Teoria cuántica de campos

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A teoria cuántica de campos (ou QFT por Quantum Field Theory) é um marco teórico que aplica os princípios da mecânica cuántica aos sistemas clássicos de campos contínuos, como por exemplo o campo electromagnético. Mediante este formalismo pode descrever-se a evolução e interacções de um sistema composto de partículas cuánticas cujo número não é constante, isto é, que podem se criar ou se destruir.

A dispersión inelástica de neutrones em um cristal é o resultado da interacção do neutrón com os átomos da rede em vibração. O processo modela-se de maneira mais singela ao considerar os quantos das ondas sonoras do cristal, os fonones, já que os processos relevantes envolvem só dois corpos: o neutrón e um fonón absorvido ou emitido pelo primeiro. A teoria cuántica de campos é o marco teórico que se utiliza em tais processos.

Sua principal aplicação é à física de altas energias, onde se combina com os postulados da relatividad especial. Nesse regime é capaz de acomodar todas as espécies de partículas subatómicas e suas interacções, bem como de realizar predições muito genéricas, como a relação entre spin e estatística, a simetría CPT, a existência de antimateria , etc. Ademais é uma ferramenta importante no contexto da física da matéria condensada, onde se utiliza para explicar fenómenos como a superconductividad.

Em particular, a teoria cuántica do campo electromagnético, conhecida como electrodinámica cuántica, foi o primeiro exemplo de teoria cuántica de campos que se estudou e é a teoria física provada experimentalmente com maior precisão. Os fundamentos da teoria de campos cuántica foram desenvolvidos entre o fim dos anos 20 e nos anos 50, notavelmente por Dirac , Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, e Dyson.

(A palavra «partícula» utiliza-se a nível introductorio em mecânica cuántica para enfatizar ao comportamento clássico de um ponto material. Neste artigo «partícula» refere-se à entidade puramente cuántica resultante de cuantizar o ponto material, que possui o comportamento denominado como dualidad onda-corpúsculo, como um elétron ou um fotón)

História

Artigo principal: História da teoria cuántica de campos

O desenvolvimento da teoria cuántica de campos levou-se a cabo simultaneamente com o da própria mecânica cuántica. Começou nos anos 20 em uma tentativa de descrever o campo electromagnético mediante esta última. Em 1926 Werner Heisenberg, Pascual Jordan e Max Born calcularam o espectro de energias da radiación em ausência de ónus (o problema do corpo negro). Em 1927 Paul Dirac desenvolveu a primeira versão da electrodinámica cuántica, que inclui a interacção do campo com ónus eléctricos.

Também foram decisivos as tentativas de incorporar os princípios da relatividad especial no seio da teoria cuántica. Com o desenvolvimento das equações de onda relativistas, como a equação de Klein-Gordon ou a de Dirac , nasceu como tal a teoria, uma vez superados os defeitos aparentes destas. Assim, no telefonema segundo cuantización, se reformularam estas equações de tal maneira que descreviam campos cuánticos (não partículas individuais), podendo ademais dar conta da estatística dos sistemas de muitas partículas.

Apesar de seus sucessos iniciais, a teoria cuántica de campos estava plagada de problemas teóricos muito sérios. Muitas quantidades físicas em aparência inocuas, como a deslocação energética do elétron durante o efeito Stark, davam como resultado ao as calcular um valor infinito, um resultado sem sentido. Este "problema das divergências" foi resolvido durante os anos 40, através de um processo conhecido como renormalización. Esta etapa culminou com o desenvolvimento da moderna electrodinámica cuántica (QED, por Quantum Electrodynamics).

Começando em 50 com o trabalho de Yang e Mills, QED foi generalizada a uma classe mais geral de teorias conhecidas como teorias gauge. Ao longo dos anos 60 e 70 formulou-se o conjunto de teorias gauge conhecido como o modelo regular da física de partículas, que descreve todas as partículas elementares conhecidas e suas interacções.

Também durante os 70, uma série de desenvolvimentos paralelos no estudo de transições de fase em física da matéria condensada levaram a um conjunto de ideias e métodos conhecido como grupo de renormalización. Isto resultou em um entendimento mais profundo do esquema de renormalización inventado nos anos 40, e em uma unificação das técnicas de teoria cuántica de campos utilizadas em física de partículas e física da matéria condensada.

Princípios básicos

Motivação e delimitação do termo

Limitações da mecânica cuántica ordinária

A mecânica cuántica convencional não é capaz de descrever alguns aspectos de certos sistemas físicos. A equação de Schrödinger, que descreve a evolução um sistema físico em mecânica cuántica, tem a seguinte forma:

$\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$

onde $\Psi(\mathbf r)=\Psi(\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_n)$ é a função de onda de de $n$ partículas, m sua massa, e V sua energia potencial.

Criação e destruição: Esta equação descreve a evolução de um sistema com número finito e invariável de partículas (a saber, $n$ ). No entanto, em experimentos de altas energias é corrente que as partículas elementares suficientemente em massa decaigan em várias partículas mais ligeiras, como se deduze a sua vez da famosa relação massa-energia de Einstein. Outro exemplo, é a aniquilación de um elétron e um positrón em fotones . Ademais, no contexto de física do estado sólido, as excitações de um colectivo de átomos se reinterpretan como pseudopartículas, como o fonón, cujo número é variável. A equação de Schrödinger formulada desta maneira não é por tanto apropriada para descrever este tipo de sistemas no que o número de corpos não é fixo.^[1]

Invariancia relativista: Ademais esta equação não reflete as propriedades da cinemática relativista. Seu limite clássico corresponde-se com a mecânica galileana em lugar da mecânica relativista: o primeiro termo da esquerda corresponde-se só com a energia cinética newtoniana $p^2/2m$ , em lugar da expressão einsteniana $\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ .; É possível modificar a equação de Schrödinger para fazê-la invariante relativista, dando por resultado a equação de Klein-Gordon ou a equação de Dirac. No entanto, estas equações têm muitas propriedades insatisfactorias: por exemplo, predizem a existência de partículas com energia negativa, de modo que o sistema resulta ser instável.^[2] Tais defeitos são devidos a que estas equações também não contemplam a possibilidade de que as partículas possam se criar ou se destruir, consequência directa da teoria da relatividad, como se menciona no epígrafe anterior.

Mecânica cuántica e campos clássicos

Desde um ponto de vista formal, uma teoria cuántica de campos não é mais que o resultado de cuantizar o sistema clássico de uma teoria clássica de campos:

Em mecânica clássica, um sistema físico está descrito mediante coordenadas (os graus de liberdade) e velocidades. Qualquer outra magnitude física ou observable é expresable em função destas. Por exemplo, um conjunto de partículas interactuando entre sim vem descrito por suas coordenadas $\mathbf x_i$ e momentos $\mathbf p_i$ .

A mecânica cuántica descreve os sistemas físicos mediante um espaço de estados possíveis para os mesmos, e um conjunto de operadores que representam os observables físicos que podem se medir. Estas são as ferramentas que permitem predizer as probabilidades associadas a um experimento de física cuántica.

No processo de cuantización , dado um sistema clássico, define-se para a cada observable seu operador correspondente, definido sobre um verdadeiro espaço de estados. Por exemplo, para um sistema de múltiplas partículas como o do primeiro ponto, descrito classicamente por suas coordenadas e momentos, se obtêm entre outros seus operadores posição e momento, $\hat X_i$ e $\hat P_i$ .^[3]

Por outro lado, uma teoria clássica de campos não é mais que uma teoria clássica cujos graus de liberdade vêm descritos por campos : funções definidas na cada ponto do espaço e que evoluem no tempo, $\phi(\mathbf r)$ ; sendo exemplos o campo electromagnético ou o campo de densidades de um fluído. Isto quer dizer que em verdadeiro sentido estes sistemas possuem infinitas coordenadas: para precisar o estado do sistema é necessário conhecer o valor do campo na cada ponto do espaço $\mathbf r$ .

De igual modo, em uma teoria cuántica de campos a cuantización substitui os campos envolvidos na descrição do sistema por operadores. Em particular, o valor do campo na cada ponto $\phi(\mathbf r)$ do espaço é um grau de liberdade (uma coordenada) independente. Os infinitos graus de liberdade refletem-se em uma colecção infinita de operadores, $\hat\phi(\mathbf r)$ .^[4]

No entanto, a cuantización de um campo clássico arroja consequências inovadoras: um campo cuántico está intimamente relacionado com um colectivo de partículas de número variável.

Segunda cuantización

Artigo principal: Segunda cuantización

As noções clássicas de partícula e campo comparadas com sua contrapartida cuántica. Uma partícula cuántica está deslocalizada: sua posição reparte-se em uma distribuição de probabilidade. Um campo cuántico é equivalente a um colectivo de partículas cuánticas.

O segundo ingrediente da teoria cuántica, junto com os operadores associados aos observables é o espaço de estados onde actuam estes.

No caso de uma teoria cuántica de campos, este espaço de estados consiste em todas as possíveis excitações discretas deste campo, que toma a forma de um espaço de Fock: um espaço que descreve um sistema de partículas cujo número é indeterminado. Assim, os graus de liberdade do campo cuántico ficam unidos aos de um conjunto de partículas idênticas que podem se criar e se destruir. Esta é a razão pela que a teoria cuántica de campos é uma ferramenta básica para descrever sistemas com um número de partículas variável.

Limite contínuo

A relação entre campo cuántico e colectivo de partículas não é de estranhar: está relacionada com o conceito de limite contínuo. Uma parte significativa das teorias clássicas de campo descrevem sistemas de maneira macroscópica, como por exemplo, as vibrações de um médio contínuo. Funcione-las campo representam neste caso uma aproximação aos graus de liberdade microscópicos do sistema. É possível modelar estas vibrações tomando as partículas individualmente e analisando as forças entre elas, que usualmente tomam a forma de osciladores acoplados . E é possível também comprovar como esta segunda descrição converge à primeira, no limite no que a separação entre partículas é nula.^[5] Deste modo, um campo clássico é o limite de uma rede de partículas "sujeitas por berços".

Em teoria cuántica de campos, esta relação mantém-se. Mas ademais, para o sistema de partículas "sujeitas por berços" (com um potencial quadrático com a distância), os modos normais estão cuantizados. Precisamente, comportam-se como excitações discretas, com propriedades muito similares às de uma partícula (o fonón é o exemplo mais singelo disto): a cada modo normal representa uma partícula em um verdadeiro estado de movimento; o número cuántico sócio a esse modo representa o número de ditas partículas. Por isso, ao entender um campo como o limite de um conjunto de osciladores, seu espectro de excitações é idêntico ao de um sistema de partículas de numero indeterminado.

Espaço de Fock

Um espaço de Fock pode descrever-se como segue. Dada uma partícula isolada, seu estado cuántico pode ser descrito com respeito a um conjunto de estados $|\varphi_1\rangle,\,|\varphi_2\rangle,\ldots$ (uma base). Dado um número arbitrário de partículas identicas, basta com especificar o número de partículas na cada possível estado individual ("números de ocupação").

Por exemplo, no caso de três bosones, nos estados 1, 2 e 4, o estado total do sistema descreve-se como $|1,1,0,1,0,\ldots\rangle$ , especificando: 1 partícula no primeiro estado, 1 no segundo, 0 no terceiro, 1 no quarto, 0 no quinto, etc.

No caso de múltiplos fermiones procede-se de maneira similar, salvo que dado que estes obedecem o princípio de exclusão de Pauli (dois fermiones não podem estar no mesmo estado cuántico), os números de ocupação só podem valer 0 ou 1.

Operadores criação e destruição e campo cuántico

Dado um espaço de Fock como o descrito acima, é singelo definir seus operadores de criação e destruição,^[6] que simplesmente acrescentam ou restam partículas do total:

$\qquad \hat a^\dagger_2|1,0,2,0,\ldots\rangle\sim|1,1,2,0,\ldots\rangle\quad\textrm{;}\quad \hat a_3|2,1,2,0,\ldots\rangle\sim|2,1,1,0,\ldots\rangle$

A interpretação do operador campo $\hat\phi(\mathbf r)$ é precisamente um operador que cria e destrói partículas na posição $\mathbf r$ .

Isto se comprova realizando um desenvolvimento em série de Fourier, como por exemplo no caso de um campo escalar relativista:

$\hat{\phi}(\mathbf{r},t) \sim \sum_{\mathbf{k}} \frac1\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}} e^{i\mathbf k\mathbf r}\left\{ e^{-i\omega_\mathbf{k}}\hat{a}_{\mathbf{k}} +e^{i\omega_\mathbf{k}t} \hat{a}_\mathbf{-k}^\dagger \right\}$

Os operadores de criação e destruição estão referidos a partículas com um momento determinado: $\hat{a}_\mathbf{k}^\dagger$ é o operador que cria uma partícula com um momento $\mathbf{k}$ e energia^[7] $\omega_\mathbf{k}=\sqrt{\mathbf k^2+m^2}$ , e vice-versa para o operador de destruição.^[8]

A relação entre os operadores de criação e destruição estão determinadas pela estatística do tipo de partículas descritas. Dependendo de se as partículas são bosones ou fermiones, existe uma relação de conmutación (anti-conmutación) entre eles:

$[\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\hat a_i\hat a_j^\dagger-\hat a_j^\dagger \hat a_i=\delta_{ij}\textrm{\ (bosones)\ ;\ }\{\hat b_i,\hat b_j^\dagger\}=\hat b_i\hat b_j^\dagger+\hat b_j^\dagger \hat b_i=\delta_{ij}\textrm{\ (fermiones)}$

Estas relações de (anti-)conmutaciónno são senão uma maneira de apresentar as relações de (anti-)conmutación canónicas para o operador campo e seu momento conjugado $\hat\pi(\mathbf r)$ , próprias de todo o sistema cuántico, do tipo

$\hat\phi(\mathbf r)\hat\pi(\mathbf r')\mp\hat\pi(\mathbf r')\hat\phi(\mathbf r)=i\delta(\mathbf r-\mathbf r')$

Teorias de campos

Uma vez descrito o processo da cuantización, dando a descrição dos operadores campo e o espaço de estados no que actuam, se procede a examinar as características concretas do sistema baixo estudo. A teoria clássica de campos descreve-se mediante o uso de um lagrangiano (ver mais abaixo), enquanto a teoria cuántica vem determinada por sua hamiltoniano.

Teorias livres

O formalismo da secção anterior aplica-se de forma directa ao caso de campos não interactuantes, caso conhecido como teoria de campo livre. Isto quer dizer que as partículas envolvidas não mantêm nenhuma interacção entre si, e se corresponde directamente com o facto de que a teoria de campos cuantizada é linear. O número de ditas partículas conserva-se, devido a esta ausência de interacção.

A energia total do sistema é por suposto a soma das energias da cada partícula.

No caso do caso do campo escalar relativista, o hamiltoniano clássico é:

$H=\int d^3\mathbf r\,\mathcal H(\mathbf r)=\frac12\int d^3\mathbf r\left\{ \pi(\mathbf r)^2+\nabla^2 \phi(\mathbf r)+m^2 \phi(\mathbf r)^2\right\}$

Ao cuantizar e substituir os campos por operadores campo obtém-se o correspondente hamiltoniano cuántico:

$\hat H=\sum_\mathbf{k}\omega_\mathbf{k}\,\hat a^\dagger_\mathbf{k}\hat a_\mathbf{k}$

que simplesmente é a soma da energia que corresponde à cada estado de movimento ou "nível de energia", ponderada pelo número de partículas nesse estado.^[9]

Além da relação entre as regras de conmutación do campo e a estatística mencionada acima, o tipo de partículas também depende da teoria clássica que é cuantizada. Em particular o tipo de campo que é cuantizado determina o spin das partículas que aparecem como excitações discretas:

Um campo escalar que obedece a equação de Klein-Gordon resulta em uma teoria de bosones de spin 0, como certos mesones.
Um campo espinorial que obedece a equação de Dirac resulta em uma teoria de fermiones de spin 1/2, como os elétrons ou os protones.
As equações do campo electromagnético clássico dão uma teoria de bosones de spin 1, os fotones.

Algumas destas teorias foram pesquisadas inicialmente como equações de Scrödinger relativistas para um corpo, daí o nome de segunda cuantización.^[10] É conhecida a relação que existe entre o spin e a estatística das partículas. Em teoria cuántica de campos pode demonstrar-se que esta relação é uma consequência directa da união entre mecânica cuántica e relatividad especial.^[11]

Teorias interactuantes

Para tratar com um sistema de partículas interactuantes, a teoria de campos que se cuantiza tem de ser não linear. Isto significa que o lagrangiano e -ou- o hamiltoniano clássicos (ver mais abaixo) são não quadráticos (envolvem produtos a mais de dois campos no mesmo ponto), ou de outro modo, que a equação do campo envolve algum produto de ao menos dois campos no mesmo ponto. Ao cuantizar a teoria obtêm-se termos extra no hamiltoniano cuántico devidos a esta interacção, não quadráticos a sua vez, como por exemplo:

$\mathcal H_\textrm{int}(\mathbf r)=g\underbrace{\varphi(\mathbf r)\bar\Psi(\mathbf r)\Psi(\mathbf r)}_\textrm{3\ campos (Yukawa)}+\overbrace{\lambda\phi(\mathbf r)^4}^\textrm{4\ campos(Higgs)}+e\underbrace{A_\mu(\mathbf r)\bar\psi(\mathbf r)\gamma^\mu\psi(\mathbf r)}_\textrm{3\ campos (QED)}+\ldots$

Um aspecto importante sobre os campos interactuantes é que o número de partículas em general não se mantém constante. A relação deste facto com os termos não quadráticos é clara: necessariamente contêm produtos de operadores destruição e criação em um número descompensado. ^[12] Para o cálculo de observables , como probabilidades de scattering em um experimento de física de partículas, não se conhece como tratar estes termos de forma exacta e se trabalha com eles de maneira perturbativa (Ver mais abaixo).

A grande maioria das teorias com interesse para a física incluem termos de interacção. A equação anterior para $\mathcal H_\textrm{int}$ proporciona diversos exemplos:

A interacção de Yukawa descreve as forças entre nucleones (neutrones e protones, campo $\Psi$ ) mediadas por mesones (piones de facto, campo $\phi$ ). A interacção é proporcional a ( $\phi\Psi^2$ $\varphi\bar\Psi\Psi$ para ser exactos).
O campo de Higgs é um hipotético mediador entre todas as partículas elementares no Modelo regular. Vem representado por e $\displaystyle\phi$ um bosón de spin 0 sócio. Os próprios bosones de Higgs interactúan entre si, com um termo dado por .. $\displaystyle\phi^4$
A electrodinámica cuántica é o a teoria cuántica que descreve a interacção entre radiación (fotones, campo $A_\mu$ ) e fermiones carregados (como elétrons ou quarks, descritos por um campo espinorial $\psi$ ). O termo de interacção é do tipo $A\psi^2$ ( $A_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi$ mais exactamente).

Enfoques axiomáticos

Artigo principal: Teoria cuántica de campos axiomática

A descrição anterior reflete o enfoque que a maioria de físicos usam para descrever a teoria cuántica de campos. No entanto este enfoque dista de ser matematicamente rigoroso e apresenta diversos problemas formais. Desde a segunda metade do século XX tem tido muitas tentativas de caracterizar a teoria cuántica de campos em termos matematicamente formais, resumindo suas características em uma série de axiomas.

O primeiro tipo de enfoques axiomáticos, desenvolvidos nos anos 50, incluem sistemas de axiomas devidos a Wightman, Osterwalder-Schrader e Haag-Kastler. Nestes sistemas é possível provar como teoremas a conservação da simetría CPT ou o teorema spin-estatística. No entanto, para além de modelos com uma dinâmica trivial (teorias sem interacção, em 2 dimensões, etc.) estas construções não se viram realizadas.

Um segundo tipo de enfoques axiomáticos surgiu durante os anos 1980, e estavam baseadas em conceitos geométricos. Esta linha de investigação, chamada teoria cuántica de campos topológica, associa-se principalmente com os trabalhos de Michael Atiyah e Graeme Segal, e foi ampliada notavelmente por Edward Witten, Richard Borcherds e Maxim Kontsevich. No entanto, a maioria dos modelos fisicamente relevantes de teorias cuánticas de campos, tais como o Modelo regular, não são teorias cuánticas de campos de tipo topológico. Um exemplo que sim cai nesta categoria é a que descreve do efeito Hall cuántico fracionário.

Descrever uma teoria cuántica de campos de relevância em física mediante uma axiomática e demonstrar a existência de dita estrutura é um problema central da física matemática. De facto, o caso de uma teoria de Yang-Mills é o enunciado de um dos problemas do milénio.

Aspectos finque

Lagrangianos e simetrías

Os sistemas clássicos especificam-se mediante um lagrangiano dentro do formalismo da mecânica analítica: uma função das coordenadas que descrevem o sistema, e suas velocidades associadas. Com esta função podem obter-se as equações de movimento do sistema. Para uma teoria de campos clássica, procede-se de igual modo, mediante o uso de densidades lagrangianas.

O formalismo lagrangiano está intimamente unido com o formalismo hamiltoniano, um enfoque similar para descrever o sistema, que ademais permite levar a cabo a cuantización do sistema clássico. A excepção das teorias de campos, é este último o que se utiliza ao cuantizar um sistema clássico.

No entanto, o enfoque lagrangiano é o preferido ao tratar as teorias clássicas de campos. Por um lado, os sistemas clássicos de campos não são singelos de tratar mediante hamiltonianos (a diferença da maioria dos sistemas mais singelos). Usualmente, os graus de liberdade de um campo clássico não são fáceis de isolar na maneira na que o requer o formalismo hamiltoniano.

Outra razão importante é que as simetrías do sistema não são fáceis de visualizar em um hamiltoniano, enquanto para um lagrangiano é muito singelo deduzir que transformações o deixam invariante. Ademais, o teorema de Noether permite extrair do lagrangiano quantidades conservadas a partir de um grupo de simetrías contínuo, as quais determinam as leis de conservação do sistema.

Diagramas de Feynman

Artigo principal: Diagramas de Feynman

Calcular as probabilidades em um experimento de scattering requer um desenvolvimento perturbativo em termos a interacção cuántica, que envolve produtos de múltiplos operadores campo. De forma geral, dado um hamiltoniano de interacção $\hat H_\textrm{int}=g\int d^3\mathbf r\hat\mathcal H_\textrm{int}(\mathbf r)$ , a amplitude de probabilidade está dada por um valor esperado do tipo:

$M_\textrm{experimento}=\langle g\hat\mathcal H_\textrm{int}+\frac{g^2}2\hat\mathcal H_\textrm{int}^2+\ldots\rangle$

onde o valor esperado se toma entre os estados inicial e final: $\langle\ldots\rangle=\langle f|\ldots|i\rangle$ . Este desenvolvimento em potências da constante de acoplo $g$ funciona em princípio sempre esta seja o suficientemente pequena.

A técnica de diagramas de Feynman, desenvolvida por Richard Feynman, permite realizar estes cálculos de maneira singela, mediante um método muito eficaz que consiste em somar combinações de diagramas. Estes representam todos os processos cuánticos subjacentes possíveis no experimento: a criação e aniquilación de um número qualquer de partículas virtuais.

Por exemplo, no estudo da dispersión Compton, a amplitude cuántica vem dada pela expressão algébrica:

$M_{e\gamma\to e\gamma}=\langle \frac{e^2}2 \hat J^\mu(x) \hat A_\mu(x)\hat J^\nu(y)\hat A_\nu(y)+\frac{e^4}{4!}\hat J^\mu(x)\hat A_\mu(x)\hat J^\nu(y)\hat A_\nu(y)\hat J^\rho(z)\hat A_\rho(z)\hat J^\sigma(w)\hat A_\sigma(w)+\ldots\rangle$

onde $J^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$ é o operador corrente eléctrica. Esta expressão requer arduos cálculos algébricos dantes de poder reduzir a uma forma singela. Os diagramas de Feynman funcionam como um conjunto de regras combinatorias que proporcionam uma expressão mais simplificada (ainda que não do todo). A amplitude anterior, por exemplo, equivale a:

As linhas curvadas são fotones e as linhas rectas, elétrons. A propagación de partículas representa-se por linhas internas nos diagramas, e a destruição e aniquilación simultâneas de partículas em um ponto dado, por vértices. Os diagramas de Feynman não são só uma técnica de cálculo, senão que sua interpretação como a colecção dos "processos virtuais" subjacentes a um experimento dado resulta muito útil.

Renormalización

Artigo principal: Renormalización

A presença de um ónus eléctrico polariza o vazio: os pares virtuais partícula-antipartícula apantallan o ónus original. Dita ónus nua é divergente a sua vez. No entanto o ónus que é medida experimentalmente é finita, porque resulta de sustraer ambos efeitos infinitos.

Já nas aplicações temporãs da teoria cuántica de campos, se constatou que o cálculo de certas quantidades utilizando este formalismo arrojava um valor infinito. Isto se considerava uma resposta sem sentido que mostra alguma limitação essencial da teoria em questão. Em particular, este desagradable resultado aparece quase sempre se se pretende aumentar a precisão de um cálculo qualquer, para além da ordem mais baixa de aproximação na série perturbativa.

Isto não invalida o esquema da teoria cuántica de campos. O processo da renormalización é um método que se desenvolveu para separar estas divergências das quantidades finitas susceptíveis de se medir experimentalmente. A resolução do problema passa por reconhecer que os cálculos perturbativos implicam extrapolar a teoria a distâncias arbitrariamente curtas (ou equivalentemente, a energias arbitrariamente altas), daí o nome de divergências ultravioletas. Ao identificar esta extrapolación como a fonte do resultado infinito, pode se examinar que porção deste resultado corresponde verdadeiramente à quantidade física, cujo valor tem de ser finito.

Teorias gauge

Artigo principal: Teoria gauge

No electromagnetismo clássico, o campo electromagnético descreve-se utilizando graus de liberdade redundantes: dado $A_\mu$ , o campo $A_\mu+\partial_\mu\chi$ corresponde ao mesmo estado físico do sistema, sendo $\chi(t,\mathbf r)$ uma função qualquer. Isto é como a intensidade de campo $F_{\mu\nu}$ não se vê afectada por esta transformação, denominada transformação gauge. Ao tentar cuantizar o campo electromagnético, estes graus de liberdade redundantes aparecem como estados não físicos para o fotón, que só pode ter dois polarizaciones.

Também a teoria clássica de um campo espinorial que segue a equação de Dirac possui graus de liberdade redundantes: a fase do campo. As soluções dadas por correspondem $\displaystyle e^{i \alpha}\psi$ ao mesmo estado físico, sem importar o valor de . $\alpha$ Esta transformação é global: $\alpha$ é uma constante igual em todos os pontos do espaço tempo.

Precisamente, ao acoplar ambas teorias, esses graus de liberdade adicionais e não físicos podem se eliminar mutuamente, permitindo que que a fase $\alpha$ varie na cada ponto do espaço tempo, e identificando com a função $\chi$ que transforma ao campo electromagnético. Deste modo obtém-se, uma vez cuantizada, a electrodinámica cuántica, o primeiro exemplo de uma teoria gauge, onde a fase $\alpha$ joga o papel do grupo de simetría gauge Ou(1).^[13] Este método assegura que os graus de liberdade redundantes do campo electromagnético desapareçam da teoria cuántica de forma consistente.

A generalização deste exemplo é directa, sem mais que considerar um grupo de simetría gauge qualquer. Dado um conjunto de fermiones $\psi_i$ com graus de liberdade redundantes, representados em um grupo de simetría, pode acrescentar-se um campo $A_\mu^a$ que compense o efeito de permitir que as transformações do grupo se voltem locais (diferentes na cada ponto do espaço tempo). Deste modo obtém-se uma teoria que descreve um conjunto de bosones intermediários (generalizando ao fotón), que actuam como portadores da interacção entre os fermiones, que adquirem um verdadeiro ónus que os acopla aos bosones.

As teorias gauge têm resultado ser muito exitosas na formulación do modelo regular das partículas fundamentais, que não é mais que uma teoria gauge baseada em três grupos de simetría.

Aplicações

Física de altas energias

Artigos principais: Física de partículas e Modelo Regular

O quark top é a última partícula do Modelo regular descoberta até a data (em Tevatrón em 1995).

No âmbito da física de altas energias estudam-se os componentes elementares da matéria e suas interacções. Para isso é necessário utilizar uma grande quantidade de energia em relação ao número de partículas envolvidas, para poder decompor a matéria. Neste regime, é inevitável o uso de uma teoria cuántica de campos para dar conta da cinemática relativista das partículas. Como se menciona acima, tanto a criação e destruição de partículas como a diferença na relação energia-momento fazem necessário este formalismo.

Na actualidade, a teoria denominada Modelo regular recolhe todos os fenómenos conhecidos a escala subatómica, classificando todos os componentes da matéria em três famílias de fermiones de spin 1/2 (quarks e leptones), e suas interacções como o resultado do intercâmbio de bosones gauge de spin 1. Esta teoria é uma teoria cuántica de campos; uma teoria gauge mais concretamente, que explica todas as interacções como o resultado da simetría gauge $SU(3)_c\times SU(2)_W\times U(1)_Y$ . Ademais, a massa de todas as partículas se explica como o resultado de sua interacção com um campo escalar chamado campo de Higgs, do qual ainda não há evidência experimental.

Física da matéria condensada

Artigo principal: Física da matéria condensada

Um dos melhores exemplos para entender a teoria cuántica de campos pertence ao campo da física do estado sólido, e é a descrição das oscilações dos átomos em um sólido como pseudopartículas telefonemas fonones.^[14] Em física da matéria condensada existem muitos sistemas que se analisam termos similares, aproveitando a comodidade das técnicas de many body, ainda que a criação e destruição de partículas não necessariamente se dê em realidade.

Uns poucos exemplos são a teoria BCS da superconductividad, o efeito Hall cuántico, o ferromagnetismo e antiferromagnetismo, etc.^[15] Todos os rasgos da teoria que temos descrito aparecem entre estes modelos: ruptura espontánea de simetría, invariancia gauge, modelos sigma não-lineares, anomalías, etc. De facto, é remarcable que algumas destas características essenciais da teoria cuántica de campos se propuseram no contexto de física da matéria condensada.

Assim, o conceito de ruptura espontánea de simetría foi desenvolvido para explicar a superconductividad dantes de ser adaptado ao bosón de Higgs. De igual modo, a técnica de grupo de renormalización, onde se examina a mudança nos parámetros de uma teoria dependendo da escala à que lha examine, aparece de maneira natural em matéria condensada, como por exemplo ao analisar o modelo de Ising.

Veja-se também

Referências

Notas

↑ Ver Nair, 2005, p. 7.
↑ Ver Weinberg, 1995, p. 11.
↑ Operadores que a sua vez, actuam sobre o espaço $\mathcal L_{\mathbb C}^2$ das funções integrables, que representam distribuições de probabilidade.
↑ Esta dependência de deve $\mathbf r$ entender em um sentido distribucional. Vease Wald, 1994, p. 36.
↑ Veáse Goldstein, 2001, §13.1.
↑ Se obvian no texto as constantes de proporcionalidade adequadas. Ver Nair, 2005, p. 10.
↑ Temos alterar# para unidades naturais, nas que $c=\hbar=1$ .
↑ A cuantización do campo escalar pode encontrar-se em Peskin e Schroeder, 1995, §2 e Nair, 2005, §3.
↑ Em realidade, existem problemas com a ordem dos operadores neste processo. Ver Peskin e Schroeder, 1995, p. 21.
↑ A razão para o nome é que se de uma partícula pontual se obtém uma função de onda ao cuantizar, considerando esta última como um campo, cuantizarlo e obter uma teoria de many-body é uma "segunda cuantización". É um nome que se mantém por motivos históricos e que se pensa que leva a confusão (Se veja Weinberg, 1995, pp. 19,28)
↑ Veja-se Weinberg, 1995, §5.7, e Pauli, 1940 para uma das primeiras demonstrações.
↑ Isto implica que o hamiltoniano e o operador número de partículas não comutem no caso não quadrático. Daí que o número de partículas não se mantenha constante, já que as leis de conservação cuánticas requerem a conmutación com o hamiltoniano. Veja-se Cohen-Tannoudji, Diu e Laloe, 1991, §GIII.
↑ A fase não é senão um número complexo cujo módulo é 1. O conjunto de todos esta forma o grupo $U(1)$
↑ Do grego $\phi\omega\nu\acute\eta$ , voz.
↑ Pode encontrar-se uma exposição completa em Zee, 2003, §V e §VI.

Bibliografía

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Este artigo foi criado a partir da tradução do artigo Quantum field theory da Wikipedia em inglês, concretamente desta versão, baixo licença Creative Commons Compartilhar Igual 3.0 e GFDL.

Enlaces externos

Fields por Warren Siegel (Grátis mas enorme: 800 pp.)

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