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Teoria da relatividad especial

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Teoria da Relatividad, parte de Walk of Ideias, na Ilha dos Museus (Berlim.). Festejando no Ano mundial da física 2005 no centenário da publicação da equação mais famosa do mundo.

A teoria especial da relatividad, também chamada teoria da relatividad restringida, é uma teoria física publicada em 1905 por Albert Einstein. Surge da observação de que a velocidade da luz no vazio tanto faz em todos os sistemas de referência inerciales e de sacar todas as consequências do princípio de relatividad de Galileo, segundo o qual qualquer experiência feita em um sistema de referência inercial desenvolver-se-á de maneira idêntica em qualquer outro sistema inercial.

A teoria especial da relatividad estabeleceu novas equações que permitiam passar de um sistema de referência inercial a outro. As equações correspondentes conduzem a fenómenos que chocam com o sentido comum, sendo um dos mais espantosos e mais famosos o chamado paradoxo dos gémeos.

A relatividad especial teve também um impacto na filosofia, eliminando toda a possibilidade de existência de um tempo e de um espaço absoluto no conjunto do universo.

Conteúdo

História

Artigo principal: História da Relatividad Especial

No final do século XIX os físicos pensavam que a mecânica clássica de Newton , baseada no telefonema relatividad de Galileo (origem das equações matemáticas conhecidas como transformações de Galileo), descrevia os conceitos de velocidade e força para todos os observadores (ou sistemas de referência). No entanto, Hendrik Lorentz e outros tinham comprovado que as equações de Maxwell, que governam o electromagnetismo, não se comportavam de acordo às leis de Newton quando o sistema de referência varia (por exemplo, quando se considera o mesmo problema físico desde o ponto de vista de dois observadores que se movem um respecto do outro). O experimento de Michelson e Morley serviu para confirmar que a velocidade da luz permanecia constante, independentemente do sistema de referência no qual se media, contrariamente ao esperado de aplicar as transformações de Galileo.

Em 1905 um desconhecido físico alemão publicou um artigo que mudou radicalmente a percepción do espaço e o tempo que se tinha nesse então. Em seu Zur Elektrodynamik bewegter Körper,[1] Albert Einstein revolucionou ao mundo ao postular o que agora conhecemos como Teoria da Relatividad Especial. Esta teoria baseava-se no Princípio de relatividad e na constancia da velocidade da luz em qualquer sistema de referência inercial. Disso Einstein deduziu as equações de Lorentz. Também reescribió as relações do movimento e da energia cinética para que estas também se mantivessem invariantes.

A teoria permitiu estabelecer a equivalencia entre massa e energia e uma nova definição do espaço tempo. Dela se derivaram predições e surgiram curiosidades. Como exemplos, um observador atribui a um corpo em movimento uma longitude mais curta que a que tem o corpo em repouso e a duração dos eventos que afectem ao corpo em movimento são mais longos com respeito ao mesmo evento medido por um observador no sistema de referência do corpo em repouso.

Em 1912, Wilhelm Wien, prêmio Nobel de Física de 1911, propôs a Lorentz e a Einstein para este galardão pela teoria da relatividad, expressando
Ainda que Lorentz deve ser considerado como o primeiro em encontrar a expressão matemática do princípio da relatividad, Einstein conseguiu reduzir desde um princípio simples. Devemos pois considerar o mérito dos dois pesquisadores como comparável.
Wilhelm Wien[2]
Einstein não recebeu o prêmio Nobel pela relatividad especial pois o comité, em princípio, não outorgava o prêmio a teorias puras. O Nobel não chegou até 1921, e foi por seu trabalho sobre o efeito fotoeléctrico.

Postulados

Artigo principal: Postulados da Relatividad Especial
Velocidade da luz desde a Terra à Lua.

O poder do argumento de Einstein está na maneira como deriva em resultados surpreendentes e plausibles a partir de duas simples hipóteses e como estas predições foram confirmadas pelas observações experimentales.

Princípio de Relatividad

Artigo principal: Princípio de relatividad

Henri Poincaré, matemático francês, sugeriu no final do século XIX que o princípio de relatividad estabelecido desde Galileo (a invariancia galileana) se mantém para todas as leis da natureza. Joseph Larmor e Hendrik Lorentz descobriram que as equações de Maxwell, a pedra angular do electromagnetismo, eram invariantes só por uma variação no tempo e uma verdadeira unidade longitudinal, o que produziu muita confusão nos físicos, que naquele tempo estavam a tratar de argumentar as bases da teoria do éter, a hipotética substância subtil que enchia o vazio e na que se transmitia a luz. O problema é que este éter era incompatível com o princípio de relatividad.

Em sua publicação de 1905 em electrodinámica , Henri Poincaré e Albert Einstein explicaram que, com as transformações feitas por Lorentz, este princípio se mantinha perfeitamente invariável. A contribuição de Einstein foi o elevar a este axioma a princípio e propor às transformadas de Lorentz como primeiro princípio. Ademais descartou a noção de tempo absoluto e requereu que a velocidade da luz no vazio seja a mesma para todos os observadores, sem importar se estes se moviam ou não. Isto era fundamental para as equações de Maxwell, já que estas precisam de uma invarianza geral da velocidade da luz no vazio.

Covariancia de Lorentz

Artigo principal: Covariancia de Lorentz

A teoria da relatividad especial ademais procura formular todas as leis físicas de forma que tenham validade para todos os observadores inerciales. Pelo que qualquer lei física deveria ter uma forma matemática invariante baixo umas transformações de Lorentz.

Transformações de Lorentz

Arquivo:Stdiag.png
Diferentes sistemas de referência para um mesmo fenómeno.
Artigo principal: Transformação de Lorentz

Como temos mencionado, os físicos da época tinham encontrado uma inconsistencia entre a completa descrição do electromagnetismo realizado por Maxwell e a mecânica clássica. Para eles, a luz era uma onda electromagnética transversal que se movia por um sistema de referência privilegiado, ao qual o denominavam éter.

Hendrik Antoon Lorentz trabalhou em resolver este problema e foi desenvolvendo umas transformações para as quais as equações de Maxwell ficavam invariantes e sem necessidade de utilizar esse hipotético éter. A proposta de Lorentz de 1899, conhecida como a Teoria electrónica de Lorentz, não excluía -no entanto- ao éter. Na mesma, Lorentz propunha que a interacção eléctrica entre dois corpos carregados se realizava por médio de uns corpúsculos aos que chamava elétrons e que se encontravam aderidos à massa na cada um dos corpos. Estes elétrons interactuaban entre si mediante o éter, o qual era contraído pelos elétrons conforme a transformações específicas, enquanto estes se encontravam em movimento relativo ao mesmo. Estas transformações conhece-lhas agora como transformações de Lorentz. A formulación actual foi trabalho de Poincaré , o qual as apresentou de uma maneira mais consistente em 1905.

Tem-se um sistema S de coordenadas (x, y, z, t)\, e um sistema S' de coordenadas (x', y', z', t')\,, de aqui as equações que descrevem a transformação de um sistema a outro são:

t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right),     x' = \gamma (x - v t)\,,     y' = y\,,     z' = z\,

onde \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} é o chamado factor de Lorentz e c\, é a velocidade da luz no vazio.

Contrário a nosso conhecimento actual, naquele momento isto era uma completa revolução, como se propunha uma equação para transformar ao tempo, coisa que para a época era impossível. Na mecânica clássica, o tempo era um invariante. E para que as mesmas leis se possam aplicar em qualquer sistema de referência se obtém outro tipo de invariante a grandes velocidades (agora chamadas relativistas), a velocidade da luz.

Simultaneidad

Artigos principais: Relatividad de simultaneidad e tempo

Directamente dos postulados expostos acima, e por suposto das transformações de Loretz, deduze-se o facto de que não se pode dizer com sentido absoluto que dois acontecimentos tenham ocorrido ao mesmo tempo em diferentes lugares. Se dois acontecimentos ocorrem simultaneamente em lugares separados espacialmente desde o ponto de vista de um observador, qualquer outro observador inercial que se mova com respeito ao primeiro a presença em instantes diferentes.[3]

Matematicamente, isto pode se comprovar na primeira equação das transformações de Lorentz:

\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right)

Dois eventos simultâneos verificam \displaystyle\Delta t=0, mas se sucederam em lugares diferentes (com \Delta x\neq 0), outro observador com movimento relativo obtém \Delta t'\neq 0. Só no caso \displaystyle\Delta t=0 e \displaystyle\Delta x=0 (acontecimentos simutáneos em em o mesmo ponto) não ocorre isto.

O conceito de simultaneidad pode definir-se como segue. Dados dois eventos pontuas E1 e E 2, que ocorre respectivamente em instantes de tempo t1 e t2, e em pontos do espaço P1 = (x1, e1, z1) e P2 = (x2, e2, z2), todas as teorias físicas admitem que estes só podem se dar uma, de três possibilidades mutuamente excluyentes:[4]

  1. É possível para um observador estar presente ao evento E1 e depois estar no evento E2, e nesse caso afirma-se que E1 é um evento anterior a E 2. Ademais se isso sucede não pode existir outro observador que verifique 2.
  2. É possível para um observador estar presente ao evento E2 e depois estar no evento E1, e nesse caso afirma-se que E1 é um evento posterior a E 2. Ademais se isso sucede não pode existir outro observador que verifique 1.
  3. É impossível para algum observador pontual, estar presente simultaneamente nos eventos E1 e E 2.

Dado um evento qualquer, o conjunto de eventos pode se dividir segundo essas três categorias anteriores. Isto é, todas as teorias físicas permitem fixado um evento, classificar aos demais eventos: em (1) passado, (2) futuro e (3) resto de eventos (nem passados nem futuros). Em mecânica clássica esta última categoria está formada pelos acontecimentos chamados simultâneos, e em mecânica relativista eventos não relacionados causalmente com o primeiro evento. No entanto, a mecânica clássica e a mecânica relativista diferem no modo concreto em que essa divisão entre passado, futuro e outros pode se fazer e em se dito carácter é absoluto ou relativo de dita partição.

Dilatación do tempo e contracção da longitude

Artigos principais: Dilatación do tempo e Contracção da longitude

Como se disse previamente, o tempo nesta teoria deixa de ser absoluto como se propunha na mecânica clássica. Ou seja, o tempo para todos os observadores do fenómeno deixa de ser o mesmo. Se temos um observador imóvel fazendo uma medida do tempo de um acontecimento e outro que se mova a velocidades relativistas, os dois relógios não terão a mesma medida de tempo.

Mediante a transformação de Lorentz novamente chegamos a comprovar isto. Coloca-se um relógio unido ao sistema S e outro ao S', o que nos indica que x = 0. Tem-se as transformações e suas inversas em termos da diferença de coordenadas:

\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right)
\Delta x' = \gamma (\Delta x - v \Delta t)\,

e

\Delta t = \gamma \left(\Delta t' + \frac{v \Delta x'}{c^{2}} \right)
\Delta x = \gamma (\Delta x' + v \Delta t')\,
Gráfico que explica a contracção de Lorentz.

Se despejamos as primeiras equações obtemos

\Delta t' = \gamma \Delta t \qquad ( \, para acontecimentos que satisfaçam \Delta x = 0 )\,

Do que obtemos que os eventos que se realizem no sistema em movimento S' serão mais longos que os do S. A relação entre ambos é essa \gamma . Este fenómeno conhece-lho como dilatación do tempo.

Se diz-se que o tempo varia a velocidades relativistas, a longitude também o faz. Um exemplo seria se temos a dois observadores inicialmente imóveis, estes medem um veículo no qual só um deles "viajará" a grandes velocidades, ambos obterão o mesmo resultado. Um deles entra ao veículo e quando adquira a suficiente velocidade mede o veículo obtendo o resultado esperado, mas se o que esta imóvel o volta a medir, obterá um valor menor. Isto se deve a que a longitude também se contrai.

Voltando às equações de Lorentz, despejando agora a x e condicionando a se \ \Delta t' = 0 obtém:

\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma} \qquad \,

do qual podemos ver que existirá uma diminuição devido ao cociente. Estes efeitos só podem se ver a grandes velocidades, pelo que em nossa vida quotidiana as conclusões obtidas a partir destes cálculos não têm muito sentido.

Um bom exemplo destas contracções e dilataciones foi proposto por Einstein em seu paradoxo dos gémeos.

Quantidades relativistas

Arquivo:Composition.svg
O pássaro move-se com velocidade \displaystyle v com respeito ao sistema \,S. No entanto, desde o ponto de vista do piloto do avião, o pássaro afasta-se dele a uma velocidade \displaystyle v' maior, dada pelas fórmulas do texto.

Composição de velocidades

A composição de velocidades é a mudança na velocidade de um corpo ao ser medida em diferentes sistemas de referência inerciales. Na física pré-relativista calculava-se mediante

\displaystyle v' = v + u\ ,

onde \, v' é a velocidade do corpo com respeito ao sistema \,S', \displaystyle u a velocidade com a que este sistema se afasta do sistema "em repouso" \,S, e \displaystyle v é a velocidade do corpo medida em .. \,S

No entanto, devido às modificações do espaço e o tempo, esta relação não é válida em Relatividad Especial. Mediante as transformadas de Lorentz pode obter-se a fórmula correcta:

v' = \frac {v + u}{1 + \frac{u\cdot v}{c^2}}

Ao observar com cuidado esta fórmula nota-se que se tomamos para o corpo uma velocidade no sistema \,S igual à da luz (o caso de um fotón, por exemplo), sua velocidade em segue \,S' sendo v'=c\,, como se espera devido ao segundo postulado. Ademais, se as velocidades são muito pequenas em comparação com a luz, obtém-se que esta fórmula se aproxima à anterior dada por Galileo .

Massa, momento e Energia Relativista

Artigo principal: Massa relativista

O conceito de massa na teoria da relatividad especial tem duas bifurcaciones: a massa invariante e a massa relativista aparente. A massa relativista aparente é a massa aparente que vai depender do observador e se pode incrementar dependendo de sua velocidade, enquanto a invariante é independente do observador e invariante.

Matematicamente temos que: \ M = \gamma m onde \ M é a massa relativista aparente, \ m é a invariante e \ \gamma é o factor de Lorentz. Notemos que se a velocidade relativa do factor de Lorentz é muito baixa, a massa relativa tem o mesmo valor que a massa invariante mas se esta é comparável com a velocidade da luz existe uma variação entre ambas. Conforme a velocidade vá-se aproximando à velocidade da luz, a massa relativista tenderá a infinito.

Quantidade de movimento

Artigo principal: Quantidade de movimento

Ao existir uma variação na massa relativista aparente, a quantidade de movimento de um corpo também deve ser redefinida. Segundo Newton, a quantidade de movimento está definida por onde \ p = mv \ m era a massa do corpo. Como esta massa já não é invariante, nossa nova "quantidade de movimento relativista" tem o factor de Lorentz incluído assim:

\ p = \gamma mv = Mv

Suas consequências vê-las-emos com mais detenimiento na secção posterior de força.

Equivalencia de massa e energia

Artigo principal: Equivalencia entre massa e energia
Equivalencia entre massa e energia.

A relatividad especial postula uma equação para a energia, a qual inexplicavelmente chegou a ser a equação mais famosa do planeta, E=mc2. A esta equação também lha conhece como a equivalencia entre massa e energia.

Na relatividad, a energia e o momento de uma partícula estão relacionados mediante a equação:

\ E^{2} - p^{2}c^{2} = m^{2}c^{4}

Esta relação de energia-momento formulada na relatividad permite-nos observar a independência do observador tanto da energia como da quantidade por enquanto. Para velocidades não relativistas, a energia pode ser aproximada mediante uma expansão de uma série de Taylor assim

\ E \approx mc^{2} + \frac {1}{2} mv^{2}
encontrando assim a energia cinética da mecânica de Newton. O que nos indica que essa mecânica não era mais que um caso particular da actual relatividad. O primeiro termo desta aproximação é o que se conhece como a energia em repouso(energia potencial), esta é a quantidade de energia que pode medir um observador em repouso de acordo com o postulado por Einstein . Esta energia em repouso não causava conflito com o estabelecido anteriormente por Newton, porque esta é constante e ademais persiste a energia em movimento. Einstein descreveu-o desta maneira:
Baixo esta teoria, a massa já não é uma magnitude inalterable mas sim uma magnitude dependente de (e assim mesmo, idêntica com) a quantidade de energia.[5]
Albert Einstein

Força

Em mecânica newtoniana a força não relativista pode se obter simplesmente como a derivada temporária do momento linear:

\mathbf{F} = \frac {d\mathbf{p}}{dt},

Mas contrariamente postula a mecânica newtoniana, aqui o momento não é simplesmente a massa em repouso pela velocidade. Pelo que a equação \mathbf{F} = m\mathbf{a} já não é válida em relatividad. Se introduzimos a definição correcta do momento linear, usando a massa aparente relativista então obtemos a expressão relativista correcta:

\mathbf{F} = \frac {d(M\mathbf{v})}{dt} = \frac {dM}{dt}\mathbf{v} + M\frac {d\mathbf{v}}{dt} = m\frac {d\gamma}{dt}\mathbf{v} + \gamma m\frac {d\mathbf{v}}{dt}

onde \ M é a massa relativista aparente. Calculando a força anterior observa-se que feito a força poderia não ter necessariamente a direcção da aceleração, como se deduze desenvolvendo a equação anterior:

\mathbf{F} = \gamma m \mathbf{a} + \gamma^3 m\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^2} \mathbf{v}

Em introduzindo as acelerações normal e tangencial:

\mathbf{F} = \gamma^3 m a_t \mathbf{\hat{e}_t} + \gamma m a_n \mathbf{\hat{e}_n}\quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} F_t\\ F_n \end{bmatrix} = m \begin{bmatrix} \gamma^3 & 0\\ 0 & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_t\\ a_n \end{bmatrix}

Existem dois casos particulares de movimento de uma partícula onde a força é sempre paralela à aceleração, que são o movimento rectilíneo uniformemente acelerado e o movimento circular uniforme, no primeiro caso o factor de proporcionalidade é \gamma^3 m\, e o em segundo \gamma m\,

A geometria do espaço tempo

Artigo principal: Espaço tempo de Minkowski

A relatividad especial usa tensores e cuadrivectores para representar um espaço pseudo-euclídeo. Este espaço, no entanto, é similar ao espaço euclídeo tridimensional em muitos aspectos e é relativamente fácil trabalhar nele. O tensor métrico que dá a distância elementar (ds) em um espaço euclídeo se define como:

ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2

onde (dx_1,dx_2,dx_3)\, são diferenciais das três coordenadas cartesianas espaciais. Na geometria da relatividad especial, acrescenta-se uma quarta dimensão imaginaria dada pelo produto ict, onde t é o tempo, c a velocidade da luz e i a unidade imaginaria: ficando o intervalo relativista, em forma diferencial, como:

ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 + (icdt)^2

O factor imaginario introduz-se para mostrar o carácter pseudoeuclídeo da geometria espaço-tiemporal. Se reduzem-se as dimensões espaciais a 2, pode-se fazer uma representação física em um espaço tridimensional,

ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2
Cone dual.

Pode-se ver que as geodésicas com medida zero formam um cone dual definido pela equação

ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2
dx_1^2 + dx_2^2 = c^2 dt^2

A equação anterior é a de círculo com \ r = cdt.

Se estende-se o anterior às três dimensões espaciais, as geodésicas nulas são esferas concêntricas, com rádio = distancia c por tempo.

Esferas concêntricas.
ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2
dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 = c^2 dt^2

Este duplo cone de distâncias nulas representa o horizonte de visão de um ponto no espaço. Isto é, quando se olha às estrelas e se diz: A estrela da que estou a receber luz tem X anos, se está a ver através dessa linha de visão: uma geodésica de distância nula. Está a ver-se um acontecimento a metros, d = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} e \ d/c segundos no passado. Por esta razão, o duplo cone é também conhecido como cone de luz (O ponto inferior da esquerda do diagrama inferior representa a estrela, a origem representa o observador e a linha representa a geodésica nula, o "horizonte de visão" ou cone de luz). É importante notar que só os pontos interiores ao cone de luz de um evento podem estar em relação causal com esse evento.

Causalidad e imposibilidad de movimentos mais rápidos que a luz

Artigo principal: Princípio de Causalidad
Erro ao criar miniatura:
Um evento em um cone de luz temporário.

Prévio a esta teoria, o conceito de causalidad estava determinado: para uma causa existe um efeito. Anteriormente, graças aos postulados de Laplace , achava-se que pára todo o acontecimento devia-se obter um resultado que podia se predizer. A revolução neste conceito é que se "cria" um cone de luz de possibilidades (Se veja gráfico adjunto).

Observa-se este cone de luz e agora um acontecimento no cone de luz do passado não necessariamente nos conduz a um sozinho efeito no cone de luz futuro. Separando assim a causa e o efeito. O observador que se situa no vértice do cone já não pode indicar que causa do cone do passado provocará o efeito no cone do futuro.

Assumindo o princípio de causalidad obtemos que nenhuma partícula de massa positiva pode viajar mais rápido que a luz. Apesar que este conceito não é tão claro para a relatividad geral.

Mas não só o princípio de causalidad imposibilita o movimento mais rápido que o da luz. Imagine-se um corpo que experimenta uma força durante uma quantidade infinita de tempo. Temos então que: F = \frac {dp}{dt} (onde dp é o diferencial da quantidade de movimento e dt o do tempo). Sabemos que a quantidade de movimento relativista apresenta a equação: \, p = \gamma mV e quanto mais esta quantidade de movimento acerca-se ao infinito, V acerca-se a c . O que para um observador imóvel determinaria que a inércia do corpo estaria a aumentar indefinidamente.

No modelo regular existem umas partículas ainda teóricas que poderiam viajar mais rápido que a luz, os taquiones, ainda que estas seguem sendo ainda hipotéticas.

Formulación da Relatividad Especial

A relatividad especial apesar de poder ser descrita com facilidade por médio da mecânica clássica e ser de fácil entendimento, tem uma complexa matemática de por médio. Aqui descreve-se à relatividad especial na forma da covariancia de Lorentz. A posição de um evento no espaço-tempo está dado por um vetor contravariante cuatridimensional, seus componentes são:

x^\nu = \left (t, x, y, z\right)

isto é que x^0 = t, x^1 = x, x^2 = y e x^3 = z. Os superíndices desta secção descrevem contravarianza e não expoente a não ser que seja um quadrado ou se diga o contrário. Os superíndices são índices covariantes que têm uma faixa de zero a três como um gradiente do espaço tempo do campo φ:

\partial_0 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}, \quad \partial_1 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad \partial_2 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \quad \partial_3 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial z}.

Métrica e transformação de coordenadas

Tendo reconhecido a natureza cuatridimensional do espaço tempo, pode-se começar a empregar a métrica de Minkowski, η, dado nos componentes (válidos para qualquer sistema de referência) assim:

\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad, sua recíproca é :\qquad \eta^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{c^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Depois reconhece-se que as transformações co-ordenadas entre os sistemas de referência inerciales estão dadas pelo tensor de transformação de Lorentz Λ. Para o caso especial de movimento através do eixo x, tem-se:

\Lambda^{\mu'}{}_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

que é simplesmente a matriz de um impulso (como uma rotação) entre as coordenadas x e t. Onde μ' indica a bicha e ν a coluna. Também β e γ estão definidos como:

\beta = \frac{v}{c},\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

Mais geralmente, uma transformação de um sistema inercial (ignorando a translação para simplificá-lo) a outro deve satisfazer:

\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu'\nu'} \Lambda^{mu'}{}_\alpha \Lambda^{\nu'}{}_\beta \!

onde há uma sumatoria implícita de e \mu' \! \nu'\! de zero a três no lado direito, de acordo com o Convênio de sumación de Einstein. O grupo de Poincaré é o grupo mais geral de transformações que preservam a métrica de Minkowski e esta é a simetría física subjacente à relatividad especial.

Todas as propriedades físicas cuantitativas são dadas por tensores. assim para transformar de um sistema a outro, se usa a muito conhecida lei de transformação tensorial

T^{\left[i_1',i_2',...i_p'\right]}_{\left[j_1',j_2',...j_q'\right]} = \Lambda^{i_1'}{}_{i_1}\Lambda^{i_2'}{}_{i_2}...\Lambda^{i_p'}{}_{i_p} \Lambda_{j_1'}{}^{j_1}\Lambda_{j_2'}{}^{j_2}...\Lambda_{j_q'}{}^{j_q} T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]}

onde \Lambda_{j_k'}{}^{j_k} \! é a matriz recíproca de .. \Lambda^{j_k'}{}_{j_k} \!

Para observar como isto é útil, transformamos a posição de um evento de um sistema de coordenadas S a um S', se calcula

\begin{pmatrix} t'\\ x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \Lambda^{\mu'}{}_\nu x^\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma t- \gamma\beta x/c\\ \gamma x - \beta\gamma ct \\ y\\ z \end{pmatrix}

que são as transformações de Lorentz dadas anteriormente. Todas as transformações de tensores seguem a mesma regra.

O quadrado da diferença da longitude da posição do vetor dx^\mu \! construído usando

\mathbf{dx}^2 = \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -(c \cdot dt)^2+ (dx)^2 +(dy)^2 + (dz)^2 \,

é um invariante. Ser invariante significa que toma o mesmo valor em todos os sistemas inerciales porque é um escalar (tensor de faixa 0), e assim Λ não aparece nesta transformação trivial. Nota-se que quando o elemento linha \mathbf{dx}^2 é negativo d\tau = \sqrt{-\mathbf{dx}^2} / c é o diferencial do tempo próprio, enquanto quando \mathbf{dx}^2 é positivo, \sqrt{\mathbf{dx}^2} é o diferencial da distância própria.

O principal valor de expressar as equações da física em forma tensorial é que estas são depois manifestações invariantes baixo os grupos de Poincaré, de modo que não temos que fazer cálculos tediosos ou especiais para confirmar esse facto. Também ao construir tais equações encontramos usualmente que equações prévias que não têm relação, de facto, estão ligadas proximamente ao ser parte da mesma equação tensorial.

Cuadrivelocidad e cuadriaceleración

Agora podemos definir igualmente à velocidade e à aceleração mediante simples leis de transformação. A velocidade no espaço-tempo Ouμ esta dada por

U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \end{pmatrix}

Reconhecendo isto, podemos converter procurando uma lei sobre as composições de velocidades em um simples estado a respeito de transformações de velocidades de quatro dimensões de uma partícula de um sistema a outro. Ouμ também tem uma forma invariante:

{\mathbf U}^2 = \eta_{\nu\mu} U^\nu U^\mu = -c^2 .

Assim a cuadrivelocidad tem uma magnitude de c . Esta é uma expressão do facto que não há tal coisa como a coordenada em repouso em relatividad: ao menos, se se esta sempre se movendo através do tempo. Para a cuadriaceleración, esta vem dada por . A^\mu = d{\mathbf U^\mu}/d\tauDado isto, diferenciando a equação para τ produz

2\eta_{\mu\nu}A^\mu U^\nu = 0. \!

assim em relatividad, a aceleração e a velocidade no espaço-tempo são ortogonais.

Cuadrimomento

O momento linear e a energia combinam-se um cuadrivector covariante:

P_\nu = m\ \eta_{\nu\mu} U^\mu = \begin{pmatrix} -E/c \\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{pmatrix}

onde m é a massa invariante.

A magnitude invariante do cuadrimomento é:

\mathbf{P}^2 = \eta^{\mu\nu}P_\mu P_\nu = -(E/c)^2 + \mathbf{p}^2 .

Podemos trabalhar com que este é um invariante pelo argumento de que este é primeiro um escalar, não interessa que sistema de referência se calcule e se a transformamos a um sistema onde o momento total seja zero.

\mathbf{P}^2 = - (E_{reposo}/c)^2 = - (mc)^2 .

Observa-se que a energia em repouso é um invariante independente. Uma energia em repouso pode-se calcular para partículas e sistemas em movimento, por translação de um sistema em que o momento é zero. A energia em repouso esta relacionada com a massa de acordo com a equação dantes discutida:

E_{reposo} = m c^2\,

Note-se que a massa de um sistema de medida em seu sistema de centro por enquanto (onde o momento total é zero) está dado pela energia total do sistema nesse marco de referência. Não deveria ser igual à soma de massas individuais do sistema medido em outros sistemas.

Cuadrifuerza

Ao usar a terceira lei de Newton, ambas forças devem estar definidas como a taxa de mudança do momentum com respeito ao mesmo tempo coordenado. Isto é, se requer das forças definidas anteriormente. Desafortunadamente, não há um tensor em quatro dimensões que contenha as componentes de um vetor de força em três dimensões entre seus componentes.

Se uma partícula não está a viajar a c , se pode transformar em uma força de três dimensões do sistema de referência da partícula em movimento entre os observadores deste sistema. A estes lhos costuma chamar força de quatro dimensões. É a taxa de mudança do anterior vetor de quatro dimensões de energia momento com respeito ao tempo próprio. A versão covariante desta força é:

F\nu = \frac{d p_{\nu}}{d \tau} = \begin{pmatrix} -{d E}/{d \tau} \\ {d p_x}/{d \tau} \\ {d p_y}/{d \tau} \\ {d p_z}/{d \tau} \end{pmatrix}

onde \tau \, é o tempo próprio.

No sistema em repouso do objecto, a componente do tempo desta força é zero a não ser que a massa invariante do objecto este mudando, nesse caso a taxa de mudança é negativo e é c2 vezes. Em general, pensa-se que as componentes da força de quatro dimensões não são iguais às componentes da força de três porque esta de três está definida pela taxa de mudança do momento com respeito ao tempo coordenado, assim \frac{d p}{dt}; enquanto a força em quatro dimensões está definida pela taxa de mudança do momento com respeito ao tempo próprio, assim \frac{d p}{d\tau}.

Em um médio contínuo, a densidade de força em três dimensões combinada com a densidade de potência para formar um vetor de quatro dimensões covariante. A parte espacial é o resultado de dividir a força em pequenas células (no espaço tridimensional) pelo volume da célula. O componente do tempo é negativo da potência transferida à célula divida para o volume da célula.

Unificando o electromagnetismo

Investigações teóricas no electromagnetismo clássico indicaram o caminho para descobrir a propagación de onda. As equações generalizando os efeitos electromagnéticos encontraram que a velocidade de propagación finita dos campos E e B requer comportamentos claros em partículas carregadas. O estudo geral de ónus em movimento forma um potencial de Liénard-Wiechert, que é um passo através da relatividad especial.

A transformação de Lorentz do campo eléctrico de um ónus em movimento por um observador em repouso em um sistema de referência resulta no aparecimento de um termo matemático comummente chamado campo magnético. Ao invés, o campo magnético gerado pelo ónus em movimento desaparece e converte-se em um campo electrostático em um sistema de referência móvel. As equações de Maxwell são então simplesmente ajustes empíricos aos efeitos da relatividad especial em um modelo clássico do universo. Como os campos eléctricos e magnéticos são dependentes dos sistemas de referência e assim entrelazados, no assim chamado campo electromagnético. A relatividad especial provee as regras de transformação de como os campos electromagnéticos em um sistema inercial aparece em outro sistema inercial.

Electromagnetismo

Artigo principal: Equações de Maxwell em Relatividad

As equações de Maxwell na forma tridimensional são de por se consistentes com o conteúdo físico da relatividad especial. Mas devemos reescribirlas para fazê-las invariantes.[6]

A densidade de ónus \rho \! e a densidade de corrente [J_x,J_y, J_z] \! são unificadas no conceito de vetor cuatridimensional:

J^\mu = \begin{pmatrix} \rho \\ J_x \\ J_y \\ J_z \end{pmatrix}

A lei de conservação do ónus volta-se:

\partial_\mu J^\mu = 0. \!

O campo eléctrico [E_x, E_y, E_z] \! e a indução magnética [B_x, B_y, B_z] \! são agora unificadas em um tensor de campo electromagnético (de faixa 2, antisimétrico covariante):

F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}

A densidade da força de Lorentz f_\mu \! exercida na matéria pelo campo electromagnético é:

f_\mu = F_{\mu\nu}J^\nu .\!

A lei de Faraday de indução e a lei de Gauss para o magnetismo combinam-se na forma:

\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0. \!

Apesar de que se vêem muitas equações, estas se podem reduzir a sozinho quatro equações independentes. Usando a antisimetría do campo electromagnético pode-se reduzir à identidade ou redundar em todas as equações excepto as que λ, μ, ν = 1,2,3 ou 2,3,0 ou 3,0,1 ou 0,1,2.

Sistemas não inerciales e relatividad especial

Existe certa confusão sobre os limites da teoria especial da relatividad. Por exemplo, com frequência em textos de divulgação repete-se que dentro desta teoria só podem se tratar sistemas de referência inerciales, nos quais a métrica tomada a forma canónica. No entanto, como diversos autores se encarregaram de demonstrar a teoria pode tratar igualmente sistemas de referência não inerciales.[7]

Obviamente o tratamento de sistemas não inerciales na teoria da relatividad especial resulta mais complicado que o dos sistemas inerciales.

Einstein e outros autores consideraram dantes do desenvolvimento da relatividad geral quase exclusivamente sistemas de coordenadas relacionados por transformações de Lorentz, razão pela qual se pensa que esta teoria é só aplicável a sistemas inerciales.

Relatividad geral

Actualmente considera-se como relatividad geral o estudo do espaço tempo deformado por campos gravitatorios, deixando o estudo dos sistemas de referência acelerados em espaços planos dentro da relatividad especial.

A teoria geral da relatividad foi introduzida historicamente em conexão com o princípio de equivalencia e a tentativa de explicar a identidade entre a massa inercial e a massa gravitatoria. Nesta teoria usavam-se explicitamente sistemas de coordenadas não relacionados entre si por transformações de Lorentz ou similares, com o qual claramente na resolução de muitos problemas se fazia patente o uso de sistemas de referência não inerciales. Estes factos conduziram à confusão em muitos textos de divulgação de que os sistemas não inerciales requerem do desenvolvimento da teoria geral da relatividad.

Testes de postulados da relatividad especial

  • Experimento Michelson-Morley – arraste do éter.
  • Experimento Hamar – obstrucción do fluxo do éter.
  • Experimento Trouton-Nobre – torque em um condensador produzido pelo arraste do éter.
  • Experimento Kennedy-Thorndike – contracção do tempo.
  • Experimento sobre as formas de emissão.

Veja-se também

Pessoas: Arthur Eddington | Albert Einstein | Hendrik Lorentz | Hermann Minkowski | Bernhard Riemann | Henri Poincaré | Alexander MacFarlane | Harry Bateman | Robert S. Shankland | Walter Ritz
Relatividad: Teoria da relatividad | Princípio de relatividad | Relatividad geral | sistema de referência | sistema de referência inercial | Transformação de Lorentz | E=mc²
Física: mecânica newtoniana | espaço tempo | velocidade da luz | simultaneidad | cosmología física | efeito Doppler | equações relativistas de Euler | éter (física) | taquión | teoria relativista da gravitación
Matemáticas: espaço de Minkowski | cone de luz | grupo de Lorentz | grupo de Poincaré | geometria | tensor

Referências

  1. ↑ «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» (em alemão, PDF). Annalen der Physik (Berna) 17:  pp. pp. 891-921. 1905. http://www.pro-physik.de/Phy/pdfs/ger_890_921.pdf. Consultado o 13 de agosto de 2009. 
  2. ↑ Pais, Abraham (1984). O senhor é subtil...: a ciência e a vida de Albert Einstein, Barcelona : Ariel. ISBN 84-344-8013-1.
  3. ↑ Qualquer observador inercial que se mova em uma direcção não ortogonal à separação espacial dos acontecimentos.
  4. ↑ Robert M. Wald, General Relativity, p. 4
  5. ↑ Albert Einstein (1927). «Isaac Newton» (em inglês). Smithsonian Annual Report. NOVA. Consultado o 13 de agosto de 2009.
  6. ↑ E. J. Pós (1962). Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics, Dover Publications Inc. ISBN 0-486-65427-3.
  7. ↑ A. A. Logunov (1998). Curso de Teoria da Relatividad e da gravitación, Moscovo: Universidade Estatal de Lomonósov. ISBN 5-88417-162-5.

Bibliografía

Enlaces externos

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