Vetor unitário

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Em álgebra linear e na Física, um vetor unitário ou versor é um vetor de módulo um.

Em ocasiões chama-lho também vetor padrão.

Conteúdo

1 Anotação
2 Definição
3 Versor associado a um vetor
4 Produto escalar de dois vetores
- 4.1 Projecção escalar
5 Vetores cartesianos
6 Veja-se também

Anotação

Um vetor unitário denota-se frequentemente com um acento circunflejo sobre seu nome, como $\mathbf{\hat r}$ (se lê "r vetor" ou "vetor r"). A anotação mediante o uso de uma breve ( $\mathbf{\breve r} \,$ ) também é comum, especialmente em desenvolvimentos manuscritos. A tendência actual é representar o vetor na direcção do vetor $\mathbf r \,$ na forma $\mathbf u_{\text{r}} \,$ .

Definição

Tendo definido o conceito de vetor unitário ao começo deste artigo e tendo apresentado a anotação usual na secção anterior, apresentamos nesta secção uma definição simbólica de vetor unitário.

Seja o vetor v ∈ ℝⁿ. Diz-se que v é um vetor unitário e lho denota mediante $\mathbf{\hat v}$ se e somente se |v| = 1.

Ou em forma mais compacta:

$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \Rightarrow \mathbf{v} \equiv \mathbf{\hat v} \Leftrightarrow | \mathbf{v} | = 1$

Versor associado a um vetor

Com frequência resulta conveniente dispor de um vetor unitário que tenha a mesma direcção e sentido que um vetor dado $\mathbf v\,$ . A tal vetor chama-lho versor sócio ao vetor $\mathbf v\,$ e pode-se representar bem seja por ou $\hat\mathbf v\,$ por e $\mathbf u_v\,$ indica uma direcção no espaço.

A operação vectorial que permite modificar o módulo de um vetor sem alterar sua direcção e sentido é dividir por seu módulo, de maneira que

$\mathbf{\hat v} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$

Ao processo de obter um versor associado a um vetor chama-lho normalização do vetor, razão pela qual é comum referir a um vetor unitário como vetor padrão.

O método para transformar uma base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) em uma base ortonormal (isto é, uma base na que todos os vetores são versores) consiste simplesmente em normalizar todos os vetores da base utilitando a equação anterior.

Produto escalar de dois vetores

No espaço euclídeo, o produto escalar de dois vetores unitários é simplesmente o cosseno do ângulo entre eles. Isto é consequência da definição de produto escalar e do facto de que o módulo de ambos vetores é a unidade:

$\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = | \mathbf{\hat u} | | \mathbf{\hat v} | \cos \theta$

Mas:

$| \mathbf{\hat u} | = | \mathbf{\hat v} | = 1$

Portanto:

$\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = \cos \theta$

onde θ é o ângulo entre ambos vetores.

Projecção escalar

Do anterior, resulta que o produto de um vetor por um vetor é a projecção escalar do vetor sobre a direcção determinada pelo vetor.

$\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | | \mathbf{\hat n} | \cos \theta$

Como o módulo do vetor $\mathbf{\hat n}$ é a unidade, a equação anterior se transforma em:

$\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | \cos \theta$

de onde é evidente o afirmado ao começo deste apartado.

Este resultado é muito frequente em física , onde em necessário operar, por exemplo, com as componentes ortogonais a uma superfície.

Vetores cartesianos

Os versores associados com as direcções dos eixos coordenados cartesianos $x,\,y,\,z\,$ designam-se por , $\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k\,$ respectivamente.