Tensor métrico

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Em matemáticas, em geometria de Riemann, o tensor métrico é um tensor de faixa 2 que se utiliza para definir conceitos métricos como distância, ângulo e volume em um espaço localmente euclídeo.

Conteúdo

1 Definição
2 Longitude, ângulo e volume
3 Exemplos de métricas euclídeas
4 Exemplos de métricas não euclídeas
- 4.1 Métricas não euclídeas em geometria
- 4.2 Métricas não euclídeas em física

Definição

Uma vez que se elege uma base local, o tensor métrico aparece como uma matriz, notada convencionalmente G (se veja também métrica). A anotação g_ij utiliza-se convencionalmente para os componentes do tensor métrico (isto é os elementos da matriz). Assim o tensor métrico g se expressa fixada uma baseie coordenada como:

$g = \sum_{i,j=1}^n g_{ij} \ dx^i \otimes dx^j \qquad \qquad G = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & ... & g_{1n} \\ g_{21} & g_{22} & ... & g_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ g_{n1} & g_{n2} & ... & g_{nn} \end{pmatrix}$

Ou mais comodamente usando o convênio de sumación de Einstein (que usaremos de aqui em adiante para o resto do artigo como):

$g = g_{ij} \ dx^i \otimes dx^j \,$

Longitude, ângulo e volume

A longitude de um segmento de uma curva dada parametrizada por , $t\,$ desde $a\,$ até $b\,$ , define-se como:

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j}\ dt$

O ângulo entre dois vetores Ou e V (ou entre duas curvas cujos vetores tangentes sejam Ou e V ) define-se como:

$\cos \theta = \frac{g_{ij}U^iV^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}U^iU^j \right| \left| g_{ij}V^iV^j \right|}}$

O n-volume de uma região R de uma variedade de dimensão n vem dado pela integral estendida a dita região de o n -forma de volume:

$V_R = \int_R \sqrt{|g|}\ dx^1 \land dx^2 \land...\land dx^n$

Para computar o tensor métrico de um conjunto de equações que relacionam o espaço com espaço cartesiano (g_ij = η_ij: veja delta de Kronecker para mais detalhes), compute o jacobiano do conjunto de equações, e multiplique o (produto exterior) transposto desse jacobiano pelo jacobiano.

$G = J^TJ\,$

Exemplos de métricas euclídeas

Uma métrica euclídea não é outra coisa que uma métrica arbitrária definida sobre um espaço euclídeo. Um espaço métrico é euclídeo se no tensor de curvatura é identicamente nulo em todo o espaço. Quando se usam coordenadas cartesianas em um espaço euclídeo as componentes da tensor tensão são constantes e, por tanto, os símbolos de Christoffel são também nulos. No entanto, em muitos problemas convém usar outro tipo de coordenadas, como por exemplo as coordenadas polares, cilíndricas ou esfércias, neste caso ainda que o espaço é euclídeo as componentes do tensor métrico expressado nestas coordenadas não são constantes, e os símbolos de Christoffel não se anulam. A seguir dão-se alguns exemplos de coordenadas frequentes.

Os sistemas de coordenadas ortogonais caracterizam-se porque nesses o tensor métrico tem uma forma diagonal.

Espaço bidimensional

Dado um tensor métrico euclidiano em duas dimensões, dado em coordenadas cartesianas $\scriptstyle (u^1, u^2)=(x,y)$ :

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

Já que $g_{11}\ =g_{22}\ =1$ e $g_{12}\ =g_{21}\ =0$ .

A longitude de uma curva C parametrizada mediante o parámetro t reduz-se à fórmula familiar do cálculo (teorema de Pitágoras):

$L_C = \int_C \sum_{i,j} \sqrt{ g_{ij}du^idu^j} = \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i,j} \sqrt{ g_{ij} \frac{du^i}{dt} \frac{du^j}{dt} }\ dt$ $L_C = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ 1 \frac{du^1}{dt} \frac{du^1}{dt} + 0 \frac{du^1}{dt} \frac{du^2}{dt} + 0 \frac{du^1}{dt} \frac{du^2}{dt} + 1 \frac{du^2}{dt} \frac{du^2}{dt}}\ dt$

ou bem na anotação mais familiar:

$L_C = \int_C \sqrt{ dx^2 + dy^2} = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }\ dt$

Coordenadas polares

Coordenadas polares: $(u^1, u^2)=(r, \phi)$

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix}$

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{11}du^1du^1 + g_{22}du^2du^2}$

$L = \int_a^b \sqrt{ dr^2 + r^2(d \phi)^2}$

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas: $(u^1, u^2, u^3)=(r, \phi, z)$

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (u^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{11}du^1du^1 + g_{22}du^2du^2 + g_{33}du^3du^3}$

$L = \int_a^b \sqrt{ (dr)^2 + r^2(d \phi)^2 + (dz)^2}$

Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas: $(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi)$

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2 \theta\end{bmatrix}$

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{11}dx^1dx^1 + g_{22}dx^2dx^2 + g_{33}dx^3dx^3}$

$L = \int_a^b \sqrt{ (dr)^2 + r^2(d \theta)^2 + r^2\sin^2 \theta(d \phi)^2}$

Exemplos de métricas não euclídeas

Todos os exemplos anteriores estão associados a métricas euclídeas, caracterizadas pelo facto de que o tensor de curvatura se anula identicamente em todos os pontos.

Métricas não euclídeas em geometria

Sobre uma esfera de rádio unidade, parametrizada pelo ângulo polar e o ângulo azimutal (θ, φ) costuma-se considerar o tensor métrico induzido pela distância euclídea do espaço tridimensional que contém à esfera:

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta \end{bmatrix}$

Pode provar-se que mediante nenhuma transformação possível de coordenadas o tensor métrico nessas coordendas será igual ao tensor métrico do espaço euclídeo bidimensional, o qual evidência que esse tensor representa uma geometria não-euclídea (ademais sua curvatura escalar é precisamente 1).

Métricas não euclídeas em física

De acordo com a teoria da relatividad geral em presença de matéria, a geometria do espaço tempo não é plana, isto é, está caracterizada por um tensor de curvatura que não é identicamente nulo em todos os pontos da variedade. Este tensor de curvatura pode ser relacionado com tensor de energia-impulsiono que representa o conteúdo material do modelo de universo que se esteja a analisar. Alguns exemplos de tensores métricos não euclídeos procedentes da teoria relatividad general que se usam como modelos de universo são:

Métrica de Schwarzschild, que representa a geometria do espaço tempo ao redor de um corpo de esférico isolado e estático (que não gira ao redor de si mesmo).
Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, que se crê dá uma boa aproximação da estrutura do universo em expansão a grandes escalas.

Por exemplo a grandes rasgos o métrica solar longe dos planetas, satélites e outras concentrações de matéria pode considerar-se como um exemplo bastante aproximado de métrica de Schwarzschild, sendo seus componentes (nas coordenadas cuasi-esféricas de Schwarzschild centradas no sol: $\scriptstyle (u^0,u^1,u^2,u^3) = (t,r,\theta,\varphi)$ ):

$G = \begin{bmatrix} -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) & 0 & 0 & 0\\ 0 & \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{bmatrix}$

Observe-se a submatriz de 3x3 que se refere às coordenadas espaciais é similar a uma métrica esférica diferindo só no termo $\scriptstyle g_{22}\ne 1$ . Em coordenadas esféricas $\scriptstyle g_{22} = 1$ e a métrica resulta plana e por tanto representa um espaço euclídeo, no entanto, na métrica de Schwarzschild os termos $\scriptstyle g_{11}, g_{22}$ caracterizam a curvatura do espaço tempo por culpa do campo gravitatorio do sol.

Por outro lado, a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker considera-se que poderia ser um modelo adequado do universo a escalas bastante maiores que a de uma galaxia. No sistema comóvil pseudo-esférico $\scriptstyle (u^0,u^1,u^2,u^3) = (t,r,\theta,\varphi)$ esta métrica resulta ser:

$G = \begin{bmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & a(t) \frac{1}{1-kr^2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & a(t) \frac{r^2}{1-kr^2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & a(t) \frac{r^2\sin^2\theta}{1-kr^2} \end{bmatrix}$

Para $\scriptstyle k \le 0$ resulta um universo aberto que se expande sem limite, enquanto para $\scriptstyle k > 0$ a métrica ante anterior descreve um universo fechado e finito que depois de se expandir até um máximo recolapsa sobre se mesmo dando lugar ao big crunch.