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Superfície regrada

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Uma superfície regrada, em geometria, é a gerada por uma recta, denominada generatriz, ao deslocar sobre uma curva ou várias, denominadas directrizes. Em função das características e condições particulares destes elementos, recebe diversos nomes.

Plot paramétrico de uma banda de Möbius.

Classificação das superfícies regradas

Superfícies regradas são:

Equações matemáticas

Um hiperboloide de uma sozinha folha, é uma superfície de revolução. Os arames são linhas rectas.

Uma superfície \mathbf{S} é regrada se pela cada ponto da mesma, existe uma linha recta contida em . \mathbf{S}Uma superfície regrada \, S pode ser sempre descrita (ao menos localmente) por uma equação paramétrica da seguinte forma:

\mathbf{S}(t,u) = \mathbf{p}(t) + u \mathbf{r}(t)

onde \mathbf{p}(t) é uma curva em , \mathbf{S}e \mathbf{r}(t) é uma curva na esfera unidade. Assim, por exemplo,

 \begin{align}
\mathbf{p} &= (\cos(t), \sin(t), 0)\\
\mathbf{r} &= \left( \cos \left( \frac{t}{2} \right) \cos(t) , \cos \left( \frac{t}{2} \right) \sin(t), \sin \left( \frac{t}{2} \right) \right)
\end{align}

obtemos uma superfície que contém a Fita de Möbius.

Alternativamente, uma superfície regrada \mathbf{S} pode ser modelada parametricamente como:

\mathbf{S}(t,u) = (1-u) \mathbf{p}(t) + u \mathbf{q}(t)

Onde \mathbf{p} e \mathbf{q} são duas curvas de que \mathbf{S} não se intersecam. Por exemplo, quando \mathbf{p}(t) e \mathbf{q}(t) se movem com velocidade constante ao longo de duas rectas alabeadas, a superfície é um paraboloide hiperbólico, ou parte de um hiperboloide de uma sozinha folha.

 x^2 + y^2 - z^2 =  1 \,

Superfícies desarrollables

Uma banda de Möbius.

Um caso especial das superfícies regradas são as superfícies desarrollables que, mediante deformações que não alterem as distâncias entre seus pontos, podem ser transformadas em um fragmento plano. Tecnicamente existe uma isometría entre estas superfícies e um fragmento de plano. Dizemos que é localmente desarrollable se existem isometrías locais; para que isto ocorra é necessário e suficiente que a curvatura gaussiana seja nula.

O cone, o cilindro e o próprio plano são desarrollables, enquanto o hiperboloide não o é. Para que umas superfícies seja desarrollable, é condição necessária e suficiente que possa ser construída com um trozo de papel sem arrugarlo, dito coloquialmente. Assim, uma superfície construída dobrando um pedaço retangular de papel será desarrollable como uma banda de Möbius ou um cilindro. Uma condição necessária, tal como se desprende do theorema egregium de Gauss , é que a curvatura gaussiana da superfície regrada seja identicamente nula.

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