Teoria da relatividad

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A teoria da relatividad inclui duas teorias (a da relatividad especial e a da relatividad geral) formuladas por Einstein a princípios do século XX, que pretendiam resolver a incompatibilidad existente entre a mecânica newtoniana e o electromagnetismo.

A primeira teoria, publicada em 1905 , trata da física do movimento dos corpos em ausência de forças gravitatorias, no que se faziam compatíveis as equações de Maxwell do electromagnetismo com uma reformulación das leis do movimento. A segunda, de 1915 , é uma teoria da gravidade que substitui à gravidade newtoniana mas coincide numericamente com ela em campos gravitatorios débis. A teoria geral reduz-se à teoria especial em ausência de campos gravitatorios.

Não foi senão até o 7 de março de 2010 quando foram mostrados publicamente os manuscritos originais de Einstein por parte da Academia Israelita de Ciências. O manuscrito tem 46 páginas de textos e fórmulas matemáticas redigidas a mão, tinha sido oferecido por Einstein à Universidade hebraica de Jerusalém em 1925, com motivo de sua inauguração em Palestiniana, então baixo mandato britânico. ^[1] ^[2] ^[3]

Selo de correios soviético cujo motivo é Albert Einstein com sua famosa equação $E=mc^2$ .

Conteúdo

1 Conceitos principais
- 1.1 Relatividad especial
- 1.2 Relatividad geral
2 Formalismo da teoria da relatividad
3 Veja-se também
4 Referências
5 Bibliografía
6 Enlaces externos

Conceitos principais

Artigo principal: Glossário de relatividad

A ideia essencial de ambas teorias é que dois observadores que se movem relativamente um ao lado de outro com diferente velocidade,(se a diferença é muito menor que a velocidade da luz, não resulta apreciable), com frequência obterão diferentes medidas do tempo (intervalos de tempo) e o espaço (distâncias) para descrever as mesmas séries de eventos. Isto é, a percepción do espaço e o tempo depende do estado de movimento do observador ou é relativa ao observador. No entanto, apesar desta relatividad do espaço e o tempo, existe uma forma mais subtil de invariancia física, já que o conteúdo das leis físicas será o mesmo para ambos observadores. Isto último significa que, apesar de que os observadores difiram no resultado de medidas concretas de magnitudes espaciais e temporárias, encontrarão que as equações que relacionam as magnitudes físicas têm a mesma forma, com independência de seu estado de movimento. Este último facto conhece-se como princípio de covariancia.

Relatividad especial

A teoria da relatividad especial, também chamada teoria da relatividad restringida, publicada por Einstein em 1905, descreve a física do movimento no marco de um espaço-tempo plano, descreve correctamente o movimento dos corpos inclusive a grandes velocidades e suas interacções electromagnéticas e se usa basicamente para estudar sistemas de referência inerciales. Estes conceitos foram apresentados anteriormente por Poincaré e Lorentz, que são considerados como originadores da teoria. Conquanto a teoria resolvia um bom número de problemas do electromagnetismo e dava uma explicação do experimento de Michelson-Morley, esta teoria não proporciona uma descrição relativista do campo gravitatorio.

Depois da publicação do artigo de Einstein, a nova teoria da relatividad especial foi aceite em uns poucos anos pela prática totalidade dos físicos e os matemáticos, de facto pessoas como Poincaré ou Lorentz tinham estado bem perto de chegar ao mesmo resultado que Einstein. A forma geométrica definitiva da teoria deve-se a Hermann Minkowski, antigo professor de Einstein na Politécnica de Zürich, acuñó o termo "espaço tempo" (Raumzeit) e deu-lhe a forma matemática adequada^[4] O espaço-tempo de Minkowski é uma variedade tetradimensional na que se entrelazaban de uma maneira insoluble as três dimensões espaciais e o tempo. Neste espaço tempo de Minkowski, o movimento de uma partícula se representa mediante sua linha de universo (Weltlinie), uma curva cujos pontos vêm determinados por quatro variáveis diferentes: As três dimensões espaciais ( $x\$ , $y\$ , $z\$ ) e o tempo ( $t\$ ). O novo esquema de Minkowski obrigou a reinterpretar os conceitos da métrica existentes até então. O conceito tridimensional de ponto foi substituído pelo de evento. A magnitude de distância substitui-se pela magnitude de intervalo.

Relatividad geral

Artigo principal: Teoria da relatividad geral

Esquema da curvatura do espaço tempo ao redor de uma massa com simetría esférica.

A relatividad geral foi publicada por Einstein em 1915 , e foi apresentada como conferência na Academia de Ciências Prusiana o 25 de novembro. A teoria generaliza o princípio de relatividad de Einstein para um observador arbitrário. Isto implica que as equações da teoria devem ter uma forma de covariancia mais geral que a covariancia de Lorentz usada na teoria da relatividad especial. Além disto, a teoria da relatividad geral propõe que a própria geometria do espaço tempo se vê afectada pela presença de matéria, do qual resulta uma teoria relativista do campo gravitatorio. Aliás a teoria da relatividad geral prediz que o espaço-tempo não será plano em presença de matéria e que a curvatura do espaço tempo será percebida como um campo gravitatorio.

Deve notar-se que o matemático alemão David Hilbert escreveu e fez públicas as equações da covarianza dantes que Einstein. Isso resultou em não poucas acusações de plagio contra Einstein, mas provavelmente seja mais, porque é uma teoria (ou perspectiva) geométrica. A mesma postula que a presença de massa ou energia «curva» ao espaço tempo, e esta curvatura afecta a trajectória dos corpos móveis e inclusive a trajectória da luz.

Formalismo da teoria da relatividad

Vejam-se também: Espaço tempo, Cuadrivector e Tensor

Representação da linha de universo de uma partícula. como não é possível reproduzir um espaço-tempo de quatro dimensões, na figura se representa só a projecção sobre 2 dimensões espaciais e uma temporária.

Partículas

Em teoria da relatividad uma partícula pontual fica representada por um par $(\gamma(\tau), m)\;$ , onde $\gamma(\tau)\;$ é uma curva diferenciable, chamada linha de universo da partícula, e m é um escalar que representa a massa em repouso. O vetor tangente a esta curva é um vetor temporário chamado cuadrivelocidad, o produto deste vetor pela massa em repouso da partícula é precisamente o cuadrimomento. Este cuadrimomento é um vetor de quatro componentes, três destas componentes denominam-se espaciais e representam o análogo relativista do momento linear da mecânica clássica, a outra componente denominada componente temporário representa a generalização relativista da energia cinética. Ademais dada uma curva arbitrária no espaço-tempo pode definir-se ao longo dela o chamado intervalo relativista, que se obtém a partir do tensor métrico.

Campos

Quando se consideram campos ou distribuições contínuas de massa, as anteriores magnitudes não estão bem definidas e se precisa algum tipo de generalização para elas. Assim o conceito de cuadrimomento se generaliza mediante o chamado tensor de energia-impulsiono que representa a distribuição no espaço-tempo tanto de energia como por enquanto linear. A sua vez um campo dependendo de sua natureza pode representar-se por um escalar, um vetor ou um tensor. Por exemplo o campo electromagnético representa-se por um tensor de segunda ordem totalmente antisimetrico ou 2-forma. Se conhece-se a variação de um campo ou uma distribuição de matéria, no espaço e no tempo então existem procedimentos para construir seu tensor de energia-impulsiono.

Magnitudes físicas

Em relatividad, estas magnitudes físicas são representadas por vetores 4-dimensionais ou bem por objectos matemáticos chamados tensores, que generalizam os vetores, definidos sobre um espaço de quatro dimensões. Matematicamente estes 4-vetores e 4-tensores são elementos definidos do espaço vectorial tangente ao espaço tempo (e os tensores definem-se e constroem-se a partir do fibrado tangente ou cotagente da variedade que representa o espaço-tempo).

**Correspondência entre E3^[5] e M4^[6]**
Espaço tridimensional euclideo	Espaço tempo de Minkowski
Ponto G	Evento
Distância	Intervalo
Velocidade	Tetravelocidad
Momentum	Tetramomentum

O intervalo relativista

O intervalo relativista pode definir em qualquer espaço-tempo seja este plano como na relatividad especial ou curvo como em relatividad geral. No entanto por simplicidad discutiremos inicialmente o conceito de intervalo para o caso de um espaço-tempo plano. O tensor métrico do espaço tempo plano de Minkowski designa-se com a letra $\eta_{ij}\$ e em coordenadas galileanas ou inerciales toma a seguinte forma:^[7]

$g_{ij} = \eta_{ij} =\begin{pmatrix} c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}$

O intervalo, a distância tetradimensional, representa-se mediante a expressão $ds^2\$ calcula-se do seguinte modo:

$ds^2\ = g_{ij}dx^idx^j$

$ds^2\ = c^2(dx^0)^2 - (dx^1)^2 - (dx^2)^2 - (dx^3)^2$

$ds^2\ = c^2t^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

$ds^2\ = c^2dt^2 - dl^2$

Os intervalos podem ser classificados em três categorias: Intervalos espaciais (quando $ds^2$ é negativo), temporários (se $ds^2$ é positivo) e nulos (quando $ds^2$ = 0). Como o leitor terá podido comprovar, os intervalos nulos são aqueles que correspondem a partículas que se movem à velocidade da luz, como os fotones: A distância $dl^2$ percorrida pelo fotón tanto faz a sua velocidade (c) multiplicada pelo tempo $dt$ e portanto o intervalo $ds^2 = c^2dt^2 - dl^2$ faz-se nulo.

Erro ao criar miniatura:

Reprodução de um cone de luz, no que se representam duas dimensões espaciais e uma temporária (eixo de ordenadas). O observador situa-se na origem, enquanto o futuro e o passado absolutos vêm representados pelas partes inferior e superior do eixo temporário. O plano correspondente a t = 0 denomina-se plano de simultaneidad ou hipersuperficie de presente. Os acontecimentos situados dentro dos cones estão vinculados ao observador por intervalos temporários. Os que se situam fora, por intervalos espaciais.

Os intervalos nulos podem ser representados em forma de cone de luz, popularizados pelo celebérrimo livro de Stephen Hawking, História do Tempo. Seja um observador situado na origem, o futuro absoluto (os acontecimentos que serão percebidos pelo indivíduo) se despliega na parte superior do eixo de ordenadas, o passado absoluto (os acontecimentos que já têm sido percebidos pelo indivíduo) na parte inferior, e o presente percebido pelo observador no ponto 0. Os acontecimentos que estão fora do cone de luz não nos afectam, e portanto se diz deles que estão situados em zonas do espaço tempo que não têm relação de causalidad com a nossa.

Imaginemos, por um momento, que na galaxia Andrómeda, situada a 2 milhões de anos luz de nós, sucedeu um cataclismo cósmico faz 100.000 anos. Dado que 1) a luz de Andrómeda demora 2 milhões de anos em chegar até nós e 2) nada pode viajar a uma velocidade superior à dos fotones, é evidente, que não temos maneira de nos inteirar do que sucedeu em dita Galaxia faz tão só 100.000 anos. Diz-se portanto que o intervalo existente entre dita hipotética catástrofe cósmica e nós, observadores do presente, é um intervalo espacial ( $ds^2<0$ ), e portanto, não pode afectar aos indivíduos que no presente vivem na Terra: Isto é, não existe relação de causalidad entre esse evento e nós.

Análise O único problema com esta hipótese, é que ao entrar em um buraco negro, se anula o espaço tempo, e como já sabemos, algo que contenha algum volume ou massa, deve ter no mínimo um espaço onde se localizar, o tempo nesse caso, não tem maior importância, mas o espaço joga um papel muito importante na localização de volumes, pelo que isto resulta muito improvável, mas não impossível para a tecnologia.

Imagem da galaxia Andrómeda tomada pelo telescópio Spitzer. Podem chegar até nós acontecimentos acaecidos tão só 100.000 anos atrás? Evidentemente não. Diz-se por tanto que entre tais eventos e nós existe um intervalo espacial.

Podemos escolher outro episódio histórico ainda mais ilustrativo: O da estrela de Belém, tal e como foi interpretada por Johannes Kepler. Este astrónomo alemão considerava que dita estrela se identificava com uma supernova que teve lugar no ano 5 a. C., cuja luz foi observada pelos astrónomos chineses contemporâneos, e que veio precedida nos anos anteriores por várias conjunciones planetarias na constelação de Piscis. Essa supernova provavelmente estalló faz milhares de anos atrás, mas sua luz não chegou à terra até o ano 5 a. C. Daí que o intervalo existente entre dito evento e as observações dos astrónomos egípcios e megalíticos (que tiveram lugar em vários séculos dantes de Cristo) seja um intervalo espacial, pois a radiación da supernova nunca pôde lhes chegar. Pelo contrário, a explosão da supernova por um lado, e as observações realizadas pelos três magos em Babilonia e pelos astrónomos chineses no ano 5 a. C. pelo outro, estão unidas entre si por um intervalo temporário, já que a luz sim pôde atingir a ditos observadores.

O tempo próprio e o intervalo relacionam-se mediante a seguinte equivalencia: $\ cd\tau = ds$ , isto é, o intervalo tanto faz ao tempo local multiplicado pela velocidade da luz. Uma das características tanto do tempo local como do intervalo é seu invarianza ante as transformações de coordenadas. Seja qual seja nosso ponto de referência, seja qual seja nossa velocidade, o intervalo entre um determinado evento e nós permanece invariante.

Esta invarianza expressa-se através da chamada geometria hiperbólica: A equação do intervalo $ds =$ tem a estrutura de uma hipérbola sobre quatro dimensões, cujo termo independente coincide com o valor do quadrado do intervalo ( $ds^2 = dt^2 - dl^2$ ), que como se acaba de dizer no parágrafo anterior, é constante. As asíntotas da hipérbola viriam a coincidir com o cone de luz.

Cuadrivelocidad, aceleração e cuadrimomentum

Artigos principais: cuadrivelocidad e cuadrimomento

No espaço tempo de Minkowski, as propriedades cinemáticas das partículas representam-se fundamentalmente por três magnitudes: A cuadrivelocidad (ou tetravelocidad) , a aceleração e o cuadrimomentum (ou tetramomentum).

A cuadrivelocidad é um cuadrivector tangente à linha de universo da partícula, relacionada com a velocidade coordenada de um corpo medida por um observador em repouso qualquer, esta velocidade coordenada se define com a expressão newtoniana $dx^i/dt$ , onde $(t,x^1,x^2,x^3)\;$ são o tempo coordenado e as coordenadas espaciais medidas pelo observador, para o qual a velocidade newtoniana ampliada viria dada por . $(1,v^1,v^2,v^3)\,$ No entanto, esta medida newtoniana da velocidade não resulta útil em teoria da relatividad, porque as velocidades newtonianas medidas por diferentes observadores não são facilmente relacionables ou ser magnitudes covariantes. Assim em relatividad se introduz uma modificação nas expressões que dão conta da velocidade, introduzindo um invariante relativista. Este invariante é precisamente o tempo próprio da partícula que é facilmente relacionable com o tempo coordenado de diferentes observadores. Usando a relação entre tempo próprio e tempo coordenado: $dt = \gamma d\tau\;$ define-se a cuadrivelocidad [própria] multiplicando pelas $\ \gamma$ da velocidade coordenada: $u^\alpha=v^\alpha\gamma=dx^i/d\tau$ .

Como se pode comprovar nas equações seguintes, a velocidade coordenada de um corpo com massa depende caprichosamente do sistema de referência que escolhamos, enquanto a cuadrivelocidad própria é uma magnitude que se transforma de acordo com o princípio de covariancia e tem um valor sempre constante equivalente ao intervalo dividido entre o tempo próprio ( $ds/d\tau$ ), ou o que é o mesmo, à velocidade da luz c. Para partículas sem massa, como os fotones, o procedimento anterior não se pode aplicar, ou ter um tempo próprio correctamente definido, e a cuadrivelocidad pode se definir somente como vetor tangente à trajectória seguida pelos mesmos.

Componentes $\to (u^0,u^1,u^2,u^3) \to \left(\frac {dx^0}{d\tau},\frac{dx^1}{d\tau},\frac{dx^2}{d\tau},\frac{dx^3}{d\tau}\right) \to (\gamma,v^1\gamma,v^2\gamma,v^3\gamma)$

Magnitude $\to |u| = \sqrt{\vec u \cdot \vec u} = \sqrt{c^2 (u^0)^2 - (u^1)^2 - (u^2)^2 - (u^3)^2} = \sqrt{ \frac{ds^2}{d\tau^2}}$

Magnitude em corpos com massa $\to |u| = \sqrt{ \frac{ds^2}{d\tau^2}}= c$
Magnitude em fotones $\to |u| = \sqrt{ \frac{ds^2}{d\tau^2}} = \sqrt{ \frac{0}{0}}=$ não definida

A física newtoniana distinguia entre sistemas em repouso (cuja velocidade era nula) e sistemas em movimento, já fosse este uniforme ou acelerado. No entanto, a teoria da relatividad abandonou dita classificação por uma nova na que distingue entre sistemas inerciales (aqueles cuja velocidade é constante, incluídos os que estão em repouso relativo) e sistemas não inerciales, cujo movimento não é constante, senão acelerado. A aceleração pode ser definida como a derivada temporária da cuadrivelocidad ( $a^i=du^i/d\tau$ ). Sua magnitude tanto faz a zero nos sistemas inerciales, cujas linhas do mundo são geodésicas, rectas no espaço-tempo plano de Minkowski. Pelo contrário, as linhas do mundo curvadas correspondem a partículas com aceleração diferente de zero, a sistemas não inerciales.

Junto com os princípios de invarianza do intervalo e a cuadrivelocidad, joga um papel fundamental a lei de conservação do cuadrimomentum. É aplicável aqui a definição newtoniana do momentum ( $\vec p = \mu \vec u$ ) como a massa (neste caso conservada, $\mu$ ) multiplicada pela velocidade (neste caso, a cuadrivelocidad), e portanto seus componentes são os seguintes: $(m, p^1, p^2, p^3)\;$ , tendo em conta que $m = \mu\gamma\;$ . A quantidade de momentum conservado é definida como a raiz quadrada da norma do vetor de cuadrimomentum. O momentum conservado, ao igual que o intervalo e a cuadrivelocidad própria, permanece invariante ante as transformações de coordenadas, ainda que também aqui há que distinguir entre os corpos com massa e os fotones. Nos primeiros, a magnitude do cuadriomentum tanto faz à massa multiplicada pela velocidade da luz ( $|p| = \mu c$ ). Pelo contrário, o cuadrimomentum conservado dos fotones tanto faz à magnitude de sua momentum tridimensional ( $|p| = p$ ).

Como tanto a velocidade da luz como o cuadrimomentum são magnitudes conservadas, também o é seu produto, ao que se lhe dá o nome de energia conservada ( $E_{con} = |p|c$ ), que nos corpos com massa equivale à massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado ( $E_{con} = \mu c^2$ , a famosa fórmula de Einstein) e nos fotones ao momentum multiplicado pela velocidade da luz ( $E_{con} = pc$ )

Componentes $\to (p^0,p^1,p^2,p^3) \to (\mu\gamma,\mu v^1\gamma,\mu v^2\gamma,\mu v^3\gamma) \to (m,p^1,p^2,p^3)$

Magnitude do cuadrimomentum $\to |p| = \sqrt{\vec p \cdot \vec p} = \sqrt{m^2c^2 - p^2} = \sqrt{\frac{E^2}{c^2} - p^2}$

Magnitude em corpos com massa $\to |p| = \sqrt{\vec p \cdot \vec p} = m \sqrt{\vec u \cdot \vec u} = \mu c$
Magnitude em fotones (massa = 0) $\to |p| = \sqrt{\vec p \cdot \vec p} = \sqrt{m^2c^2 - p^2} = \sqrt{p^2} = p$

Energia $\to E_{con} = c|p| = c\sqrt{\vec p \cdot \vec p} = \sqrt{E^2 - p^2c^2}$

Energia em corpos com massa (corpos em repouso, p=0) $\to E_{con} = \sqrt{m^2c^4 - p^2c^2} \to E_{con} = mc^2$
Energia em fotones (massa em repouso = 0) $\to E_{con} = \sqrt{m^2c^4 - p^2c^2} = \sqrt{p^2c^2} = pc$

O aparecimento da Relatividad Especial pôs fim à secular disputa que mantinham no seio da mecânica clássica as escolas dos mecanicistas e os energetistas. Os primeiros sustentavam, seguindo a Descartes e Huygens, que a magnitude conservada em todo o movimento vinha constituída pelo momentum total do sistema, enquanto os energetistas -que tomavam por base os estudos de Leibniz- consideravam que a magnitude conservada vinha conformada pela soma de duas quantidades: A força viva, equivalente à metade da massa multiplicada pela velocidade ao quadrado ( $mv^2/2$ ) à que hoje denominaríamos energia cinética", e a força morrida, equivalente à altura pelo constante g ( $hg$ ), que corresponderia à "energia potencial". Foi o físico alemão Hermann von Helmholtz o que primeiro deu às forças leibnizianas a denominação genérica de energia e o que formulou a Lei de conservação da energia, que não se restringe à mecânica , que se estende também a outras disciplinas físicas como a termodinámica.

A mecânica newtoniana deu a razão a ambos postulados, afirmando que tanto o momentum como a energia são magnitudes conservadas em todo movimento submetido a forças conservativas. No entanto, a Relatividad Especial deu um passo para além, porquanto a partir dos trabalhos de Einstein e Minkowski o momentum e a energia deixaram de ser considerados como entidades independentes e se lhes passou a considerar como dois aspectos, duas facetas de uma única magnitude conservada: o cuadrimomentum.

**Componentes e magnitude dos diferentes conceitos cinemáticos**
Conceito	Componentes	Expressão algébrica	Partículas com massa	Fotones
Intervalo	$\ dx^a = \begin{bmatrix} dt\\ dx^1 \\ dx^2 \\ dx^3 \\ \end{bmatrix}$	$ds^2 = \vec dx \cdot \vec dx$	$\ ds^2 \not= 0$	$\ ds^2 = 0$
Cuadrivelocidad	$u^\alpha = \frac {dx^\alpha}{d\tau} = \begin{bmatrix} \gamma\\ v^1\gamma \\ v^2\gamma \\ v^3\gamma \\ \end{bmatrix}$	$\|u\| = \sqrt{\vec u \cdot \vec u} = \sqrt{\frac{ds^2}{d\tau^2}}$	$\ \|u\| = c$	Cuadrivelocidad não definida
Aceleração	$a^\alpha = \frac {d^2 x^\alpha}{d\tau^2}$		$\ a^\alpha = 0$ (sistemas inerciales) $\ a^\alpha \not= 0$ (sistemas não inerciales)	Aceleração não definida
Cuadrimomentum	$\ p^\alpha = \mu u^\alpha = \begin{bmatrix} m\\ -p^1 \\ -p^2 \\ -p^3 \\ \end{bmatrix}$	$\|p\| = \sqrt{\vec p \cdot \vec p} = \sqrt{\frac{E^2}{c^2} - p^2}$	$\ \|p\| = \mu c$	$\ \|p\|=p$

O tensor de energia-impulsiono (T_ab)

Artigo principal: Tensor de energia-impulsiono

Tensor de tensão-energia

Três são as equações fundamentais que em física newtoniana descrevem o fenómeno da gravitación universal: A primeira, afirma que a força gravitatoria entre dois corpos é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado de sua distância (1); a segunda, que o potencial gravitatorio ( $\ \Phi$ ) em um determinado ponto tanto faz à massa multiplicada pelo constante G e dividida pela distancia r (2); e a terça, finalmente, é a chamada equação de Poisson (3), que indica que o laplaciano^[8] do potencial gravitatorio tanto faz a , $\ 4\Pi G\rho$ onde $\ \rho$ é a densidade de massa em uma determinada região esférica.

$F=\frac{GMm}{r^2}(1)$ $\to \Phi = \frac{GM}{r} (2)$ $\to \Delta\Phi=4\pi G\rho (3)$

No entanto, estas equações não são compatíveis com a Relatividad Especial por duas razões:

Em primeiro lugar a massa não é uma magnitude absoluta, senão que sua medida deriva em resultados diferentes dependendo da velocidade relativa do observador. Daí que a densidade de massa $\ \rho$ não pode servir de parámetro de interacção gravitatoria entre dois corpos.
Em segundo lugar, se o conceito de espaço é relativo, também o é a noção de densidade. É evidente que a contracção do espaço produzida pelo incremento da velocidade de um observador, impede a existência de densidades que permaneçam invariáveis ante as transformações de Lorentz.

Por todo isso, resulta necessário prescindir do termo $\ \rho$ , situado no lado direito da fórmula de Poisson e substituir por um objecto geométrico-matemático que permaneça invariante ante as transformações de Lorentz: Dito objecto foi definido por Einstein em suas equações de universo e recebe o nome de tensor de energia-momentum ( $\ T^{\alpha\beta}$ ). Seus coeficientes descrevem a quantidade de tetramomentum $\ p^\alpha$ que atravessa uma hipersuperficie $\ \Pi_\beta$ , normal ao vetor unitário $\vec u^\beta$ .

Deste modo, o tensor de energia momentum pode expressar-se mediante a seguinte equação:

$\ p^\alpha = \int_\Pi T^{\alpha\beta} d\Pi_\beta$
Ou o que é o mesmo: O componente $\ p^\alpha$ do tetramomentum tanto faz à integral de hipersuperficie $\ d\Pi_\beta$ do tensor de tensão-energia.

Em um fluído ideal, do que estão ausentes tanto a viscosidade como a condução de calor, os componentes do tetramomentum se calculam da seguinte forma:

$T^{\alpha \beta} \, = (\rho + {P\over c^2})u^{\alpha}u^{\beta} - Pg^{\alpha \beta}$ ,

onde $\ \rho$ é a densidade de massa-energia (massa por unidade de volume tridimensional), $\ P$ é a pressão hidrostática, $\ u^{\alpha}$ é a cuadrivelocidad do fluído, e $\ g^{\alpha \beta}$ é a matriz inversa do tensor métrico da variedade.

Ademais, se os componentes do tensor medem-se por um observador em repouso relativo com respeito ao fluído, então, o tensor métrico vem constituído simplesmente pela métrica de Minkowski:

$g_{\alpha \beta} \, = \eta_{\alpha \beta} = \mathrm{diag}(c^2,-1,-1,-1)$

$g^{\alpha \beta} \, = \eta^{\alpha \beta} = \mathrm{diag}(\frac{1}{c^2},-1,-1,-1)$

Já que ademais a tetravelocidad do fluído com respeito ao observador em repouso é:

$\ u^\alpha = (1,0,0,0)$ .

como consequência disso, os coeficientes do tensor de tensão-energia são os seguintes:

$T^{\alpha\beta} =\begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & -P_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -P_2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -P_3\\ \end{pmatrix}$

Parte da matéria que cai no disco de acreción de um buraco negro é expulsa a grande velocidade em forma de chorros. Em supostos como este, os efeitos gravitomagnéticos podem chegar a atingir certa importância.

Onde $\ \rho$ é a densidade de massa, e $\ P_i$ são os componentes tridimensionais da pressão hidrostática. Como vemos, o campo gravitatorio tem duas fontes diferentes: A massa e o momentum do fluído em questão. Os efeitos gravitatorios originados pela massa denominam-se efeitos gravitoeléctricos, enquanto aqueles que se devem ao momentum recebem o nome de efeitos gravitomagnéticos. Os primeiros têm uma intensidade $c^2$ superior aos segundos, que só se manifestam naqueles casos nos que as partículas do fluído se movem com uma velocidade próxima à da luz (se fala então de fluídos relativistas): É o caso dos chorros (jets) que emanan do centro da galaxia e que se propulsan nas duas direcções marcadas pelo eixo de rotação deste corpo cósmico; da matéria que se precipita para um buraco negro; e do fluído estelar que se dirige para o centro da estrela quando se esta entra em colapso. Neste último caso, durante as fases finais do processo de contracção da estrela, a pressão hidrostática pode chegar a ser tão forte como para chegar a acelerar o colapso, em lugar do reduzir.

Podemos, a partir do tensor de tensão-energia, calcular quanta massa contém um determinado volume do fluído: Retomando a definição deste tensor exposta umas linhas mais acima, pode-se definir ao coeficiente $\ T^{00}$ como a quantidade de momentum $\ p^{0}$ (isto é, a massa) que atravessa a hipersuperficie $\ d\Pi_0$ . No espaço-tempo de Minkowski, a hipersuperficie $\ d\Pi_0$ é aquela região que se define pelas três bases vectoriais normais ao vetor $\ dx^{0}$ : $\ \Pi_0$ é, por tanto, um volume tridimensional, definido pelos vetores baseie $\vec e_{1}$ (eixo x), $\vec e_{2}$ (eixo e), e $\vec e_3$ (eixo z). Podemos por tanto escrever:

$\ p^0 = \int T^{00} d\Pi_0$

$\ m = \int \rho dV$

Do mesmo modo, é possível deduzir matematicamente a partir do tensor de tensão-energia a definição newtoniana de pressão, introduzindo na mentada equação qualquer par de índices que sejam diferentes de zero:

$\ p^1 = \int_\Pi T^{11} d\Pi_1$

A hipersuperficie $\ d\Pi_1$ é aquela região do espaço tempo definida pelos três vetores unitários normais a (trata-se $\ dx_1$ dos dois vetores espaciais, $\vec e_{2}$ e $\vec e_{3}$ , correspondentes aos eixos e e z; e do vetor temporário $\vec e_{0}$ —ou $\ dt$ , como se prefira—). Esta definição permite-nos decompor a integral de hipersuperficie em uma integral temporária (cujo integrando vem definido por ) $\ dt$ e outra de superfície (desta vez bidimensional, $\ dS$ ):

$\ p^1 = \int \int_S -P_1 dS_1 dt$

Finalmente, derivamos parcialmente ambos membros da equação com respeito ao tempo, e tendo em conta que a força não é mais que a taxa de incremento temporária do momentum obtemos o resultado seguinte:

$\ F^1 = \int_S -P_1 dS_1$

Que contém a definição newtoniana da pressão como força exercida por unidade de superfície.

O tensor electromagnético (F_ab)

Artigo principal: Tensor de Faraday

As equações deduzidas pelo físico escocês James Clerk Maxwell demonstraram que electricidade e magnetismo não são mais que duas manifestações de um mesmo fenómeno físico: o campo electromagnético. Agora bem, para descrever as propriedades deste campo os físicos de finais do século XIX deviam utilizar dois vetores diferentes, os correspondentes os campos eléctrico e magnético.

Foi a chegada da Relatividad Especial a que permitiu descrever as propriedades do electromagnetismo com um só objecto geométrico, o vetor cuadripotencial, cujo componente temporário se correspondia com o potencial eléctrico, enquanto seus componentes espaciais eram os mesmos que os do potencial magnético.

$\ A^{\alpha} = (V,A_x,A_y,A_y)$

Deste modo, o campo eléctrico pode ser entendido como a soma do gradiente do potencial eléctrico mais a derivada temporária do potencial magnético:

$E = -\nabla V - \frac{\partial A}{\partial t}$

e o campo magnético, como o rotacional do potencial magnético:

$B = \nabla \times A$

As propriedades do campo electromagnético podem também se expressar utilizando um tensor de segunda ordem denominada tensor de Faraday e que se obtém diferenciando exteriormente ao vetor cuadripotencial $\ A^{\alpha}$

$F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha$

$F^{\alpha\beta} =\begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix} ; F^{\alpha}_{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}$

A força de Lorentz pode deduzir-se a partir da seguinte expressão:

$f^{\alpha} = qF^{\alpha}_{\beta}u^{\beta}$

$F = q(E + u \times v)$

Onde q é o ónus e $u^{\alpha}$ a cuadrivelocidad da partícula.

Veja-se também

Portal:Física. Conteúdo relacionado com Física.
Teoria da relatividad especial
Teoria da relatividad geral
Glossário de relatividad
Controvérsia sobre a teoria da relatividad

Referências

↑ Diário O Universal (Venezuela). «Expõem em Israel manuscrito da teoria da relatividad de Einstein» (em espanhol). Diário O Universal. Consultado o 07 de março de 2010.
↑ Agência EFE. «O manuscrito da teoria da relatividad exposto pela primeira vez» (em espanhol). Agência EFE, alojado por Google. Consultado o 07 de março de 2010.
↑ Gavin Rabinowitz. «Einstein's theory of relativity on display for first time» (em inglês). Agência AFP, alojado por Google. Consultado o 07 de março de 2010.
↑ O espaço euclídeo é uma variedade tridimensional. O espaço-tempo de Minkowski é uma variedade de quatro dimensões, das quais três são espaciais e uma temporária.
↑ Isto é, o espaço euclídeo. A letra E corresponde à inicial do matemático Euclides, e o número 3 ao número de dimensões espaciais.
↑ M4 é o espaço-tempo de Minkowski. M é a inicial de Minokwski e 4 é o número de dimensões das que se compõe a variedade.
↑ Convém assinalar que existem duas convenções, a mais usada em teoria cuántica relativista usa $\eta_00 > 0$ e o resto de componentes negativas, enquanto em cosmología e relatividad se usa mais comummente $\eta_00 < 0$ e o resto de componentes positivas. Ambas convenções são basicamente equivalentes.
↑ laplaciano: Divergência de um gradiente.

Bibliografía

Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Cataluña, 1993. ISBN 84-7929-776-X.

Enlaces externos

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A Relatividad sem fórmulas, em eltamiz.com (13-05-09)
Surveying the shunting line of a ray of light of the space trd. (em português)
FISICA.RU: Espaço,tempo,matéria e vazio

ckb:بیردۆزی ڕێژەیی

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