da distância de ambos corpos celestes
↑ A terceira lei de Kepler afirma que os planetas varrem áreas iguais em tempos iguais. Para que esta lei mantenha sua validade em toda a trajectória orbital terrestre é necessário que a aceleração angular seja máxima nas regiões próximas ao perihelio, de tal maneira que se compense com isso as menores dimensões da rádio.
↑ Mais adiante analisaremos com profundidade este tema no capítulo dedicado à métrica de Schwarzschild.
↑ Nas estrelas da sequência principal, a pressão vem integrada por dois elementos diferentes: A pressão molecular, que é causada pela energia cinética dos átomos e iones do fluído estelar, e que vem parametrizada pela equação de Boltzmann $mv^2/2 > = 3kT/2$ , e a pressão de radiación, que é aquela originada pelos fotones. Ambos tipos de pressão tendem a se compensar em virtude de um processo físico denominado Bremsstrahlung (radiación de travão). Deste modo, os fotones, que no núcleo do átomo são gerados com níveis de energia correspondentes ao especro dos raios gama, saem do sol com frequências do espectro ultravioleta e sobretudo, do da luz visível.
↑ Ditos efeitos vêem-se incrementados pelo desencadenamiento de reacções termonucleares em todas as capas da estrela, e não só em seu núcleo
↑ Em alemão: "Anwendung der allgemeinen Relativitätstheorie auf dás Gravitationsfeld"
↑ A relatividad geral distingue entre fluídos relativistas, que viajam a velocidades próximas à da luz, e não relativistas, que o fazem a velocidades relativamente baixas. Ao respecto, leia-se Teoria da Relatividad.
↑ Ver por exemplo, Nordström's theory of gravitation

Bibliografía

Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0.
Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the geral theory of relativity, Wiley (1972), ISBN 0-471-92567-5.

Enlaces externos

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Relatividad geral

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