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Sistema de referência inercial

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Em mecânica newtoniana, um sistema de referência inercial é um sistema de referência no que as leis do movimento cumprem as leis de Newton, e por tanto, a variação do momento linear do sistema tanto faz às forças reais sobre o sistema. Em um sistema não inercial em mudança sucede que:

\frac{d\mathbf{P}}{dt} - \mathbf{F}_{real} = \mathbf{F}_{fict} \ne \mathbf{0}

Pelo que a descrição newtoniana de um sistema não-inercial requer a introdução de forças ficticias ou inerciales.

O conceito de sistema de referência inercial também é aplicável a teorias mais gerais que a mecânica newtoniana, assim na Teoria da Relatividad Especial também se podem introduzir os sistemas inerciales. Ainda que em relatividad especial a caracterização matemática não coincide com a que se dá em mecânica newtoniana, como a segunda lei de Newton tal como a formulou Newton não se cumpre em relatividad.

Conteúdo

Sistemas de referência inerciales e não-inerciales

As leis de Newton constituíram um sucesso intelectual notável, que podia explicar uma ampla variedade de sistemas reais. Nesses sistemas as forças que se exerciam umas partículas às outras, satisfaziam ditas leis. No entanto, existem sistemas acelerados ou em rotação onde as leis de Newton aplicadas às forças exercidas pelas partículas não se cumprem estritamente. Os sistemas de referência inerciales são aqueles nos que se cumprem as leis de Newton usando só as forças reais (não-ficticias) que se exercem entre si as partículas do sistema.

Os sistemas de referência não inerciales podem se tratar seguindo duas possibilidades lógicas:

  1. Introduzindo as chamadas forças ficticias ou inerciales, que não são realizadas concretamente por nenhuma partícula e tem que ver com a rotação ou aceleração da origem do sistema de referência.
  2. Generalizando as leis de Newton a uma forma mais geral que possa ser aplicável a qualquer sistema de referência. Esta segunda posiblidad é precisamente o caminho que seguiram formulaciones mais gerais da mecânica clássica como a mecânica lagrangiana e a mecânica hamiltoniana.

A existência desta segunda possibilidade leva a procurar uma caracterização mais geral dos sistemas de referência inerciales, que seja logicamente dependente das leis de Newton. De facto, em mecânica clássica e teoria da relatividad especial, os sistemas inerciales podem ser caracterizados de forma muito singela: um sistema inercial é aquele no que os símbolos de Christoffel obtidos a partir da função lagrangiana se anulam.

Em um sistema inercial não aparecem forças ficticias para descrever o movimento das partículas observadas, e toda a variação da trajectória tem que ter uma força real que a provoca.

Características dos sistemas inerciales

Por combinação dos três casos anteriores, temos que qualquer sistema de referência deslocado com respeito a um inercial, girado e que se mova a velocidade linear e constante, segue sendo inercial.

Sistemas de referência não inerciales

Artigo principal: Sistema de referência não inercial

Em um sistema em rotação, ou movendo-se com aceleração com respeito a um sistema inercial dá lugar a um sistema de referência não inercial, e nele não se cumprem as leis de Newton. Em um sistema não-inercial para justificar o movimento além das forças reais precisamos introduzir forças ficticias que dependem do tipo de não-inercialidad do sistema.

Sistemas inerciales em mecânica newtoniana

Em mecânica newtoniana os sistemas inerciales são aqueles que verificam as leis de Newton. Em um sistema não inercial as leis de Newton não se cumprem para as forças reais, e as leis de Newton não são aplicáveis a não ser que se introduzam as chamadas forças ficticias. Por tanto, no marco da mecânica newtoniana a classe dos sistemas de referência inerciales coincide com a classe dos sistemas nos que se satisfazem as leis de Newton.

Para ver isto último precisamos considerar um sistema físico isolado e um sistema de referência onde se cumpram as leis de Newton para a cada uma das partículas, isto é nele se cumpre que:

m\frac{d\mathbf{v}_i}{dt} = \mathbf{F}_i(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_i|,\dots,|\mathbf{r}_n-\mathbf{r}_i|)

Sendo vi a velocidade da partícula com respeito ao sistema de referência escolhido e Fi a soma de forças reais (não ficticias) sobre a partícula. Para provar a equivalencia de cumprimento de leis de Newton e inercialidad dos sistemas de referência temos que provar dois envolvimentos diferentes:

  1. (\Rightarrow) Em primeiro lugar precisamos comprovar que se o segundo sistema de referência se translada com respeito ao primeiro com velocidade uniforme, ou é fixo com respeito ao primeiro mas está separado uma distância constante então nele se cumprem as equações de Newton.
  2. (\Leftarrow) Em segundo lugar precisamos provar que se no segundo sistema se cumprem também as leis de Newton então este sistema ou é fixo com respeito ao primeiro ou se desloca com velocidade uniforme com respeito ao primeiro.

Para a primeira parte consideremos um sistema cujas coordenadas com respeito ao primeiro vêm dadas por:

x' = x + x_0 + V_xt, \qquad y' = y + y_0 + V_yt, \qquad z' = z + z_0 + V_zt

Onde:

\mathbf{r}_0 = (x_0, y_0, z_0) é a separação inicial do origien de coordenadas de ambos sistemas.
\mathbf{V} =(V_x, V_y, V_z) é a velocidade de translação de ambos sistemas.

Neste segundo sistema teremos por tanto que as leis de movimento vêm dadas por:

m\frac{d{\mathbf{v}'}_i}{dt}= m\frac{d(\mathbf{v}_i+ \mathbf{V})}{dt} = m\frac{d{\mathbf{v}}_i}{dt}= \mathbf{F}_i(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_i|,\dots,|\mathbf{r}_n-\mathbf{r}_i|) = \mathbf{F}_i(|\mathbf{r}'_1-\mathbf{r}'_i|,\dots,|\mathbf{r}'_n-\mathbf{r}'_i|)

Por tanto, se um segundo sistema translada-se com velocidade uniforme ou está fixo com respeito a um primeiro sistema inercial, nele se cumprem também as leis de Newton (se observe, no entanto, que temos feito o suposto implícito de que as forças só dependem das distâncias relativas; se este suposto não se cumpre então não necessariamente se cumprem as leis de Newton para forças dependentes da velocidade).

A segunda parte é um pouco mais longo de provar já que é necessário comprovar que se se cumprem simultaneamente as equações:

m\frac{d\mathbf{v}_i}{dt} = \mathbf{F}_i, \qquad m\frac{d\mathbf{v}'_i}{dt} = \mathbf{F}'_i,

Então existe uma transformação de coordenadas, que relaciona as coordenadas do primeiro e segundo sistema e que esta transformação é uma Transformação de Galileo, isto é, que essa mudança de coordenadas representa que as coordenadas de um dos sistemas referido ao outro, pode se representar como uma translação uniforme (ou em seu defeito ambos sistemas permanecem fixos uns com respeito ao outro). Isto pode se provar ao igual que dantes para sistemas no que as forças dependem sólamente das distâncias entre partículas.

O seguintes teste permitem reconhecer se um sistema não é inercial:

  1. Em um sistema inercial cumprem-se as leis de Newton aplicadas às forças reais.
  2. Em um sistema de referência não inercial não há conservação do momento linear.
  3. O sistema em consideração move-se com velocidade uniforme com respeito a outro do que sabemos que é inercial.

Sistemas inerciales em mecânica relativista

Em Teoria da Relatividad Especial, um sistema de referência é inercial quando um observador em repouso com respeito a esse sistema pode empregar umas coordenadas nas que a métrica do espaço tempo se expressa como:

g = - c^2dt \otimes dt + dx \otimes dx +dy \otimes dy +dz \otimes dz

Pode provar-se que o conjunto de sistemas inerciales forma um grupo decaparamétrico que inclui as translações e as rotações. Em todos os sistemas em que a métrica tomada a forma anterior as equações fundamentais da física se escrevem a mesma forma, coincidindo ademais seu limite clássico com as expressões da mecânica newtoniana. Em um sistema de referência inercial relativista a equação do movimento de uma partícula pode expressar-se como:

m\frac{d^2 x^i}{d\tau^2} = \sum_j F_{real,j}^i

Onde \tau\, é o tempo próprio e (x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,x,y,z) \, as coordenadas espaço-temporárias e as forças que aparecem no membro da direita são forças reais e por tanto estão causadas pela interacção com o campo criado por outras partículas.

Em mudança em um sistema de referência não-inercial que use as coordenadas generalizadas não incerciales (\bar{x}^0,\bar{x}^1,\bar{x}^2,\bar{x}^3) a equação do movimento expressada em termos dos símbolos de Christoffel vem dada pela equação mais complexa:

m\frac{d^2\bar{x}^i}{d\tau^2} + m\Gamma_{jk}^i \frac{d\bar{x}^j}{d\tau}\frac{d\bar{x}^k}{d\tau} = \sum_j \bar{F}_{real,j}^i

Em onde se usou o convênio de sumación de Einstein sobre índices repetidos. A partir da equação anterior temos que a resultante das forças ficticias em relatividad, que normalmente depende das velocidades vem dadas por:

\bar{F}_{fict}^i = -m\Gamma_{jk}^i \frac{d\bar{x}^j}{d\tau}\frac{d\bar{x}^k}{d\tau}

Em Teoria geral da relatividad em princípio não é possível encontrar sistemas de referência inerciales no sentido anterior, como a curvatura do espaço tempo não é identicamente nula. No entanto, sempre é possível anular em ao menos um ponto as forças ficticias recorrendo a um sistema de coordenadas no que os símbolos de Christoffel se anulem no ponto.

Veja-se também

Enlaces externos

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