Visita Encydia-Wikilingue.com

Triângulo

triángulo - Wikilingue - Encydia

Para outros usos deste termo, veja-se Triângulo (desambiguación).
O triângulo é um polígono de três lados.

Um triângulo, em geometria, é um polígono determinado por três rectas que se cortam duas a duas em três pontos (que não se encontram alinhados). Os pontos de interseção das rectas são os vértices e os segmentos de recta determinados são os lados do triângulo. Dois lados contíguos formam um dos ângulos interiores do triângulo.

Portanto, um triângulo tem 3 ângulos interiores, 3 lados e 3 vértices.

Se está contido em uma superfície plana denomina-se triângulo, ou trígono, um nome menos comum para este tipo de polígonos. Se está contido em uma superfície esférica denomina-se triângulo esférico. Representado, em cartografía , sobre a superfície terrestre, chama-se triângulo geodésico.

Conteúdo

Convenção de escritura

Um triângulo chamado ABC

Os pontos principais de uma figura geométrica, como os vértices de um polígono, costumam ser designados por letras latinas maiúsculas: A , B, C, ...

Um triângulo nomeia-se então como qualquer outro polígono, nomeando sucessivamente seus vértices, por exemplo ABC. No caso do triângulo, os vértices podem dar em qualquer ordem, porque qualquer das 6 maneiras possíveis corresponde a um percurso de seu perímetro. Isto já não é verdadeiro para polígonos com mais vértices.

Os lados do triângulo, denotam-se, como todos os segmentos, por seus extremos: AB, BC e AC, em nosso exemplo.

Para nomear a longitude de um lado, pelo geral utiliza-se o nome do vértice oposto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.

A anotação geral para o ângulo entre dois segmentos OP e OQ que compartilham o extremo Ou é \widehat{POQ} .\,

Também podemos utilizar uma letra minúscula, habitualmente grega, coroada por um acento circunflejo (em rigor, os ângulos devem ser designados por letras maiúsculas e sua medida por minúsculas, mas com frequência se utilizam os mesmos nomes para os dois com o fim de simplificar a anotação). No caso de um triângulo, o ângulo entre dois lados ainda pode, por tolerância e em ausência de ambigüedad, ser designado pelo nome do vértice comum, coroado por um acento circunflejo. Em resumem, em nosso exemplo, podemos observar os ângulos:

\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} \ et\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,


Classificação dos triângulos

Os triângulos podem-se classificar pela angostura de seus lados ou pela diferença de seus ângulos.

Pela longitude de seus lados

Pela longitude de seus lados, todo o triângulo classifica-se:

Triángulo equilátero. Triángulo isósceles. Triángulo escaleno.
Equilátero Isósceles Escaleno

Pela amplitude de seus ângulos

Pela amplitude de seus ângulos, os triângulos classificam-se em:


Triángulo Rectángulo Triángulo Obtusángulo Triángulo Acutángulo
Retângulo Obtusángulo Acutángulo
\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}
Oblicuángulos

Chama-se triângulo oblicuángulo quando nenhum de seus ângulos interiores são rectos (90°). Por isso, os triângulos obtusángulos e acutángulos são oblicuángulos.

Classificação segundo os lados e os ângulos

Os triângulos acutángulos podem ser:


Os triângulos retângulos podem ser:


Os triângulos obtusángulos podem ser:

Triângulo equilátero isósceles escaleno
acutángulo Triángulo equilátero.svg Triángulo acutángulo isósceles.svg 120px
retângulo 120px 120px
obtusángulo Triángulo obtusángulo isósceles.svg 120px

Congruencia de triângulos

Artigo principal: Congruencia de triângulos

Dois triângulos são congruentes se há uma correspondência entre seus vértices de tal maneira que o ângulo do vértice e os lados que o compõem sejam congruentes com os do outro triângulo.

Postulados de congruencia

Triângulo Postulados de congruencia
Postulado LAL.svg Postulado LAL (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos são congruentes se dois lados de um têm a mesma longitude que os dois lados do outro triângulo, e os ângulos compreendidos entre esses lados têm também a mesma medida.

100px Postulado ASA (Ângulo, Lado, Ângulo)

Dois triângulos são congruentes se dois ângulos interiores e o lado compreendido entre eles têm a mesma medida e longitude, respectivamente. (O lado compreendido entre dois ângulos é o lado comum a eles).

100px Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos são congruentes se a cada lado de um triângulo tem a mesma longitude que os correspondentes do outro triângulo.

Postulado AAL (Ângulo, Ângulo, Lado)

Dois triângulos são congruentes se dois ângulos e um lado, não compreendido entre os ângulos, têm a mesma medida e longitude, respectivamente.

Semelhança de triângulos

Artigo principal: Triângulos semelhantes

Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos têm a mesma amplitude e os lados opostos destes ângulos são proporcionais.

Semelhanças de triângulos retângulos

Dois triângulos retângulos são semelhantes se cumpre com ao menos um dos critérios seguintes:

Propriedades dos triângulos

Um cuadrilátero com suas diagonais.
Um tetraedro.

Um triângulo pode ser definido como um polígono de três lados, ou como um polígono com três vértices.

Após o ponto e o segmento, o triângulo é o polígono mais simples. É o único que não tem diagonal. No espaço, três pontos definem um triângulo (e um plano). Pelo contrário, se quatro pontos de um mesmo plano formam um cuadrilátero, quatro pontos que não estejam no mesmo plano não definem um polígono, senão um tetraedro

Por outra parte, a cada polígono pode ser dividido em um número finito de triângulos que se formam com uma triangulação do polígono. O número mínimo de triângulos necessários para esta divisão é n-2, onde n é o número de lados do polígono. O estudo dos triângulos é fundamental para o estudo de outros polígonos, por exemplo para a demonstração do Teorema de Pick.

Triangle with notations 2.svg
A soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus.

Euclides tinha demonstrado este resultado em seus Elementos (proposição I-32) da seguinte maneira: traçamos a paralela à linha (AB) que passa por C. Sendo paralelas, esta recta e a recta (AB) formam com a recta (AC) ângulos iguais, codificados em cor vermelho na figura da o lado (ângulos alternados-internos). Do mesmo modo, os ângulos codificados em cor azul são iguais (ângulos correspondentes). Por outro lado, a soma dos três ângulos do vértice C é o ângulo plano. De modo que a soma das medidas do ângulo de cor vermelho, do ângulo verde e do azul é um ângulo de 180 ° (ou π radianos). A soma dos ângulos de um triângulo é 180 °.

Esta propriedade é o resultado da geometria euclidiana. Não se verifica em general na geometria não euclidiana.

\frac{a}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}
O teorema de Pitágoras graficamente.
a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,
b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,
c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,
  a^2 + b^2 = c^2  \,


Centros do triângulo

Geometricamente podem-se definir vários centros em um triângulo:

O único caso em que os quatro primeiros centros coincidem em um único ponto é em um triângulo equilátero.

Cálculo dos lados e os ângulos de um triângulo

Em general, há vários métodos aceitados para calcular a longitude de um lado e a medida de um ângulo. Enquanto certos métodos podem ser adequados para calcular os valores de um triângulo retângulo, outros podem ser requeridos em situações mais complexas.

Para resolver triângulos utilizamos geralmente o Teorema de Pitágoras quando são triângulos retângulos, ou os Teoremas do seio e do cosseno.

Razões trigonométricas em triângulos retângulos

Erro ao criar miniatura:
Um triângulo retângulo sempre inclui um ângulo de 90° (π/2 radianos), aqui etiquetado C. Os ângulos A e B pode variar. As funções trigonométricas especificam as relações entre as longitudes dos lados e os ângulos interiores de um triângulo retângulo.
Artigo principal: Funções trigonométricas

Em triângulos retângulos, as razões trigonométricas do seio, o cosseno e a tangente podem ser usadas para encontrar os ângulos e as longitudes de lados desconhecidos. Os lados do triângulo são encontrados como segue:

Seio, cosseno e tangente

O seio de um ângulo é o cociente entre a longitude do cateto oposto com a longitude da hipotenusa. Em nosso caso

\text{sen} \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.

O cosseno de um ângulo é o cociente entre a longitude do cateto do lado adjacente e a longitude da hipotenusa. Em nosso caso

\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.

A tangente de um ângulo é o cociente entre a longitude do cateto oposto e a longitude do cateto adjacente. Em nosso caso

\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.

Observe que este cociente das três relações anteriores não depende do tamanho do triângulo retângulo, enquanto contenha o ângulo A, já que todos esses triângulos são semelhantes.

As siglas "SOH-CAH-TOA" são um mnemónico útil para estes cocientes.

Funções inversas

As funções trigonométricas inversas podem ser usadas para calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo ao ter a longitude de dois lados quaisquer.

Arcsin (arcoseno) pode ser usado para calcular um ângulo com a longitude do cateto oposto e a da hipotenusa.

\theta = \arcsin \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)

Arccos (arcocoseno) pode ser usado para calcular um ângulo com a longitude do cateto adjacente e a da hipotenusa.

\theta = \arccos \left( \frac{\color{Blue}\textrm{adyacente}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)

Arctan (arcotangente) pode ser usada para calcular um ângulo com a longitude do cateto oposto e a do cateto adjacente.

\theta = \arctan \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Blue}\textrm{adyacente}} \right)

Nos cursos introductorios de geometria e trigonometría, a anotação sem−1, cos−1, etc., é frequentemente usada em lugar de arcsin, arccos, etc. No entanto, a anotação de arcsin, arccos, etc., é regular em matemáticas superiores onde as funções trigonométricas são comummente elevadas a potências, pois isto evita a confusão entre o inverso multiplicativo e o inverso compositivo.

Elementos notáveis de um triângulo

Médias e centro de gravidade

Médias e centro de gravidade de um triângulo.
Artigo principal: Média (geometria)

O segmento de recta que vai de um vértice no ponto médio do lado oposto se chama média.

As três médias de um triângulo coincidem em um ponto, G na figura, chamado centroide ou baricentro do triângulo. Se este é de densidade homogénea, então o centroide G é o centro de massas do triângulo.

A cada uma das três médias dividem o triângulo em dois triângulos de áreas iguais. A distância entre o baricentro e um vértice são 2/3 da longitude da média.

As três médias dividem ao triângulo em 6 triângulos de áreas iguais. Demonstração: é óbvio, por simetría, para um triângulo equilátero. Um triângulo qualquer com suas três médias pode transformar em um triângulo equilátero com sua três médias mediante uma transformação afín ou uma transformação linear. O jacobiano (o factor pelo que aumentam ou diminuem as áreas) de uma transformação afín é o mesmo em qualquer ponto, do que se deduze a proposição que encabeça este parágrafo.

Mediatrices e circunferencia circunscrita

Mediatrices e circunferencia circunscrita de um triângulo.

Chama-se mediatriz de um triângulo à cada uma das mediatrices de seus lados [AB], [AC] e [BC].

As três mediatrices de um triângulo são concorrentes em um ponto  \Omega equidistante dos três vértices. A circunferencia de centro  \Omega e rádio  \Omega A que passa pela cada um dos três vértices do triângulo é a circunferencia circunscrita ao triângulo, e seu centro se denomina circuncentro.

Propriedade

Um triângulo é retângulo se e só se o centro de seu circunferencia circunscrita é o centro de seu lado maior.

Bissetriz e circunferencia inscrita

Bissetrizes e circunferencia inscrita de um triângulo.

As bissetrizes de um triângulo são as três bisectrizes de seus ângulos internos.

As três bissetrizes de um triângulo são concorrentes em um ponto Ou. A circunferencia inscrita do triângulo é a única circunferencia tangente aos três lados do triângulo e é interior ao triângulo. Tem por ponto central o incentro, que é o centro da circunferencia inscrita no triângulo.

Alturas e ortocentro

Alturas e ortocentro de um triângulo.
Artigo principal: Ortocentro

Chama-se altura de um triângulo à cada uma das três linhas que passam por um vértice do triângulo e são perpendiculares à cara oposta ao vértice. A interseção da altura e o lado oposto denomina-se «pé» da altura.

Estas 3 alturas cortam-se em um ponto único H chamado ortocentro do triângulo.

Notas:


Recta de Euler

Recta de Euler de um triângulo.
Artigo principal: Recta de Euler

Os três pontos H, G e \Omega estão alinhados em uma linha recta telefonema recto de Euler do triângulo e verifica a relação de Euler:

 \Omega H = 3 \Omega G \,

Os pontos médios dos três lados, os três pés das alturas e os pontos médios dos segmentos [AH], [BH] e [CH] estão em uma mesma circunferencia telefonema circunferencia de Euler ou circunferencia dos nove pontos do triângulo.

No espaço

Octaedro; poliedro de oito caras triángulares.
Icosaedro; poliedro de vinte caras triangulares.

O triângulo é a forma das caras de muitos poliedros regulares:tetraedro (quatro caras que são triângulos equiláteros, é a pirâmide de base triangular), octaedro (oito caras, as pirâmides do Egipto são médio-octaedros), icosaedro (vinte caras) ...


História

Problemas R49-> R55 do papiro Rhind.

Nenhum documento matemático do Antigo Império tem chegado até nós. Mas a arquitectura monumental da (III Dinastía e a IV Dinastía do Egipto é uma prova notável de que os egípcios dessa época tinham conhecimentos relativamente sofisticados de geometria, especialmente no estudo dos triângulos.

Artigo principal: Grande Pirâmide de Giza
Figura do triângulo representada no problema R51 do papiro Rhind.

O cálculo da superfície desta figura analisa-se nos problemas R51 do papiro Rhind, M4, M7 e M17 do papiro de Moscovo, que datam todos do Império Médio. O problema R51 constitui na história mundial das matemáticas, o primeiro depoimento escrito que trata do cálculo da superfície de um triângulo.

Enunciado do problema R51 do papiro Rhind
[3]
Exemplo de cálculo de um triângulo de terra. Se alguém te diz: um triângulo de 10 khet sobre seu mryt e de 4 khet de base. Qual é sua área? Calcular a metade de 4, que é 2 para formar um retângulo. Multiplica 10 por 2. Esta é sua área.

O termo mryt significa provavelmente a altura ou o lado. No entanto, a fórmula utilizada para calcular a área faz pensar na interpretação em favor da primeira solução.[4] O escreva tomava a metade da base do triângulo e calculava a área do retângulo formado por esse lado e a altura; isto é

A = \frac{base}{2}{mryt}

equivalente à fórmula geral utilizada em nossos dias:

S = \frac{ah}{2}

O facto de que um triângulo de lados 3-4-5 é retângulo também era conhecido pelos antigos egípcios e mesopotámicos.

Euclides, no Livro I de seus Elementos , para o 300 dantes de Cristo, enunció a propriedade da soma dos ângulos do triângulo.

Veja-se também

Tipos de triângulos:

Notas

  1. Denis Guedj, O teorema do loro: Novela para aprender matemáticas, trad. francês Consolo Serra, Colecção Compactos, Editorial Anagrama, Barcelona, 2002, ISBN 84-339-6726-6.
  2. Na geometria não euclidiana, como a de Riemann e Lobachevsky a soma dos ângulos internos é diferente a 180°.
  3. A. Buffum Chace, Rhind papyrus, pl. 73.
  4. C. Marshall, Ancient Egyptian Science, p.70

Referências

Enlaces externos

Wikcionario

ckb:سێگۆشە

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/t/Encydia-Wikilingue%7EArt%C3%ADculos_solicitados_2358.html"