Rotação

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Rotação da Terra.

Rotação é o movimento de mudança de orientação de um sólido extenso de forma que, dado um ponto qualquer do mesmo, este permanece a uma distância constante do eixo de rotação.

Uma rotação pura de um corpo fica representada mediante o vetor velocidade angular, que é um vetor de carácter deslizante, situado sobre o eixo de rotação.

Rotação em sólidos rígidos

A velocidade angular de rotação está relacionada com o momento angular. Para produzir uma variação no momento angular é necessário actuar sobre o sistema com forças que exerçam um momento de força. A relação entre o momento das forças que actuam sobre o sólido e a aceleração angular se conhece como momento de inércia (I) e representa a inércia ou resistência do sólido a alterar seu movimento de rotação.

Para analisar o comportamento cinemático de um sólido rígido devemos partir da ideia de que um ângulo θ define a posição instantânea de qualquer partícula contida no sólido rígido (CR); este ângulo mede-se desde um plano perpendicular ao eixo de rotação do CR.

Se a posição fica completamente definida pela coordenada angular θ, então a velocidade do CR poder-se-á expressar como:

Enquanto a aceleração ficaria definida por:

A energia cinética de rotação escreve-se:

sendo a matriz de inércia.

A expressão do teorema do trabalho em movimentos de rotação pode-se expressar assim:

de maneira que, a variação da energia cinética do sólido rígido tanto faz ao produto escalar do momento das forças pelo vetor representativo do ângulo girado ().

Transformações de rotação

Em matemáticas as rotações são transformações lineares que conservam as normas em espaços vectoriais nos que se definiu uma operação de produtointerior . A matriz de transformação tem a propriedade de ser uma matriz unitária, isto é, é ortogonal e seu determinante é 1.

Seja um vetor A em o plano cartesiano definido por seus componentes x e e, descrito vectorialmente através de seus componentes:

A operação de rotação do ponto assinalado por este vetor ao redor de um eixo de giro pode sempre se escrever como a acção de um operador linear (representado por uma matriz) actuando sobre o vetor (multiplicando ao vetor:

Em duas dimensões a matriz de rotação para o vetor dado pode escrever da maneira seguinte:

Ao fazer a aplicação do operador, isto é, ao multiplicar a matriz pelo vetor, obteremos um novo vetor A' que tem sido rotacionado em um ângulo em sentido anti-horário:

sendo

as componentes do novo vetor após a rotação.

Teorema de rotação de Euler

Em matemáticas, o teorema de rotação de Euler diz que qualquer rotação ou conjunto de rotações sucessivas pode se expressar sempre como uma rotação ao redor de uma única direcção ou eixo de rotação principal. Deste modo, toda a rotação (ou conjunto de rotações sucessivas) no espaço tridimensional pode ser especificada através do eixo de rotação equivalente definido vectorialmente por três parámetros e um quarto parámetro representativo do ângulo rotacionado. Geralmente denominam-se a estes quatro parámetros graus de liberdade de rotação.

Composição de rotações em informática gráfica

Em informática gráfica às vezes existe certa confusão sobre a interpretação da composição de rotações em torno dos eixos (no espaço euclídeo tridimensional), já que a palavra 'eixos' pode referir-se tanto aos eixos do sistema de referência do mundo como aos eixos do sistema de referência local.

Explicam-se desde 2 pontos de vistas: conceptual e teórico-mátemático nos 2 seguintes apartados.

Conceito de rotação e revolução

Exemplo de rotação.

Exemplo de revolução.

Já que à rotação também se lhe chama, errónemante, revolução, devemos diferenciar claramente o significado destes termos.

• A rotação de um corpo ao redor de um eixo (exterior ou interior ao corpo) corresponde a um movimento no que os diferentes pontos do corpo apresentam velocidades que são proporcionais a sua distância ao eixo. Obviamente, os pontos do corpo situados sobre o eixo (no caso de que este seja interior ao eixo) permanecem em repouso.
  • A orientação do corpo no espaço muda continuamente durante a translação.
  • Um exemplo de rotação o da Terra ao redor de seu próprio eixo de rotação, com um período de rotação de um dia sidéreo.
• A revolução de uma partícula ou de um corpo extenso corresponde a um movimento de translação do corpo sobre uma trajectória fechada, não necessariamente circular.
  • Neste movimento, a orientação do corpo no espaço permanece constante.
  • Um exemplo de revolução é o da Terra ao redor de de o Sol, com um período de revolução de um ano.

A distinção entre rotação e revolução esta sócia com a existente entre rotação e translação de um corpo extenso. O movimento de translação não prejuzga forma alguma para as trajectórias dos diferentes pontos que constituem o corpo. Evidentemente, se a velocidade de translação é constante (v=cte), a cada um dos pontos do sólido percorrerá uma trajectória rectilínea com celeridade constante e todas essas trajectórias serão paralelas entre si (movimento de translação uniforme). Mas, em general, a velocidade de translação não tem por que ser constante e a trajectória pode ser curvilínea.

As trajectórias percorridas pelos diferentes pontos do corpo podem ser circunferencias, todas elas da mesmo rádio (congruentes) ainda que de diferente centro. Esta situação apresenta-se em uma roda de feira de eixo horizontal, como se mostra na figura: a armadura da roda gira em torno do eixo (rotação), mas as barquillas suspendidas de dita armadura, prescindiendo de pequenas oscilações pendulares, experimentam uma translação com trajectórias circulares.

Rotação e revolução: ponto de vista teórico-matemático

Em informática gráfica às vezes existe certa confusão sobre a interpretação da composição de rotações em torno dos eixos (no espaço euclídeo tridimensional), já que a palavra 'eixos' pode referir-se tanto aos eixos do sistema de referência do mundo como aos eixos do sistema de referência local sócio a um objecto que sofre várias rotações (por tanto, estes eixos locais vão mudando com sucessivas rotações). Estas duas interpretações levam a matrizes de rotação diferentes, e por tanto, se não se concreta, a mera referência a uma "composição de rotações em torno dos eixos" pode resultar ambigua.

Ademais, a rotação em torno dos eixos locais é aparentemente mais complexa de expressar como uma matriz que a rotação em torno dos eixos do sistema de referência do mundo (SRM). Por outro lado, as rotações em torno dos eixos globais podem provocar o que se conhece como "Gimbal Lock". No entanto, como se demonstra mais abaixo, a obtenção de ambas matrizes tanto faz de singela, portanto, para evitar o Gimbal Loack, podemos usar facilmente as rotações em torno dos eixos locais.

Por exemplo, suponhamos que desejo rotacionar um objecto um ângulo em torno do eixo , depois, um ângulo em torno do eixo , e, finalmente, um ângulo em torno do eixo .

Suponhamos que em todos os casos falamos de rotações em torno dos eixos fixos do sistema de coordenadas do mundo. Neste caso, a matriz de rotação obtém-se como composição de outras três, uma pela cada rotação:

onde a expressão

faz referência à matriz de rotação de radianos em torno de um vetor arbitrário. Note-se que a expressão expressa a matriz resultado da composição das matrizes e , onde o efeito de aplicar a um vetor tanto faz ao efeito de aplicar primeiro e depois a dito vetor, isto é, por definição:

Suponhamos agora que intepretamos as rotações como rotações em torno dos eixos locais. A correspondente matriz é agora:

onde

Por tanto, evita o Gimbal Lock mas é mais complexa de obter, já que está expressar em termos de rotações em torno de vetores que não coincidem com os eixos. No entanto, em realidade isto não é assim, já que se pode demonstrar que:

isto é, pode escrever-se como composição respecto dos eixos do sistema de referência do mundo, só que neste caso a composição deve fazer na ordem contrário com respeito à ordem que queremos para as rotações em torno dos eixos locais.

Para demonstrar esta igualdade basta com aplicar duas propriedades das matrizes de rotação. A primeira é que uma rotação de um verdadeiro ângulo obviamente se cancela se se compõe com outra rotação igual mas com o ângulo mudado de signo, isto é:

onde é a matriz identidade. A outra propriedade que usar-se-á é esta:

que se cumpre para qualquer vetores e e ângulos e . Significa que, para rotacionar em torno do vetor (que é rotacionado em torno de ), podemos: (1) desfazer a rotação em torno de , (2) fazer a rotação em torno do vetor original , e (3) refazer de novo a rotação em torno de ..

Aplicando esta última propriedade várias vezes na ordem adequada (e cancelando as rotações complementares que aparecem) podemos demonstrar facilmente que a segunda expressão de se deriva da definição original.

Resultado.

Imagem original da composição.

Anexa-se uma imagem para demonstração de artificios 3D, partindo de uma imagem 2D, que não tem nada que ver com a rotação, ainda que o efeito final pareça ser assim, pois o resultado consiste em colar partes definidas a uma área restringida uma por trás de outra. É uma ilusão óptica que nosso cérebro interpreta como uma rotação de acordo aos dados que sobre o objecto (a cabeça) retém nossa memória.

Veja-se também

• Cinemática do sólido rígido
• Movimentos da Terra
• Nutación
• Precesión
• Translação da Terra
• Bamboleo de Chandler
• Anexo:Velocidade dos planetas do Sistema Solar

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