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Tempo próprio

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Tempo próprio é o tempo medido para um observador que está a viajar pelo espaço-tempo a uma verdadeira velocidade. O conceito de tempo próprio é necessário nas teorias da relatividad de Einstein para descrever efeitos tais como a dilatación do tempo.

A dilatación do tempo tem sido observada e medida em diversos experimentos, e revela que o tempo que mede um observador em movimento uniforme com respeito a outro mede um intervalo de tempo mais pequeno que o que está em repouso (ainda que a perspectiva do observador em movimento é que é o outro quem mede um intervalo mais pequeno, coisa que conduz ao paradoxo dos gémeos).


Conteúdo

Tempo próprio em movimento uniforme

Se consideramos um sistema de coordenadas galileano ou inercial no que a partícula se move à velocidade v temos, que o tensor métrico se expressa como:
g = - c^2d\tau \otimes d\tau = - c^2dt \otimes dt + dx \otimes dx +dy \otimes dy +dz \otimes dz = - c^2dt \otimes dt + v_x^2 dt \otimes dt + v_y^2 dt \otimes dt + v_z^2 dt \otimes dt
g = - c^2d\tau \otimes d\tau = - c^2 \left( 1-\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{c^2} \right) dt \otimes dt

E daí que a variação do tempo próprio se defina simplesmente como:

\Delta \tau = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\cfrac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{c^2}}} = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}


A definição de tempo próprio implica descrever o curso que uma partícula de prova, observador ou relógio lhe toma para viajar por um espaço-tempo e a estrutura métrica desse espaço tempo em particular.

Pode-se observar que quando v/c \ll 1 ambos tempos, o tempo coordenado e o tempo próprio, coincidem como prediz a mecânica clássica. Isso permite que pára pequenas velocidades possamos usar o suposto da mecânica clássica de que existe um tempo absoluto ou referência temporária universal comum a todos os observadores, assim um observador "clássico" todo o que tem que fazer é medir o intervalo de seu tempo próprio, e inferir que outros observadores que se movem a pequenas velocidades com respeito a ele medem o mesmo intervalo de tempo.

Tempo próprio em movimento acelerado

Se consideramos uma partícula de massa m que se move baixo a acção de uma força constante F, temos a seguinte equação de movimento:

\frac{d}{dt}\left(\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\mathbf{F}

Integrando a anterior equação do movimento chega-se a:

\begin{cases} \mathbf{v}(t)=\frac{\mathbf{w}t+\mathbf{v}_0}{\sqrt{1+\frac{\|\mathbf{w}t+\mathbf{v}_0\|^2}{c^2}}} \\ \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\frac{\mathbf{w}c^2}{w^2} \left[\sqrt{1+\frac{\|\mathbf{w}t+\mathbf{v}_0\|^2}{c^2}}-1\right]+\frac{c}{w} \left(\mathbf{v}_0-\mathbf{w}\frac{\mathbf{v}_0\cdot\mathbf{w}}{w^2} \right)\ln\left[\frac{wt}{c} +\frac{\mathbf{v}_0\cdot\mathbf{w}}{cw}+\sqrt{1+\frac{\|\mathbf{w}t+\mathbf{v}_0\|^2}{c^2}}\right] \end{cases}

Onde:

\begin{matrix} \mathbf{w}:= \frac{\mathbf{F}}{m} & & \mathbf{v}_0:=\frac{\mathbf{v}(0)}{\sqrt{1+\frac{\|\mathbf{v}(0)\|^2}{c^2}}} \end{matrix}

O tempo próprio para a partícula acelerada pode relacionar com o tempo coordenado de um observador inercial mediante a seguinte integração:

\tau = \frac{c}{w}\ln\left[\frac{wt}{c}+\frac{\mathbf{v}_0\cdot\mathbf{w}}{cw}+ \sqrt{1+\frac{\|\mathbf{w}t+\mathbf{v}_0\|^2}{c^2}} \right]

Tempo próprio em relatividad geral

A métrica mais general possível tanto em relatividad especial, quando consideramos sistemas de referência não inerciales, como em relatividad geral, quando o espaço-tempo não é plano pode escrever na anotação física abreviada como:

(*) ds^2 = g_{ab}dx^a dx^b = \left[g_{00}dx^0 + \frac{g_{0\alpha}}{\sqrt{g_{00}}} dx^\alpha\right]^2 + \left[g_{\alpha\beta} - \frac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}\right] dx^\alpha dx^\beta

Onde os índices a,b \in \{0,1,2,3\} e os índices \alpha,\beta \in \{1,2,3\}. O primeiro termo do segundo membro tem propriedades relacionadas com o tempo físico, enquanto o tensor que simétrico covariante que aparece no segundo termo pode se interpretar como um tensor métrico tridimensional definido positivo. As propriedades desses dois sumandos permitem-nos introduzir a distância física e o tempo físico medido por um observador. Então o tempo próprio de uma partícula que se move segundo a curva: \gamma(\lambda) = (x^0(\lambda), x^1(\lambda), x^2(\lambda), x^3(\lambda))\; pode avaliar-se singelamente como:

\tau = \frac{1}{c}\int_0^{\lambda_f} {-\left[g_{00}\dot{x}^0 + \frac{g_{0\alpha}}{\sqrt{g_{00}}} \dot{x}^\alpha\right]} d\lambda

No entanto convém recordar, que se a métrica não é estática, dois observadores que partiram de um mesmo ponto e arribaron ao mesmo ponto, ao longo de trajectórias diferentes diferirão no tempo decorrido, tal como sucede no paradoxo dos gémeos, fazendo impossível em general a sincronização de relógios. A sincronização de relógios é possível só quando a 1-forma do primeiro termo do segundo membro de (*) é uma diferencial exacta.

Veja-se também

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"
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