Transformada de Fourier

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Para outros usos deste termo, veja-se Transformação (desambiguación).

Em matemática, a transformada de Fourier é uma aplicação que faz corresponder a uma função f com valores complexos e definida na recta, outra função g definido da maneira seguinte:

$g(\xi ) = \frac{1}\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx$

Onde f é $L^{1}$ , ou seja f tem que ser uma função integrable no sentido da integral de Lebesgue. O factor, que acompanha a integral em definição facilita o enunciado de alguns dos teoremas referentes à transformada de Fourier. Ainda que esta forma de normalizar a transformada de Fourier é a mais comummente adoptada, não é universal. Na prática o variáveis x e $\xi$ costumam estar sócias a dimensões (como o espaço -metros-, frequência -segundos^-1-,...) e então é correcto utilizar a fórmula alternativa:

$g(\xi ) = \sqrt{\frac{\beta}{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\beta\xi\,x} dx$

de forma que a constante beta cancela as dimensões associadas às variáveis obtendo um expoente adimensional.

A transformada de Fourier assim definida goza de uma série de propriedades de continuidade que garantem que pode se estender a espaços de funções maiores e inclusive a espaços de funções generalizadas.

Ademais, tem uma multidão de aplicações em muitas áreas da ciência e engenharia: a física, a teoria dos números, a combinatoria, o processamento de sinais (electrónica), a teoria da probabilidade, a estatística, a óptica, a propagación de ondas e outras áreas. Em processamento de sinais a transformada de Fourier costuma considerar-se como a decomposición de um sinal em componentes de frequências diferentes, isto é, g corresponde ao espectro de frequências do sinal f.

O ramo da matemática que estuda a transformada de Fourier e suas generalizações é denominada análise harmônica.

São várias as anotações que se utilizam para a transformada de Fourier de f . Tenho aqui algumas delas:

$\mathcal{F}[f], \hat f, F(f), \mathcal{F} \{ f \}$ .

Conteúdo

1 Definição intuitiva
2 Definição formal
3 Propriedades básicas
4 Tabela de Transformadas básicas
5 Teorema de investimento
6 A transformada de Fourier no espaço de Schwartz
7 Propriedades de homomorfismo
8 Séries de Fourier de seios e cossenos
9 Uso em engenharia
10 Interpretação geométrica
11 Veja-se também
12 Enlaces externos

Definição intuitiva

A transformada de Fourier é basicamente o espectro de frequências de uma função. Um bom exemplo disso é o que faz o ouvido humano, já que recebe uma onda auditiva e a transforma em uma descomposição em diferentes frequências (que é o que finalmente se escuta). O ouvido humano vai percebendo diferentes frequências à medida que passa o tempo, no entanto, a transformada de Fourier contém todas as frequências contidas em todos os tempos em que existiu o sinal; isto é, na transformada de Fourier obtém-se um só espectro de frequências para toda a função.

Definição formal

Seja f uma função Lebesgue integrable:

$f \in L^1(\mathbb{R})$ ou $f \in L^1(\mathbb{C})$

A transformada de Fourier de f é a função

$\mathcal{F} \{ f \} \ \ : \xi \mapsto \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i \xi x}\,dx,$

Esta integral faz sentido, pois o integrando é uma função integrable. Uma estimativa simples demonstra que a transformada de Fourier F(f) é uma função dimensionada. Ademais por médio do teorema de convergência dominada pode demonstrar-se que F(f) é contínua.

A transformada de Fourier inversa de uma função integrable f está definido por:

$\mathcal{F}^{-1} \{ \hat{f} \} = f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi,$

Note-se que a única diferença entre a transformada de Fourier e a transformada de Fourier inversa é o signo negativo no expoente do integrando. O teorema de investimento de Fourier formulado abaixo justifica o nome de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. O signo negativo no expoente do integrado indica a traspolación de complementos yuxtapuestos. Estes complementos podem ser analisados através da aplicação da Varianza para a cada função.

Propriedades básicas

A transformada de Fourier é uma aplicação linear:

$\mathcal{F}\{ a\cdot f+b \cdot g \} =a \, \mathcal{F}\{ f \} + b \, \mathcal{F}\{ g \}.$

Valem as seguintes propriedades para uma função absolutamente integrable f:

Mudança de escala:

$\mathcal{F} \{ f(at) \}(\xi) = \frac{1}{|a|} \cdot \mathcal{F} \{ f \} \bigg(\frac{\xi}{a}\bigg)$

Translação:

$\mathcal{F} \{ f(t-a) \} (\xi)=e^{-i\xi a} \cdot \mathcal{F} \{ f \} (\xi)$

Translação na variável transformada:

$\mathcal{F}\{ f \} (\xi-a)= \mathcal{F} \{ e^{iat} f(t) \} (\xi)$

Transformada da derivada: Se f e sua derivada são integrables,

$\mathcal F \{ f' \} (\xi) = i\xi \cdot \mathcal{F} \{ f \}(\xi)$

Derivada da transformada: Se f e t → f(t) são integrables, a transformada de Fourier F(f) é diferenciable

$\mathcal{F}\{ f \}' (\xi) = \mathcal{F} \{ (-it) \cdot f(t) \}(\xi)$

Estas identidades demonstram-se por uma mudança de variáveis ou integração por partes.

No que segue, definimos a convolución de duas funciones f, g na recta se define da maneira seguinte:

$(f * g)(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \cdot g(x - y) \, dy.$

Novamente a presença do factor adiante da integral simplifica o enunciado dos resultados como o que segue: Se f e g são funções absolutamente integrables, a convolución também é integrable, e vale a igualdade:

$\mathcal{F}\{ f*g \} = \mathcal{F} \{ f \} \cdot \mathcal{F} \{ g \}$

Também pode enunciarse um teorema análogo para a convolución na variável transformada,

$\mathcal{F} \{ f \cdot g \} =\mathcal{F}\{ f \}*\mathcal{F}\{ g \}.$

mas este exige verdadeiro cuidado com o domínio de definição da transformada de Fourier.

Tabela de Transformadas básicas

Em algumas ocasiões define-se a transformada com um factor multiplicativo diferente de , $\textstyle \frac{1}\sqrt{2\pi}$ sendo frequente em engenharia o uso de um factor unidade na transformada directa e um factor de em $\textstyle \frac{1}{2\pi}$ a transformada inversa. A seguir lista-se uma tabela de funções e suas transformadas de Fourier com um factor unidade. Se deseja-se utilizar outro factor, só deve multiplicar a segunda coluna por esse factor.

Função	Transformada
$\delta(x) \!$	$1 \!$
$u(x) \!$	$1/2(\delta(f)+1/(i\pi f)) \!$
$\sin (w_0 x) \!$	$-i\pi[\delta(w-w_0)-\delta(w+w_0)] \!$
$\cos (w_0 x) \!$	$\pi[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)] \!$
$1 \!$	$2\pi\delta(w) \!$
$e^{-at}u(t), \mathrm{Re}(a) >0 \!$	$\frac{1}{a+iw} \!$
$e^{-a\|t\|}, \!$	$\frac{2a}{a^2+w^2} \!$
$te^{-at}u(t), \mathrm{Re}(a)>0 \!$	$\frac{1}{(a+iw)^{2}} \!$
$x(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{si }\|t\|<T_1 \\ 0, & \mbox{si }\|t\|>T_1 \end{cases} \!$	$\mathrm{sinc}(\frac{wT_1}{\pi}) = 2 \frac{\sin (wT_1)}{w}$
$x(t) = \mathrm{tri}(\frac{t}{2T_1}) = \begin{cases} 1-\frac{\|t\|}{T_1}, & \mbox{si }\|t\|<T_1 \\ 0, & \mbox{si }\|t\|>T_1 \end{cases} \!$	$\mathrm{sinc}^{2}(\frac{wT_1}{\pi})$

Teorema de investimento

A ideia do teorema de investimento é que dada uma função f, a transformada de Fourier inversa aplicada à transformada de Fourier de f resulta na função original, em símbolos:

$(1) \quad \check{\hat{f}} = f \quad$

No entanto, o resultado formulado desta forma não é válido, porque o domínio da transformada de Fourier como o definimos no primeiro parágrafo deste artigo não é invariante, ou seja que a transformada de Fourier de uma função integrable não é necessariamente integrable.

Para formular o teorema de investimento precisamos encontrar espaços de funções que sejam invariantes baixo a transformada de Fourier. De facto, há numerosas possibilidades, a mais natural do ponto de vista técnico sendo o espaço de Schwartz de funções φ rapidamente decrecientes. No entanto aqui tomamos um caminho mais directo para formular um enunciado:

Teorema. O espaço de funções complexas f definidas na recta tais que f e a transformada de Fourier de f sejam integrables, é invariante tanto pela transformada de Fourier que pela transformada de Fourier inversa. Ademais para uma função f neste espaço, vale o teorema de investimento (1).

Outra possibilidade para formular um teorema de investimento fundamenta-se no facto de que a transformada de Fourier tem muitas extensões naturais.

A transformada de Fourier no espaço de Schwartz

O espaço de Schwartz consiste das funções φ tomando valores complexos, definidas em R e infinitamente diferenciables tais que pára todo o m, n inteiros não negativos

$\sup_{x \in \mathbb{R}} |x^m \varphi^{(n)}(x)| < \infty,$

onde φ⁽ⁿ⁾ é o n-ésima derivada de φ. Denotamos ao espaço de Schwartz pelo símbolo $\mathcal{S}$ .

Teorema Tanto a transformada de Fourier como a transformada de Fourier inversa são aplicações lineares

$\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{S}.$

Ademais vale a fórmula de investimento:

$\check{\hat{f}} = f, \quad f \in \mathcal{S}.$

O espaço de Schwartz é invariante com respeito aos operadores diferenciais com coeficientes polinomiales, isto é da forma

$[T\varphi](x) = \sum_{k=0}^m P_k(x) \bigg(\frac{d}{dx}\bigg)^n \varphi(x).$

onde P_k são polinômios.

Devido às propriedades

$\mathcal{F} \{ \frac{d \varphi}{dx} \} (\xi) = i\xi \cdot \mathcal{F} \{ \varphi \} (\xi) \quad$

$\mathcal{F} \{-ix \cdot \varphi(x) \} (\xi) = \frac{d}{d\xi} \bigg ( \mathcal{F}\{ \varphi \} (\xi) \bigg ) ,$

a transformada de Fourier é uma ferramenta muito importante para o estudo das equações diferenciais tanto para a teoria que para sua resolução prática.

Propriedades de homomorfismo

Como as "funções baseie" e^ikx são homomorfismos da linha real (mais concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades úteis:

Se $g(x)=f(x-y)$ então $\hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)$
A transformada de Fourier é um morfismo:

$\hat{(f*g)} (k)=\hat f(k) \cdot \hat g(k)$

Isto é, a transformada de Fourier de uma convolución é o produto das transformadas de Fourier.

Séries de Fourier de seios e cossenos

Dada uma função no intervalo (0, pi), podem-se definir muitas funções em (−pi, pi) que coincidam com ela em (0, pi); a cada uma das extensões terá uma série de Fourier própria. Mas algumas extensões têm especial interesse. Tendo em conta a propriedade 4 da secção 1.3, pode-se eleger a extensão de maneira que tenhamos uma função par e, nesse caso, a série de Fourier só tem cossenos. Chama-se série de Fourier de cossenos da função original e seus coeficientes calculam-se pela fórmula (1.6) (na que só intervém a função dada no intervalo original). Do mesmo modo, se elegemos uma extensão ímpar, a série que resulta é a série de Fourier de seios da função dada e seus coeficientes vêm determinados por (1.7). Podem-se fazer construções semelhantes a partir de qualquer intervalo.

Uso em engenharia

A transformada de Fourier utiliza-se para passar ao «domínio frecuencial» um sinal para assim obter informação que não é evidente no «domínio temporário». Demonstra-se matematicamente que um sinal periódico se pode decompor em uma soma de seios e cossenos formando uma base ortogonal, desta forma, sinais como a voz ou as ondas se podem decompor em um sumatorio de sinais trigonométricas. O conjunto de constantes que multiplicam à cada frequência formam o espectro de frequências. Desta forma podem-se chegar a diversos experimentos muito interessantes:

A voz humana percorre o espectro dos 100Hz aos 5.000Hz e o ouvido humano encontra-se entre os 20 Hz e os 20.000 Hz.
Se conhecemos a densidade espectral de um sistema e a entrada podemos conhecer a densidade espectral da saída. Isto é muito útil para o desenho de filtros de radiotransistores.
A transformada de fourier também é utilizada no âmbito do tratamento digital de imagens, como por exemplo para melhorar ou definir mais certas zonas de uma imagem fotográfica ou tomada com um computador.

Interpretação geométrica

Definido o produto escalar entre funções da seguinte maneira:

$\langle f(x),g(x) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) * g(x) dx \quad$

a transformada de Fourier pode-se entender como o produto escalar entre a função x(t) e a exponencial complexa $e^{i2\pi\,ft}$ avaliado sobretudo a faixa de frequências f. Pela interpretação usual do produto escalar, naquelas frequências nas que a transformada tem um valor maior, mais parecido tem x(t) com uma exponencial complexa.