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Série de Fourier

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Uma série de Fourier é uma série infinita que converge pontualmente a uma função contínua e periódica. As séries de Fourier constituem a ferramenta matemática básica da análise de Fourier empregado para analisar funções periódicas através da descomposição de dita função em uma soma infinitesimal de funções senoidales bem mais simples (como combinação de seios e cossenos com frequências inteiras). O nome deve-se ao matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier que desenvolveu a teoria quando estudava a equação do calor. Foi o primeiro que estudou tais séries sistematicamente, e publicando seus resultados iniciais em 1807 e 1811. Esta área de investigação chama-se algumas vezes Análise harmônica.

É uma aplicação usada em muitos ramos da engenharia, além de ser uma ferramenta sumamente útil na teoria matemática abstrata. Áreas de aplicação incluem análise vibratorio, acústica, óptica, processamento de imagens e sinais, e compressão de dados. Em engenharia, para o caso dos sistemas de telecomunicações, e através do uso dos componentes espectrales de frequência de um sinal dado, pode-se optimizar o desenho de um sistema para o sinal portadora do mesmo. Refierase ao uso de um analizador de espectros.

As séries de Fourier têm a forma:

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]

Onde a_n \,\! e b_n \,\! se denominam coeficientes de Fourier da série de Fourier da função f(x) \,\!

Conteúdo

Definição

Se f\, é uma função (ou sinal) periódica e seu período é {2T}, a série de Fourier associada a é:. f\,

f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{n\pi}{T}t\right]

Onde a_n\, e b_n\, são os coeficientes de Fourier que tomam os valores:

 a_n = \frac{1}{T} \int_{-T}^{T}  f(t) \cos \left( \frac{n \pi}{T} t \right) dt, \qquad b_n=\frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(t) \sin \left(\frac{n\pi}{T}t\right) dt, \qquad {a_0} = \frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(t)dt .

Pela identidade de Euler, as fórmulas de acima podem expressar-se também em sua forma complexa:

 f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{\pi i\frac{n}{T}t}.

Os coeficientes agora seriam:

c_n=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} f(t)\,e^{-\pi i\frac {n}{T}t}\,dt.

Teorema de Dirichlet: Convergência a uma função periódica

Suponhamos que f(x) é uma função periódica, contínua a trozos e dimensionada, que em um período tem um número finito de máximos e mínimos locais e um número finito de descontinuidades, de período 2p. Sejam

a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \cos \frac{n \pi x} {p} dx,
e
b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \sin \frac{n \pi x} {p} dx,

então a série converge a Em
f_p(x)=\tfrac12(f(x+)+f(x-)),

onde f(x+)=\lim_{x \to x+}(f(x)), e f(x-)=\lim_{x \to x-}(f(x))

Forma exponencial

Pela identidade de Euler para a exponencial complexa, operando adequadamente, se

C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx

a série de Fourier pode-lha expressar como a soma de duas séries:

 \sum_{n=1}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}

Em forma mais compacta:

 \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}

Exemplos de séries de Fourier

Grafico de uma função periódica.
Animação da soma dos 5 primeiros harmônicos.

Nós estamos a utilizar formulário sobre como fazer uma série de Fourier em expansão muito simplificada.

f(x) = x, \quad \mathrm{para } -\pi < x < \pi,
f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{para }   -\infty < x < \infty.

Neste caso, os coeficientes de Fourier dão-nos isto:

\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}

Se a série de Fourier converge para: ƒ(x) da cada ponto x onde ƒ é diferenciable:


\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{para} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}.
\end{align}

Engenharia

A análise de sinais no domínio da frequência realiza-se através das séries de Fourier, porquanto é muito comum, substituir o variável x por ωt, resultando as componentes:

C_k = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-j \omega k t}\, dt

Portanto:

f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} C_k e^{j \omega k t}

Aplicações

Formulación moderna

Realmente o desenvolvimento em série de Fourier faz-se para funções de quadrado integrable, isto é, para funções que cumpram que:

\int |f(x)|^2 dx < \infty

O conjunto de todas as funções integrables definidas no intervalo [-\pi, \pi]\, se denota com L^2([-\pi, \pi]). Este conjunto, tem definido um produto interno dado por:

\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

que o dota de estrutura de espaço de Hilbert. Deste modo, que todas as funções de possam L^2([-\pi, \pi]) se desenvolver em séries de Fourier. Assim,o conjunto de funções exponenciales \{e_n = e^{i n \pi}:n\in \mathbb{Z}\} é uma base ortonormal do espaço L^2([-\pi,\pi].

O desenvolvimento de Fourier pode-se expressar como:

f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,e_n \rangle e_n.

Onde c_n = \langle f,e_n \rangle são os coeficientes do desenvolvimento de Fourier.

Por último, a identidade de Parseval diz que dada uma função f de quadrado integrable e os coeficientes de Fourier c_n, se verifica que:

\Vert f\Vert^2=\ \langle f,f \rangle\ =2 \pi \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2.

Em linguagem técnico, poderíamos dizer que há uma isometría entre o espaço de funções de quadrado integrable e o espaço de sucessões lineares indexadas nos inteiros cujos termos têm quadrados sumables.

Formulación geral

As propriedades úteis das séries de Fourier devem-se principalmente à ortogonalidad e à propriedade de homomorfismo das funções ei n x.

Outras sucessões de funções ortogonais têm propriedades similares, ainda que algumas identidades úteis, concerniendo por exemplo às convoluciones, não seguirão se cumprindo se se perde a "propriedade de homomorfismo".

Alguns exemplos são as sequências de funções de Bessel e os polinômios ortogonais. Tais sucessões obtêm-se normalmente como soluções de uma equação diferencial; uma grande classe de tais sucessões úteis são soluções dos chamados problemas de Sturm-Liouville.


Veja-se também

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