Teoria perturbacional

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Em mecânica cuántica, a teoria perturbacional ou teoria de perturbaciones é um conjunto de esquemas aproximados para descrever sistemas cuánticos complicados em termos de outros mais singelos. A ideia é começar com um sistema simples e gradualmente ir activando hamiltonianos "perturbativos", que representam pequenas alterações ao sistema. Se a alteração ou perturbación não é demasiado grande, as diversas magnitudes físicas sócias ao sistema perturbado (por exemplo seus níveis de energia e seus estados próprios) poderão ser gerados de forma contínua a partir dos do sistema singelo. Desta forma, podemos estudar o sistema complexo baseando no sistema singelo.

Em particular ao estudar as energias de um sistema físico, o método consiste em identificar dentro do Hamiltoniano (perturbado) que parte deste corresponde a um problema com solução conhecida (Hamiltoniano não perturbado em caso que sua solução seja analítica) e considerar o resto como um potencial que modifica ao anterior Hamiltoniano. Dita identificação permite escrever aos autoestados do Hamiltoniano perturbado como uma combinação linear dos autoestados do Hamiltoniano sem perturbar e às autoenergías como as autoenergías do problema sem perturbar mais termos correctivos.

Conteúdo

1 Procedimento
- 1.1 Caso não degenerado
2 Teoria de perturbaciones de muitos corpos
- 2.1 Representação diagramática e consistência com a talha do problema
3 Aplicações da teoria perturbacional

Procedimento

Caso não degenerado

Seja $H \,$ o Hamiltoniano de um sistema físico. De acordo com o dantes mencionado, o mesmo pode-se escrever como $\hat H=\hat H_0+\lambda \hat V$ , onde $\hat H_0$ corresponde ao Hamiltoniano sem pertubar (cujas soluções se conhecem) e $\hat V$ é o potencial que modifica a . $H_0 \,$ O parámetro $\lambda \,$ controla a magnitude da perturbación. Em general é um parámetro ficticio que se usa por conveniencia matemática e que ao final da análise se toma $\lambda=1 \,$ . Por outro lado, os autoestados de escrevem-se $H \,$ como uma combinação linear dos autoestados de $H_0 \,$

$|\psi_n\rangle=\sum_m\sum_k\lambda^kc^{(k)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle$

e as energias como

$E_n=\sum_k\lambda^kE_n^{(k)}$

onde $E_n^{(k)}$ é a $k$ -ésima correcção à energia. O índice $k \,$ indica a ordem da correcção começando por . $k=0 \,$ Isto é, quanto maior seja $k \,$ , melhor aproximação ter-se-á e para $k=0 \,$ não há correcção alguma. Nas anteriores expressões supôs-se que

$H_0|\psi^{(0)}_n\rangle=E^{(0)}_n|\psi^{(0)}_n\rangle$ e $H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle$

Se substituímos as expressões para $H$ , $E_n$ e $|\psi_n\rangle$ na segunda equação da anterior linha tem-se

$H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle$ $(H_0+\lambda V)\sum_m\sum_k\lambda^kc^{(k)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle=(\sum_{k_1}\lambda^{k_1}E_n^{(k_1)})\sum_{m'}\sum_{k_2}\lambda^{k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$ $\sum_k\sum_m\lambda^kc^{(k)}_{nm}(E^{(0)}_m+\lambda V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{k_1}\sum_{k_2}\sum_{m'}E_n^{(k_1)}\lambda^{k_1+k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$ $\sum_k\sum_m\lambda^kc^{(k)}_{nm}(E^{(0)}_m+\lambda V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{k_1,k_2}\sum_{m'}E_n^{(k_1)}\lambda^{k_1+k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$ $\sum_mc^{(0)}_{nm}E^{(0)}_m|\psi_m^{(0)}\rangle+\sum_{k=1}\sum_m\lambda^k(c^{(k)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(k-1)}_{nm} V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{m'}c^{(0)}_{nm'}E^{(0)}_n|\psi_{m'}^{(0)}\rangle+\sum_{k_1+k_2=1}\sum_{m'}E_n^{(k_1)}\lambda^{k_1+k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$ $\sum_mc^{(0)}_{nm}(E^{(0)}_m-E^{(0)}_n)|\psi_m^{(0)}\rangle+\sum_{k=1}\sum_m\lambda^k(c^{(k)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(k-1)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{k_1+k_2=1}\sum_{m'}E_n^{(k_1)}\lambda^{k_1+k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$

Esta igualdade deve-se satisfazer para toda ordem de . $\lambda$ O primeiro termo do lado esquerdo da última linha corresponde à ordem $k=0$ e deve ser identicamente nulo já que do lado direito da igualdade não existem termos de dito ordem em . $\lambda$ Isto implica que, para que toda a soma se anule, os $c^{(0)}_{nm}=\delta_{nm}$ , onde $\delta_{nm}$ é o delta de Kronecker.

Por outro lado, quando $k=1$ se tem no lado esquerdo a primeira ordem de que $\lambda$ se obtém no lado direito quando $k_1+k_2=1$ , isto é quando $k_1=1\wedge k_2=0$ ou bem quando $k_1=0\wedge k_2=1$ . Portanto tem-se

$\sum_m(c^{(1)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(0)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{m'}(E_n^{(1)}c^{(0)}_{nm'}+E_n^{(0)}c^{(1)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$

Para a segunda ordem, $k=2$ e $k_1=2\wedge k_2=0$ , $k_1=1\wedge k_2=1$ e $k_1=0\wedge k_2=2$ , então

$\sum_m(c^{(2)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(1)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{m'}(E_n^{(2)}c^{(0)}_{nm'}+E_n^{(1)}c^{(1)}_{nm'}+ E_n^{(0)}c^{(2)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$

Para a terceira ordem, $k=3$ e $k_1=3\wedge k_2=0$ , $k_1=2\wedge k_2=1$ , $k_1=1\wedge k_2=2$ e $k_1=0\wedge k_2=0$ , então

$\sum_m(c^{(3)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(2)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{m'}(E_n^{(3)}c^{(0)}_{nm'}+E_n^{(2)}c^{(1)}_{nm'}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nm'}+E_n^{(0)}c^{(3)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$

e assim sucessivamente até a ordem que se deseje. A partir das anterior igualdades é possível calcular todos os coeficientes $c^{(k)}_{nm}$ das combinações lineares e as correcções às energias $E^{k}_n$ . Para obtê-las procede-se do seguinte modo: primeiro usa-se o facto que $c^{(0)}_{nm}=\delta_{nm}$ com o qual, para as três ordens respectivamente se tem,

$\sum_mc^{(1)}_{nm}E^{(0)}_m|\psi^{(0)}_m\rangle+V|\psi^{(0)}_n\rangle=E_n^{(1)}|\psi^{(0)}_n\rangle+\sum_{m'}E_n^{(0)}c^{(1)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$ $\sum_m(c^{(2)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(1)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(2)}|\psi^{(0)}_n\rangle+\sum_{m'}(E_n^{(1)}c^{(1)}_{nm'}+ E_n^{(0)}c^{(2)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$ $\sum_m(c^{(3)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(2)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(3)}|\psi^{(0)}_n\rangle+\sum_{m'}(E_n^{(2)}c^{(1)}_{nm'}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nm'}+E_n^{(0)}c^{(3)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle$

Para achar as correcções à energia deve-se multiplicar pelo bra $\langle\psi^{(0)}_n|$ e usar que $\langle\psi^{(0)}_n|\psi^{(0)}_n\rangle=1$ , se obtendo então

$c^{(1)}_{nn}E^{(0)}_n+\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_n\rangle=E_n^{(1)}+E_n^{(0)}c^{(1)}_{nn}$ $c^{(2)}_{nn}E^{(0)}_n+\sum_mc^{(1)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(2)}+(E_n^{(1)}c^{(1)}_{nn}+ E_n^{(0)}c^{(2)}_{nn})$ $c^{(3)}_{nn}E^{(0)}_n+\sum_mc^{(2)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(3)}+(E_n^{(2)}c^{(1)}_{nn}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nn}+E_n^{(0)}c^{(3)}_{nn})$

Reordenando as anteriores expressões e despejando para a correcção desejada tem-se

$E_n^{(1)}=\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_n\rangle$ $E_n^{(2)}=\sum_mc^{(1)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_m\rangle-E_n^{(1)}c^{(1)}_{nn}$ $E_n^{(3)}=\sum_mc^{(2)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_nV|\psi^{(0)}_m\rangle-(E_n^{(2)}c^{(1)}_{nn}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nn})$

Deste modo obtiveram-se as correcções para as energias em termos de relações recursivas partindo da primeira correcção cujo valor é o elemento de matriz $E_n^{(1)}=\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_n\rangle$ . As correcções também dependem dos coeficientes das combinações lineares. Estes podem ser achados com um razonamiento similar, efectivamente, se em vez de ter multiplicar por se $\langle\psi^{(0)}_n|$ multiplica por $\langle\psi^{(0)}_l|$ $l\neq n$ com se tem

$c^{(1)}_{nl}E^{(0)}_l+\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_n\rangle=E_n^{(0)}c^{(1)}_{nl}$ $c^{(2)}_{nl}E^{(0)}_l+\sum_mc^{(1)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(1)}c^{(1)}_{nl}+ E_n^{(0)}c^{(2)}_{nl}$ $c^{(3)}_{nl}E^{(0)}_l+\sum_mc^{(2)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(2)}c^{(1)}_{nl}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nl}+E_n^{(0)}c^{(3)}_{nl}$

Reordenando para este caso

$c^{(1)}_{nl}=\frac{\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_n\rangle}{E_n^{(0)}-E^{(0)}_l}$ $c^{(2)}_{nl}=\frac{\sum_mc^{(1)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_m\rangle-E_n^{(1)}c^{(1)}_{nl}}{E_n^{(0)}-E^{(0)}_l}$ $c^{(3)}_{nl}=\frac{\sum_mc^{(2)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_m\rangle-(E_n^{(2)}c^{(1)}_{nl}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nl})}{E_n^{(0)}-E^{(0)}_l}$

Os coeficientes $c^{(k)}_{nn}$ calculam-se por normalização do estado $|\psi_n\rangle$ . Uma vez obtidos todos os coeficientes e as correcções à energia da ordem desejada lhos substitui nas expressões expostas inicialmente para determinar os autoestados de e $H$ as autoenergías de dito operados, respectivamente.

Por exemplo, se deseja-se calcular a correcção para a energia a primeira ordem e os autoestados correspondentes, as expressões

$|\psi_n\rangle=\sum_m\sum_k\lambda^kc^{(k)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle$ e $E_n=\sum_k\lambda^kE_n^{(k)}$

cortam-se para $k=1$ ficando

$|\psi_n\rangle=\sum_mc^{(0)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle+\sum_mc^{(1)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle$ e $E_n=E_n^{(0)}+E_n^{(1)}$

depois, substituem-se os resultados dantes achados

$|\psi_n\rangle=(1+c^{(1)}_{nn})|\psi^{(0)}_n\rangle+\sum_{m\neq n}\frac{\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_n\rangle}{E_n^{(0)}-E^{(0)}_l}|\psi^{(0)}_m\rangle$ e $E_n=E_n^{(0)}+\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_n\rangle$

e obtêm-se as aproximações dos estados e as energias para o problema com a perturbación $V$ .

Teoria de perturbaciones de muitos corpos

Também chamada teoria de perturbaciones de Möller-Plesset" e "teoria de perturbaciones de Rayleigh e Schrödinger", por seus usos temporões em mecânica cuántica, se lhe chama "de muitos corpos" por sua popularidade entre os físicos que trabalham com sistemas infinitos. Para eles, a consistência com a talha do problema, que se discute mais abaixo, é uma questão de grande importância, obviamente.

Representação diagramática e consistência com a talha do problema

A teoria perturbacional é, como a interacção de configurações, um procedimento sistémico que se pode usar para encontrar a energia de correlação, para além do nível Hartree-Fock. A teoria de perturbaciones não é um método variacional, com o que não dá cotas superiores da energia, senão somente aproximações sucessivamente melhores. Em mudança, sim que é consistente com a talha do problema (isto é: a energia das energias calculadas para dois sistemas tanto faz à energia calculada para o sistema soma).

R. P. Feynman criou uma representação diagramática da teoria de perturbaciones de Rayleigh e Schrödinger, e aplicou-a em seus trabalhos de electrodinámica cuántica. Inspirado por ele, J. Goldstone usou estas representações para demonstrar a consistência da talha (mostrou que certas contribuições, que aparentemente rompiam a consistência, se anulavam sistematicamente a qualquer ordem de perturbación).

Com ajuda destas mesmas representações, H. P. Kelly levou a cabo pela primeira vez a aproximação do par electrónico independente, somando certas partes da perturbación (certos diagramas) até uma ordem infinita.

Aplicações da teoria perturbacional

A teoria perturbacional é uma ferramenta extremamente importante para a descrição de sistemas cuánticos reais, já que é muito difícil encontrar soluções exactas à equação de Schrödinger a partir de hamiltonianos de complexidade moderada. De facto, a maioria dos hamiltonianos para os que se conhecem funções exactas, como o átomo de hidrógeno, o oscilador harmônico cuántico e a partícula em uma caixa estão demasiado idealizados como para descrever a sistemas reais. Através da teoria das perturbaciones, é possível usar soluções de hamiltonianos simples para gerar soluções para um amplo espectro de sistemas complexos. Por exemplo, acrescentando um pequeno potencial eléctrico perturbativo ao modelo mecanocuántico do átomo de hidrógeno, podem-se calcular os pequenos desvios nas linhas espectrales do hidrógeno causadas por um campo eléctrico (o efeito Stark). (Há que notar que, estritamente, se o campo eléctrico externo fosse uniforme e se estendesse ao infinito, não teria estado enlaçado, e os elétrons terminariam saindo do átomo por efeito túnel, por débil que fosse o campo. O efeito Stark é uma pseudoaproximación.)

As soluções que produz a teoria perturbacional não são exactas, mas com frequência são extremamente acertadas. Tipicamente, o resultado expressa-se em termos de uma expansão polinomial infinita que converge rapidamente ao valor exacto quando se soma até um grau alto (geralmente, de forma asintótica). Na teoria da electrodinámica cuántica, na que a interacção elétron - fotón se trata pertrubativamente, o cálculo do momento magnético do elétron está de acordo com os resultados experimentales até as primeiras 11 cifras significativas. Em electrodinámica cuántica e em teoria cuántica de campos, usam-se técnicas especiais de cálculo, conhecidas como diagramas de Feynman, para somar de forma sistémica os termos das séries polinomiais.

Baixo certas circunstâncias, a teoria perturbacional não é caminho adequado. Este é o caso quando o sistema em estudo não se pode descrever por uma pequena perturbación imposta a um sistema simples. Em cromodinámica cuántica, por exemplo, a interacção dos quarks com o campo dos gluones não pode se tratar perturbativamente a baixas energias, porque a energia de interacção se faz demasiado grande. A teoria de perturbaciones também não pode descrever estados com uma geração não-contínua, incluindo estados enlaçados e vários fenómenos colectivos como os solitones. Um exemplo seria um sistema de partículas livres (sem interacção), nas que se introduz uma interacção atraente. Dependendo da forma da interacção, pode-se gerar um conjunto de estados próprios completamente novo, que corresponderia a grupos de partículas enlaçadas umas a outras. Um exemplo deste fenómeno pode encontrar-se na superconductividad convencional, na que a atração entre elétrons de condução mediada por fonones leva à formação de elétrons fortemente correlacionados, conhecidos como pares de Cooper. Com este tipo de sistemas, deve-se usar outros esquemas de aproximação, como o método variacional ou a aproximação WKB.

O problema dos sistemas não perturbativos tem sido aliviado pela chegada dos computadores modernos. Agora é possível obter soluções numéricas, não perturbativas para certos problemas, usando métodos como a Teoria do Funcional da Densidade (DFT). Estes avanços têm sido de particular utilidade para o campo da química cuántica. Também se usaram computadores para levar a cabo cálculos de teoria perturbacional a níveis extraordinariamente altos de precisão, algo importante em física de partículas para obter resultados comparáveis aos resultados experimentales.

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Categoria: Mecânica cuántica

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