Variedade pseudoriemanniana

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Matematicamente o espaço-tempo curvo que usa a teoria da relatividad é uma variedade pseudoriemanninana com curvatura dada pela densidade de energia-impulsiono.

Em geometria diferencial, uma variedade pseudoriemanniana é uma variedade diferenciable equipada com um tensor métrico (0,2)-diferenciable, simétrico, que é não degenerado na cada ponto da variedade. Este tensor chama-se um tensor métrico pseudoriemanniano e a diferença de um tensor métrico riemanniano não tem por que ser definido positivo. Aliás as variedades pseudoriemannianas generalizam o conceito de variedade riemannana

Um tipo especial de variedade pseudoriemanniana são as bandas lorentzianas ou variedades de Lorentz (em honra a Hendrik Antoon Lorentz). Estas variedades têm a propriedade de ter signatura (1,n-1) quando a variedade tem dimensão n. As variedades lorentzianas têm seu interesse na teoria da relatividad geral, já que um dos supostos básicos é que o espaço-tempo pode se renderizar como uma variedade pseudoriemanniana de quatro dimensões de signatura (3,1), isto é, a variedade possa se interpretar como formada por 3 dimensões espaciais e uma temporária.

Conteúdo

1 Variedades riemannianas e pseudoriemannianas
2 Variedades de Lorentz
3 Geodésicas
4 Bibliografía

Variedades riemannianas e pseudoriemannianas

A diferença finque entre uma métrica Riemanniana e uma métrica pseudoriemanniana é que uma métrica pseudoriemanniana não precisa ser positiva-definida, simplesmente não degenerada. Já que a cada forma positivo-definida é também não degenerada uma métrica Riemanniana é um caso especial de pseudoriemanniano. Assim as variedades pseudoriemannianas se podem considerar generalizações das variedades de Riemann.

A cada forma não degenerada, simétrica bilineal tem uma signatura fixa (p, q). Aqui p e q denotam o número dos valores próprios positivos e negativos da forma. A signatura de uma variedade pseudoriemanniana é justa a signatura do métrico (um deve insistir que a signatura está igual na cada componente conexo). Observe que p + q = n é a dimensão da variedade. As variedades de Riemann são simplesmente esses com a signatura (n, 0).

O espaço modelo para uma variedade pseudoriemanniana de signatura (p, q) é R^{p, q} com a métrica

(1) $g = dx_1\otimes dx_1 + \cdots + dx_p\otimes dx_p - dx_{p+1}\otimes dx_{p+1} - \cdots -dx_{p+q}\otimes dx_{p+q}$ ,

Alguns teoremas básicos da geometria de Riemann podem-se generalizar ao caso pseudoriemanniano. Em particular, o teorema fundamental da geometria de Riemann é verdade nas variedades pseudoriemannianas também. Isto permite que se fale da conexão de Levi-Civita em uma variedade pseudoriemanniana junto com o tensor sócio de curvatura. Por outra parte, há muitos teoremas na geometria de Riemann que não se sustentam no caso generalizado. Por exemplo, não é verdade que a cada variedade diferenciable admite uma métrica pseudoriemanniana de uma signatura dada; há certas obstrucciones topológicas.

Variedades de Lorentz

As métricas pseudoriemannianas de signatura (p, 1) (ou às vezes (1, q), considerando a convenção de signo) chamam-se métricas de Lorentz. Uma variedade equipada de uma métrica de Lorentz naturalmente chama-se uma variedade de Lorentz. Após as variedades de Riemann, as variedades de Lorentz, formam a subclase mais importante das variedades de Riemann. São importantes devido a seus usos físicos para a teoria da relatividad geral. Uma assunção principal da relatividad geral é que o espaço-tempo se pode modelar como variedade de Lorentz da signatura (3, 1).

Por conseguinte, o espaço euclídeo Rⁿ pode-se pensar como a variedade modelo de Riemann, o espaço de Minkowski R^p,1 com a métrica chata de Minkowski é a variedade modelo de Lorentz.

Geodésicas

Uma propriedade importante das variedades pseudoriemannianas é que nelas as curvas geodésicas ou curvas de mínima curvatura não têm por que ser localmente curvas de mínima longitude, senão simplesmente extremales das equações de Euler-Lagrange, isto é, curvas que podem ser localmente de máxima ou de mínima "longitude" (de facto, o nome longitude pode ser incorreto já que nos referimos a uma magnitude que generaliza a longitude de uma curva e pode ser positiva, negativa ou zero).