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Teoria da probabilidade

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A teoria da Probabilidade é a teoria matemática que modela os fenómenos aleatórios. Estes devem contrapor aos fenómenos determinísticos, nos quais o resultado de um experimento, realizado baixo condições determinadas, produz um resultado único ou previsível: por exemplo, a água aquecida a 100 graus Celsius, a nível do mar, transforma-se em vapor. Um fenómeno aleatório é aquele que, apesar de se realizar o experimento baixo as mesmas condições determinadas, tem como resultados possíveis um conjunto de alternativas, como o lançamento de um dado ou de um dardo

Os processos reais que se renderizam como processos aleatórios podem não o ser realmente; como atirar uma moeda ou um dado não são processos de liga em sentido estrito, já que não se reproduzem exactamente as mesmas condições iniciais que o determinam, senão só umas poucas. Nos processos reais que se renderizam mediante distribuições de probabilidade correspondem a modelos complexos onde não se conhecem a priori todos os parámetros que intervêm; esta é uma das razões pelas quais a estatística, que procura determinar estes parámetros, não se reduz imediatamente à teoria da probabilidade em si.

Em 1933, o matemático soviético Andréi Kolmogórov propôs um sistema de axiomas para a teoria da probabilidade, baseado na teoria de conjuntos e na teoria da medida, desenvolvida poucos anos dantes por Lebesgue , Borel e Frechet entre outros.

Esta aproximação axiomática que generaliza o marco clássico da probabilidade, a qual obedece à regra de cálculo de casos favoráveis sobre casos possíveis, permitiu a rigorización de muitos argumentos já utilizados, bem como o estudo de problemas fora dos marcos clássicos. Actualmente, a teoria da probabilidade encontra aplicação nas mais variadas ramos do conhecimento, como pode ser a física (onde corresponde mencionar o desenvolvimento das difusões e o movimento Browniano), ou as finanças (onde destaca o modelo de Black e Scholes para a valuación de acções).

Conteúdo

Definição clássica de probabilidade

A probabilidade é a característica de um evento, que existem razões para achar que este realizar-se-á.

A probabilidade p de que suceda um evento S de um total de n casos possíveis igualmente prováveis tanto faz à razão entre o número de ocorrências h de dito evento (casos favoráveis) e o número total de casos possíveis n.

p=P\{S\}=\frac {h}{n}

A probabilidade é um número (valor) que varia entre 0 e 1. Quando o evento é impossível se diz que sua probabilidade é 0, se o evento é verdadeiro e sempre tem que ocorrer sua probabilidade é 1.

A probabilidade de não ocorrência de um evento está dada por q , onde:

q=P\{no  S\}=1-\frac {h}{n}

Sabemos que p é a probabilidade de que ocorra um evento e q é a probabilidade de que não ocorra, então p + q = 1

Simbolicamente o espaço de resultados, que normalmente se denota por , \Omegaé o espaço que consiste em todos os resultados que são possíveis. Os resultados, que se denota por , \omega_1, \omega_2etcétera, são elementos do espaço \Omega.

Definição segundo a frequência relativa e definição axiomática

A definição axiomática da probabilidade define-se com base a si mesma (igualmente factible é sinónimo de igualmente provável) se define a probabilidade estimada ou empírica baseada na frequência relativa de aparecimento de um acontecimento S quando \Omega é muito grande. A probabilidade de um acontecimento é uma medida que se escreve como

\mathbb{P}\{S\} \,,

e mede com que frequência ocorre algum acontecimento se se faz algum experimento indefinidamente.

A definição anterior é complicada de representar matematicamente já que \Omega devesse ser infinito. Outra maneira de definir a probabilidade é de forma axiomática isto estabelecendo as relações ou propriedades que existem entre os conceitos e operações que a compõem.

Veja-se também: Axiomas de probabilidade

Probabilidade discreta

Este tipo de probabilidade, é aquele que pode tomar só certos valores diferentes que são o resultado da conta de alguma característica de interesse.

Probabilidade contínua

Uma variável aleatória é uma função mensurável

X:\Omega\to\mathbb{R} \,

que dá um valor numérico à cada acontecimento em .. \Omega

Função de densidade

Artigo principal: Função de densidade

A função de densidade, ou densidade de probabilidade de uma variável aleatória, é uma função a partir da qual se obtém a probabilidade da cada valor que toma a variável. Seu integral no caso de variáveis aleatórias contínuas é a distribuição de probabilidade. No caso de variáveis aleatórias discretas a distribuição de probabilidade obtém-se através do sumatorio da função de densidade.

Veja-se também

Bibliografía

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