Teorema da função implícita

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A circunferencia unitária pode representar pela equação implícita $x^2 + y^2 -1=0 \,$ . Ao redor do ponto A, poderemos expressar e como uma função $y(x)=\sqrt{1-x^2}$ . Mas não existirá uma função similar em um meio do ponto B.

Em análise matemático, o teorema da função implícita estabelece condições baixo as quais uma equação de várias variáveis permite definir a uma delas como função das demais.

Por exemplo, dada a equação F(x,e)=0 (o que se conhece como função implícita), baixo certas exigências sobre a derivada de F poderíamos, ao menos localmente, despejar e=f(x).

Enunciado

Consideram-se o ponto $\, P=(a_1,a_2,\dots,a_n,b)$ e a equação $\, F(x_1,x_2,\dots,x_n,z)=0$ , sendo $\, F(x_1,x_2,\dots,x_n,z)$ uma função de variáveis $\, n+1$ que satisfaz as seguintes condições:

$\, F(P)=0$
Em um meio do ponto $\, P=(a_1,a_2,\dots,a_n,b)$ existem e são contínuas as derivadas parciais $\frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial F}{\partial x_n}, \frac{\partial F}{\partial z}$ .
$\frac{\partial F}{\partial z}$ em é $P$ diferente de zero.

Então existe em um meio do ponto $\, Q=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ uma única função $\, z=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ cujas derivadas parciais respecto $\, x_1,x_2,\dots,x_n$ de são contínuas em um meio de dito ponto $\, Q$ e tal que $\, F(x_1,x_2,\dots,x_n,f(x_1,x_2,\dots,x_n))=0$ ,

cujas derivadas da função implícita são: $\frac{\partial f(x_1,x_2,\dots,x_n)}{\partial x_i}= - \frac{\frac{\partial F(x_1,x_2,\dots,x_n,z)}{\partial x_i}}{\frac{\partial F(x_1,x_2,\dots,x_n,z)}{\partial z}}$ com $i=1..n$ .