Teoria de campo de gauge

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Em física , uma teoria de campo gauge (ou teoria de gauge ou teoria de "recalibración") é um tipo de teoria cuántica de campos que se baseia no facto de que a interacção entre fermiones pode ser vista como o resultado de introduzir transformações "locais" pertencentes ao grupo de simetría interna no que se baseie a teoria gauge. As teorias de gauge discutem-se geralmente na linguagem matemática da geometria diferencial e envolvem o uso de transformações de gauge. Uma transformação de gauge é uma transformação de algum grau de liberdade interno, que não modifica nenhuma propriedade observable física.

Um campo gauge é um campo de Yang-Mills associado às transformações de gauge associadas à teoria e que descreve a interacção física entre diferentes campos fermiónicos. Por exemplo o campo electromagnético é um campo de gauge que descreve o modo de interactuar de fermiones dotados com ónus eléctrico.

Introdução

Em física , as teorias extensamente aceitadas do modelo regular são teorias de campo de gauge. Isto significa que os campos no modelo regular exibem alguma simetría interna abstrata conhecida como invariancia de gauge. A invariancia gauge significa que o lagrangiano que descreve o campo é invariante baixo a acção de um grupo de Envolva que actua sobre as componentes dos campos. Quando se aplica a mesma transformação a todos os pontos do espaço, se diz que a teoria tem invariancia gauge global. As teorias de gauge usam lagrangianos, tais que na cada ponto do espaço é possível aplicar transformações ou "rotações" ligeiramente diferentes na cada ponto do espaço e ainda assim o lagrangiano é invariante, nesse caso se diz que o lagrangiano apresenta também invariancia de gauge local. Isto é, um lagrangiano com simetría gauge local permite escolher certos graus de liberdade internos de uma maneira em uma região do espaço e de outra em outra região do espaço suficientemente afastada sem afectar à primeira região. A possibilidade de que um lagrangiano admita esta transformação mais geral pode ser visto como uma versão generalizada do princípio de equivalencia da teoria da relatividad geral.

Desde o ponto de vista físico, os campos de gauge manifestam-se fisicamente em forma de partículas bosónicas sem massa (bosones gauge), pelo que se diz que todos os campos de gauge são mediados pelo grupo de bosones de gauge sem massa da teoria.

Para formular uma teoria de campo gauge é necessário que a dinâmica dos campos fermiónicos da teoria vinga descrita por um lagrangiano que tenha alguma simetría interna "local" dada por um grupo de Envolva, chamado grupo de transformações de gauge. Por conseguinte, ao "rotacionar" algo em certa região, não se determina como os objectos rotacionam em outras regiões (se usa o termo "rotacionar" porque os grupos de gauge mais frequentes são SEU(2) e SEU(3) que são generalizações do grupo de rotações ordinárias). Fisicamente uma transformação de gauge é uma transformação de algum grau de liberdade que não modifica nenhuma propriedade observable física. As duas características formais que fazem de um campo um campo gauge são:

Os campos gauge aparecem no lagrangiano que rege a dinâmica do campo em forma de conexão, por tanto, matematicamente estão associadas a 1-formas que tomam valores sobre uma verdadeira álgebra de Envolva.
O campo de gauge pode ser visto como o resultado de aplicar a diferentes pontos do espaço diferentes transformações dentro do grupo de simetría associado aos campos fermiónicos da teoria.

Mecanismo de Higgs

Ainda que no modelo regular todas as interacções ou forças básicas exibem algum tipo de simetría de gauge, esta simetría não é sempre óbvia nos estados observados. Às vezes, especialmente quando a temperatura diminui, a simetría se rompe espontaneamente, isto é, ocorre o fenómeno conhecido como ruptura espontánea da simetría. Um exemplo básico da simetría rompida que se dá com frequência é uma de estado sólido íman. Compõe-se de muitos átomos, a cada um das quais tem um momento magnético dipolar. No entanto, as leis do magnetismo são rotacionalmente simétricas, e é de modo que nas altas temperaturas, os átomos estarão alinhados aleatoriamente, e a simetría rotatória será restaurada. Semelhantemente, pode-se, com as condições apropriadas, arrefecer água baixo a temperatura de solidificación. Quando um cristal de gelo se atira no líquido, a simetría é rompida e a água solidifica imediatamente.

Para dar conta destes factos de ruptura da simetría, propôs-se o mecanismo de Higgs. Se no lagrangiano da interacção ou "campo de forças" concreto que está a ser estudado se introduzem verdadeiro tipo de campos escalares que interactúan consigo mesmo, no limite de baixas energias os bosones gauge se comportam como se estivessem dotados de massa; este efeito é precisamente o mecanismo de Higgs. Em outras palavras o mecanismo de Higgs pode ser interpretado pensando que a interacção entre o campo escalar introduzido ou campo de Higgs e os bosones gauge, faz que estes "adquiram massa, isto é, apresentem interacções como as que apresentariam genuinas partículas com massa.

Formulación matemática

Em uma teoria de campo de gauge, uma transformação de gauge é uma aplicação diferenciable:

$T_g:\mathcal{M}\to \mathcal{G}_{sym}$

Onde:

$\mathcal{M}$ , é espaço tempo, ou variedade diferenciable, onde aparece o campo.

$\mathcal{G}_{sym}$ , é um grupo de Envolva ou grupo de simetría do campo, isto é, é um grupo de transformações que deixam invariável o lagrangiano que define a dinâmica do campo. Este grupo costuma-se chamar grupo de transformações de gauge do campo.

Matematicamente podemos tratar convenientemente uma teoria de gauge mediante a teoria de fibrados principais definidos sobre um espaço-tempo. Na construção de fibrado principal o espaço baseie será o espaço-tempo será $\mathcal{M}$ e a "fibra" será o grupo de Envolva $\mathcal{G}_{sym}$ . Feita esta construção uma transformação de gauge é precisamente uma secção diferenciable do anterior fibrado principal. Fisicamente uma transformação de gauge é uma transformação de algum grau de liberdade que não modifica nenhuma propriedade observable física.

Conexões

Tecnicamente o campo de gauge associado a uma teoria gauge, aparece no modelo matemático como uma conexão sobre o fibrado principal anteriormente definido. Concretamente a partir as componentes da 1-forma $\mathbf{A}$ que toma valores no álgebra de Envolva sócia ao grupo de gauge, podem se calcular o conjunto de componentes físicas que caracterizam o campo de gauge. Propriamente o campo de gauge é um campo de Yang-Mills obtido a partir de 2-forma $\mathbf{F}$ dada por:

$\mathbf{F} = d\mathbf{A} + \mathbf{A} \land \mathbf{A}$

Onde d é a derivada exterior e $\land$ é produto exterior (ou produto cunha).

Transformações infinitesimales

Uma transformação de gauge infinitesimal é similar a uma transformação de gauge ordinária, mas na definição se substituye o grupo de gauge por seu álgebra de Envolva sócia:

$T_\varepsilon:\mathcal{M}\to \mathfrak{g}_{sym}$

Onde:

$\mathcal{M}$ , é espaço tempo, ou variedade diferenciable, onde aparece o campo.

$\mathfrak{g}_{sym}$ , é o álgebra de Envolva correspondente ao grupo de gauge $\mathcal{G}_{sym}$ . Esta definição pode estender a qualquer elemento sobre um fibrado tangente ao espaço tempo, de tal modo que estão definidas as transformações de gauge infinitesiamales de qualquer tipo de campo espinorial ou tensorial.

As transformações de gauge inifinitesimales definem o número de campos bosónicos da teoria e a forma em que estes intereactúan. O conjunto de todas as transformações de gauge infinitesimales formam um álgebra de Envolva, que se caracterizada por um escalar diferenciable a valores em um álgebra de Envolva, ε. Baixo tal transformação de gauge infinitesimal:

$\mathbf{A}\mapsto \mathbf{A}+\delta_\varepsilon\mathbf{A} \qquad \mbox{con}\ \delta_\varepsilon\mathbf{A} := [\varepsilon, \mathbf{A}] - d\varepsilon$

Onde [·,·] é o colchete de Envolva. Estas tansformaciones infinitesimales têm várias propriedades interessantes:

As transformações de gauge infinitesimales comutam com a derivada covariante definida pela conexão: $\delta_\varepsilon X = \varepsilon X\ \rightarrow \quad \delta_\varepsilon(\mathbf{D}_\alpha X) = \varepsilon\mathbf{D}_\alpha X$ , onde $\mathbf{D}_\alpha = \part_\alpha + A_\alpha$ é a derivada covariante.
Também, δ_εF = εF, que significa que F se transforma covariantemente.
Não todas as transformações de gauge podem ser geradas por transformações infinitesimales de gauge em general; por exemplo, quando a variedade de base é uma variedade compacta sem borda tal que a classe de homotopía de funções dessa variedade ao grupo de Envolva é não trivial, um exemplo disso são os instatones.

Lagrangiano de uma teoria gauge

A integral de acção calculada a partir do lagrangiano do campo de Yang-Mills está dada por:

$S_{YM} = \int_\mathcal{M} \mathcal{L}_{YM}(\mathbf{F}(\mathbf{x}),\mathbf{x}) \left(\sqrt{|g|} dx^1\land ...\land dx^n\right) = \frac{1}{4g^2} \int_\mathcal{M} Tr[*\mathbf{F}(\mathbf{x})\wedge \mathbf{F}(\mathbf{x})]\ d^4\mathbf{x}$

Onde $*\,$ designa o operador dual de Hodge e a integral se define como a integral de um n-forma proporcional ao elemento de volume da variedade de Riemann que define o espaço-tempo.

Bucle de Wilson

Uma quantidade que é invariante baixo transformações de gauge é o bucle de Wilson, que se define sobre qualquer trajectória fechada, γ, como segue:

$\chi^{(\rho)}(\mathcal{P}\{e^{\int_\gamma A}\})$

onde ρ é um carácter de uma representação complexa; e $\mathcal{P}$ representa ao operador de trajectória ordenada. Nas teorias das interacções electrodébil e forte do modelo regular da física de partículas, Lagrangianos de bosones , que mediam interacções entre os fermiones, são invariantes baixo transformações de gauge. Esta é a razão pela qual estes bosones se chamam bosones de gauge.