Teorema de Pitágoras

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O Teorema de Pitágoras estabelece que em um triângulo retângulo, o quadrado da longitude da hipotenusa (o lado de maior longitude do triângulo retângulo) tanto faz, à soma dos quadrados das longitudes dos dois catetos (os dois lados menores do triângulo retângulo: os que conformam o ângulo recto). Se um triângulo retângulo tem catetos de longitudes $a \,$ e $b \,$ , e a medida da hipotenusa é $c \,$ , estabelece-se que:

$c^2 = b^2 + a^2 \,$

História

O Teorema de Pitágoras leva este nome porque sua descoberta recae sobre a escola pitagórica. Anteriormente, em Mesopotamia e o Antigo Egipto conheciam-se ternas de valores que se correspondiam com os lados de um triângulo retângulo, e se utilizavam para resolver problemas referentes aos citados triângulos, tal como se indica em algumas tablillas e papiros, mas não tem perdurado nenhum documento que exponha teoricamente sua relação. A pirâmide de Kefrén, datada no século XXVI a. C., foi a primeira grande pirâmide que se construiu se baseando no chamado triângulo sagrado egípcio, de proporções 3-4-5.

Demonstrações

O Teorema de Pitágoras é dos que contam com um maior número de demonstrações diferentes, utilizando métodos muito diversos. Uma das causas disto é que na Idade Média se exigia uma nova demonstração do teorema para atingir o grau de Magíster matheseos.

Alguns autores propõem até mais de mil demonstrações. Outros autores, como o matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogou 367 provas diferentes em seu livro de 1927 The Pythagorean Proposition.

Nesse mesmo livro, Loomis classificaria as demonstrações em quatro grandes grupos: as algébricas, onde se relacionam os lados e segmentos do triângulo; geométricas, nas que se realizam comparações de áreas; dinâmicas através das propriedades de força, massa; e as cuaterniónicas, mediante o uso de vetores.

China: o Chou Pei Suan Ching, e o Chui Chang Suang Shu

Prova visual para um triângulo de a = 3, b = 4 e c = 5 como se vê no Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

O Chou Pei é uma obra matemática de datación discutida em alguns lugares, ainda que aceita-se maioritariamente que foi escrita entre o 500 e o 300 a. C. Acha-se que Pitágoras não conheceu esta obra. Quanto ao Chui Chang parece que é posterior, está datado em torno do ano 250 a. C.

O Chou Pei demonstra o teorema construindo um quadrado de lado (a+b) que se parte em quatro triângulos de base a e altura b, e um quadrado de lado c.

Demonstração

Seja o triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c. Trata-se de demonstrar que a área do quadrado de lado c tanto faz à soma das áreas dos quadrados de lado a e lado b. Isto é:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

Se acrescentamos três triângulos iguais ao original dentro do quadrado de lado c formando a figura mostrada na imagem, obtemos um quadrado de menor tamanho. Pode-se observar que o quadrado resultante tem efectivamente um lado de b - a . Depois, a área deste quadrado menor pode expressar-se da seguinte maneira:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,$

Já que $(b-a)^2 = (a-b)^2 \,$ .

É evidente que a área do quadrado de lado c é a soma da área dos quatro triângulos de altura a e baseie b que estão dentro dele mais a área do quadrado menor:

$c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2$

Com o qual fica demonstrado o teorema.

Demonstrações supostas de Pitágoras

Erro ao criar miniatura:

Acha-se que Pitágoras baseou-se na semelhança dos triângulos ABC, AHC e BHC. A figura colorida faz evidente o cumprimento do teorema.

Estima-se que se demonstrou o teorema mediante semelhança de triângulos: seus lados homólogos são proporcionais.^[1]

Seja o triângulo ABC, retângulo em C. O segmento CH é a altura relativa à hipotenusa, na que determina os segmentos a’ e b’, projecções nela dos catetos a e b, respectivamente.

Os triângulos retângulos ABC, AHC e BHC têm suas três bases iguais: todos têm duas bases em comum, e os ângulos agudos são iguais bem por ser comuns, bem por ter seus lados perpendiculares. Em consequência ditos triângulos são semelhantes.

Da semelhança entre ABC e AHC:

e dois triangulos são semelhantes se há dois ou mais ângulos congruentes.

$\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}$

$b^2\ =\ b'c$

Da semelhança entre ABC e BHC:

$\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}$

$a^2\ =\ a'c$

Os resultados obtidos são o teorema do cateto. Somando:

$a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )$

Mas $\left (a'+b'\right )=\ c$ , pelo que finalmente resulta:

$a^2\ +\ b^2 =c^2$

Erro ao criar miniatura:

A relação entre as superfícies de duas figuras semelhantes tanto faz ao quadrado de sua razão de semelhança. Em isto pôde se ter baseado Pitágoras para demonstrar seu teorema

Pitágoras também pôde ter demonstrado o teorema baseando na relação entre as superfícies de figuras semelhantes.

Os triângulos PQR e PST são semelhantes, de maneira que:

$\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$

sendo r a razão de semelhança entre ditos triângulos. Se agora procuramos a relação entre suas superfícies:

$S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )$

$S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )$

obtemos após simplificar que:

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}$

mas sendo $\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$ a razão de semelhança, está claro que:

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2$

Isto é, "a relação entre as superfícies de duas figuras semelhantes tanto faz ao quadrado da razão de semelhança".

Aplicando esse princípio aos triângulos retângulos semelhantes ACH e BCH temos que:

$\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2$

que de acordo com as propriedades das proporções nos dá:

$\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ (I)

e pela semelhança entre os triângulos ACH e ABC resulta que:

$\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2$

$\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

mas segundo (I) $\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ , de modo que:

$\frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

e portanto:

$b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2$

ficando demonstrado o teorema de Pitágoras.

Arquivo:Teorema de Pitágoras.Pitágoras b.svg

Os quadrados compostos no centro e à direita têm áreas equivalentes. Tirando-lhes os triângulos o teorema de Pitágoras fica demonstrado.

É assim mesmo possível que Pitágoras tivesse obtido uma demonstração gráfica do teorema.

Partindo da configuração inicial, com o triângulo retângulo de lados a , b, c, e os quadrados correspondentes a catetos e hipotenusa –esquerda-, constroem-se dois quadrados diferentes:

Um deles –centro- está formado pelos quadrados dos catetos, mais quatro triângulos retângulos iguais ao triângulo inicial.
O outro quadrado –direita- conformam-no os mesmos quatro triângulos, e o quadrado da hipotenusa.

Se à cada um destes quadrados lhes tiramos os triângulos, evidentemente a área da quadrada cinza ( $c^2$ ) equivale à dos quadrados amarelo e azul ( $b^2+a^2$ ), se tendo demonstrado o teorema de Pitágoras.

Demonstração de Platón: o Menón

Arquivo:PLATÓN.Duplicación do quadrado e teorema de Pitágoras.svg

Em um dos meandros do Menón se propõe o problema da duplicación do quadrado –esquerda e centro-. A solução que elabora Platón encerra inesperadamente uma demonstração do teorema de Pitágoras –direita-, conquanto referida exclusivamente aos triângulos retângulos isósceles.

Dinos, Sócrates, como se adquire a virtude? Mediante o ensino ou mediante o exercício?

Esta filosófica pergunta faz parte do Menón de Platón , e a seu tenor não parece que a Geometria vá fazer acto de presença no Diálogo, mas o filósofo é quem maneja os fios e umas páginas mais adiante nos encontramos com quadrados e superfícies. Nesse fragmento, Platón fala de que conhecer é recordar. Quando cremos estar a aprender, o que sucede em realidade é que recordamos as verdades que nossa alma pôde perceber de forma imediata dantes de encarnar no corpo.

No texto Sócrates demonstra-lho a Menón chamando a um de seus escravos, que nunca tem sido educado, mas que, no entanto, é capaz de chegar a demonstrar o teorema de Pitágoras. Sócrates propõe-lhe o problema da duplicación do quadrado. Sucessivas perguntas vão sacando da mente do escravo a solução do problema, com o que pretendidamente aquele não fez senão "recordar" o que já "sabia". Esse método para sacar esses conhecimentos é a mayéutica, na qual, o indivíduo que conduz ao outro para o conhecimento, como neste caso faz Sócrates, desempenha uma função similar à de uma partera, onde o que consegue extrair de seu interlocutor, é o conhecimento do verdadeiro.

Platón constrói um quadrado cujo lado é de duas unidades (esquerda, cinza). Sua área vale o de quatro unidades quadradas. Traçando um novo quadrado sobre sua diagonal AB, obtém um quadrado de oito unidades quadradas (centro, azul), dupla superfície da do primeiro.^[2] Até aqui a duplicación do quadrado. Mas também se demonstrou o teorema de Pitágoras (direita): a área do quadrado azul ( $8 u^2$ ) construído sobre a hipotenusa AB do triângulo retângulo ABC, tanto faz à soma das áreas das quadradas cinzas ( $4 u^2$ a cada um) construídos sobre os catetos AC e BC. Generalizando: a cada um dos quadrados construídos sobre a hipotenusa (a diagonal do quadrado inicial) contém quatro de ditos triângulos.

Fica demonstrado o teorema de Pitágoras, conquanto restringido aos triângulos retângulos isósceles.

Demonstração de Euclides: proposição I.47 dos Elementos

Erro ao criar miniatura:

A proposição I.41 de Euclides. A superfície do retângulo ABCD é o duplo da de qualquer dos triângulos: suas bases são a mesma –DC-, e estão entre as mesmas paralelas. Isto é quanto precisa Euclides para demonstrar o teorema de Pitágoras.

Erro ao criar miniatura:

A demonstração de Euclides é puramente geométrica. Sua coluna vertebral é a singela proposição I.47 dos Elementos.

Arquivo:Euclides I.36.svg

A proposição I.36 de Euclides: os paralelogramos ABCD e EFCD têm áreas equivalentes, por ter igual base, e estar compreendidos entre as mesmas paralelas.

A descoberta dos números irracionais por Pitágoras e os Pitagóricos supôs um contratiempo muito sério.^[3] De repente, as proporções deixaram de ter validade universal, não sempre podiam se aplicar. A demonstração de Pitágoras de sua teorema baseava-se muito provavelmente em proporções, e uma proporção é um número racional. Seria realmente válida como demonstração? Ante isto, Euclides elabora uma demonstração nova que elude a possibilidade de se encontrar com números irracionais.

O eixo de sua demonstração é a proposição I.47 dos Elementos:

Se um paralelogramo e um triângulo têm a mesma base, e estão compreendidos entre as mesmas paralelas, então a área do paralelogramo é duplo da do triângulo. Isto é tanto como dizer que a igual base e altura, a área daquele dobra à deste.

Temos o triângulo ABC, retângulo em C, e construímos os quadrados correspondentes a catetos e hipotenusa. A altura CH prolonga-se até J. Seguidamente traçam-se quatro triângulos, iguais dois a dois:

Triângulos ACK e ABD: são iguais, pois sendo AD=AC, e AK=AB, necessariamente BD=CK. Seus três lados são iguais.
Triângulos ABG e CBI: analogamente, AB=BI, e BG=BC, de modo que AG=CI. Seus três lados são assim mesmo iguais.

Abundando nas anteriores considerações, note-se que um giro com centro em A, e sentido positivo, transforma ACK em ABD. E um giro com centro em B, e sentido também positivo, transforma ABG em CBI. Na demonstração de Leonardo dá Vinci encontrar-nos-emos de novo com giros que demonstram a igualdade de figuras.

Vejamos seguidamente que:

O paralelas r e s compreendem ao triângulo ACK e o retângulo AHJK, os quais têm a mesma base, AK. Por tanto de acordo com a proposição I.47 AHJK tem dupla área que ACK.
O paralelas m e n contêm a ABD e ADEC, cuja base comum é AD. De modo que a área de ADEC é dupla da de ABD.

Mas sendo ACK=ABD, resulta que o retângulo AHJK e o quadrado ADEC têm áreas equivalentes. Fazendo razonamientos similares com os triângulos ABG e CBI, com respeito ao quadrado BCFG e ao retângulo HBIJ respectivamente, concluímos que estes últimos têm áreas assim mesmo iguais. A partir de aqui, é imediato que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos, tanto faz à área do quadrado construído sobre a hipotenusa

Demonstração de Pappus

Arquivo:Euclides I.36.svg

A proposição I.36 de Euclides: os paralelogramos ABCD e EFCD têm áreas equivalentes, por ter igual base, e estar compreendidos entre as mesmas paralelas.

Arquivo:Teorema de Pitágoras.Pappus.svg

A demonstração de Pappus parece ser umas musicais variações sobre um mesmo tema, com respeito à de Euclides.

Uns 625 anos depois que Euclides, Pappus^[4] parece seguir sua senda, e desenvolve uma demonstração do teorema de Pitágoras baseada em Elementos I.36:

Dois paralelogramos de igual base, e entre as mesmas paralelas, têm superfícies equivalentes.

Partimos do triângulo ABC retângulo em C, sobre cujos catetos e hipotenusa temos construído os quadrados correspondentes.

Prolongando CH para acima obtém-se o retângulo CEGI cuja diagonal CG determina naquele dois triângulos retângulos iguais ao triângulo ABC dado:

Os ângulos agudos GCI e ABC têm seus lados perpendiculares
O lado CI tanto faz ao lado CB

Em consequência os triângulos retângulos ABC, ICG e EGC têm seus três lados iguais.

Os paralelogramos ACGF e AHMN têm a mesma base CG=HM, e estão compreendidos entre as mesmas paralelas, r e s. Portanto têm a mesma superfície (Elementos I.36)
Aplicando o mesmo princípio a ACGF e ACED –base comum AC, e paralelas m e n- resulta que ambos paralelogramos têm superfícies assim mesmo equivalentes.

De 1) e 2) segue-se que as superfícies de ACED e AHMN são iguais.

Analogamente:

CGJB e BLMH têm a mesma base CG=MH, e estão compreendidos entre o paralelas s e t. Suas superfícies são equivalentes.
CGJB e CIKB têm base comum CB, e estão entre as paralelas ou e p. Suas superfícies são iguais.

De onde se deduze a equivalencia das superfícies de BLMH e de CIKB.

O teorema de Pitágoras fica demonstrado.

Demonstração de Bhaskara

Arquivo:Teorema de Pitágoras.Bhaskara.svg

Bhaskara desenvolve uma demonstração gráfica e algébrica do teorema de Pitágoras.

Bhaskara II, o matemático e astrónomo indiano do século XII, dá-nos a seguinte demonstração do teorema de Pitágoras.

Com quatro triângulos retângulos de lados a, b e c constrói-se o quadrado de lado c –esquerdo-, em cujo centro se forma outro quadrado de lado (a-b).

Redistribuindo os quatro triângulos e o quadrado de lado (a-b), construímos a figura da direita, cuja superfície resulta ser a soma da de dois quadrados: um de lado a –azul- e outro de lado b -laranja-.

Demonstrou-se graficamente que $c^2=a^2+b^2$

Algebraicamente: a área do quadrado de lado c é a correspondente aos quatro triângulos, mais a área do quadrado central de lado (a-b), isto é:

$c^2=4 \cdot \frac {ab}{2}+ (a-b)^2$

expressão que desenvolvida e simplificada nos dá o resultado $c^2=a^2+b^2$ , e o teorema fica demonstrado.

Demonstração de Leonardo dá Vinci

Erro ao criar miniatura:

O desenho inicial, com o triângulo e os quadrados de catetos e hipotenusa, é modificado por Leonardo dá Vinci ao acrescentar dois triângulos iguais ao ABC: o ECF e o HIJ.

No elenco de inteligências que abordaram o teorema de Pitágoras não falta o génio do Renacimiento, Leonardo dá Vinci. Sua demonstração é uma das mais formosas.

Partindo do triângulo retângulo ABC com os quadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo acrescenta os triângulos ECF e HIJ, iguais ao dado, resultando dois polígonos, cujas superfícies vai demonstrar que são equivalentes:

Polígono ADEFGB: a linha DG divide-o em duas metades idênticas, ADGB e DEFG.
Polígono ACBHIJ: a linha CI determina CBHI e CIJA.

Comparemos os polígonos destacados em cinza, ADGB e CIJA:

De imediato vemos que têm três lados iguais: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
Assim mesmo é imediata a igualdade entre os ângulos dos seguintes vértices:
- A de ADGB e A de CIJA
- B de ADGB e J de CIJA

Conclui-se que ADGB e CIJA são iguais.

De modo análogo comprova-se a igualdade entre ADGB e CBHI.

Ademais, de um modo semelhante ao explicado na demonstração de Euclides, note-se que um giro de centro A, e sentido positivo, transforma CIJA em ADGB. Enquanto um giro de centro B, e sentido negativo, transforma CBHI em ADGB.

Todo isso nos leva a que os polígonos ADEFGB e ACBHIJ têm áreas equivalentes. Pois bem, se à cada um lhe tiramos seus dois triângulos –iguais- as superfícies que restam forçadamente serão iguais. E essas superfícies não são senão os dois quadrados dos catetos no polígono ADEFGB, por uma parte, e o quadrado da hipotenusa no polígono ACBHIJ, pela outra. O teorema de Pitágoras fica demonstrado.

Demonstração de Garfield

Arquivo:Teorema de Pitágoras.Garfield.svg

O polígono construído por Garfield é um trapecio de bases a e b, composto por três triângulos retângulos.

James Abram Garfield (1831-1881), o vigésimo Presidente dos Estados Unidos ^[5] , desenvolveu uma demonstração do teorema de Pitágoras publicada no New England Journal of Education.

Garfield constrói um trapecio de bases a e b, e altura (a+b), a partir do triângulo retângulo de lados a, b e c. Dito trapecio resulta composto por três triângulos retângulos: dois iguais ao dado, e um terceiro, isósceles de catetos c. Em consequência:

$S_{trapecio}=\frac {a+b}{2} \cdot (a+b)$

como corresponde à superfície do trapecio, mas assim mesmo temos uma figura composta por três triângulos, dois deles iguais, de maneira que:

$S=2 \cdot \frac {ab}{2} + \frac {c^2}{2}$

igualando:

$\frac {a+b}{2} \cdot (a+b) = (ab) + \frac {c^2}{2}$

o que finalmente nos dá $c^2=a^2+b^2$ , e o teorema está demonstrado.

Notas

↑ Uma vez descobertos os números irracionais esta demonstração ficava invalidada. Será Euclides o primeiro em prescindir da proporcionalidade para demonstrar o teorema.
↑ Em primeiro lugar tem-se cuadruplicado a área do quadrado inicial, que aumentou de quatro a dezasseis unidades quadradas, para depois obter o resultado procurado
↑ Os pitagóricos tinham chegado à conclusão de que o número racional o explicava tudo. Por isso a descoberta dos números irracionais causou um verdadeiro trauma. Juraram manter o segredo do descoberto mas, segundo a lenda (ou realidade?) o pitagórico Hipaso de Metaponto revelou-o. Em represália, seus colegas invocaram a ira dos deuses e Hipaso morreu em um naufrágio.
↑ Pappus nasceu em Alejandría -Pappus de Alejandría- sobre o ano 290 de nossa era, e morreu ao redor do 350. É o último dos grandes geómetras gregos.
↑ James A. Garfield morreu o 19 de Setembro de 1881, em consequência de um atentado sofrido o 2 de Julio do mesmo ano. Foi o segundo Presidente assassinado, após Abraham Lincoln. Sua demonstração do teorema de Pitágoras é de 1876, quando era membro da Câmara de Representantes.

Referências bibliográficas

PLATÓN: Diálogos. Menexenos-Menon-Kratilos-Faidros. Edições Ibérias. Madri, 1958
PAUL STRATHERN: Pitágoras e seu teorema. Século XXI de Espanha Editores. Madri, 1999
LOOMIS E. S.: The Pythagorean Proposition. NCTM. Michigan, 1940
GONZÁLEZ URBANEJA, P. M.: Pitágoras. O filósofo do número. Nivola. Madri, 2001

Veja-se também

Enlaces externos

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